기하학적 중위수

기하학에서, 유클리드 공간의 이산 표본점 집합의 기하학적 중위수는 표본점까지의 거리의 합을 최소화하는 지점이다.이는 1차원 데이터에 대한 거리 합계를 최소화하는 특성을 가진 중앙값을 일반화하고 고차원에서 중심 경향을 제공합니다.이것은 또한 1-중간,^[1][2] 공간 중위수, 유클리드 미니섬 ^[2]점 또는 토리첼리 ^[3]점으로 알려져 있다.

기하학적 중위수는 ^[4]통계에서 위치를 추정하는 데 중요한 역할을 하며, L ^[5]추정기라고도₁ 합니다.또, 시설 로케이션의 표준적인 문제로,^[6] 수송 코스트를 최소한으로 억제하기 위해서 시설 로케이션의 문제를 모델화합니다.

평면의 세 점에 대한 문제의 특별한 경우(즉, 아래 정의에서는 m = 3과 n = 2)는 페르마의 문제로도 알려져 있다. 이는 최소 슈타이너 나무의 건설에서 발생하며, 원래 피에르 드 페르마에 의해 제기되었고 에반젤리스타 토리첼리에 ^[7]의해 해결되었다.그것의 용액은 이제 세 개의 ^[8]표본점에 의해 형성된 삼각형의 페르마 점으로 알려져 있다.기하학적 중앙값은 알프레드 웨버가 1909년 시설 ^[2]위치에 관한 책에서 문제를 논의한 후 웨버 문제로 알려진 가중 거리의 합을 최소화하는 문제로 일반화될 수 있다.일부 출처는 대신 웨버 문제를 페르마-베버 ^[9]문제라고 부르지만, 다른 출처는 가중치가 없는 기하학적 중위수 ^[10]문제에 이 이름을 사용한다.

Wesolowsky(1993)는 기하학적 중위수 문제에 대한 조사를 제공한다.비이산점 세트에 대한 문제의 일반화에 대해서는 Fecete, Mitchell & Beurer(2005)를 참조한다.

정의.

공식적으로 각 ${\displaystyle x_{}{\mathbb{}}^{}}$ R $n$\ $displaystyle x$${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}${ $i }$\ $in$ \ mathbb { $R$} ^ { $n$} 、 x m$、$ x $m$、 x m } ${\displaystyle {}_{}}$ x $、$ x m 、${\displaystyle x_{}}$ 、 x m 、 x x 、 m m $is$ median { { { { 、 m median { { { { {${\displaystyle }${ { { { { median of of of m 、 m { m 、 m 、 m m { m 、${\displaystyle {}_{}}is{\displaystyle {}_{}}$ m { m 、 m

${\displaystyle {y\in \mathbb {R} ^{n}} {\operatorname {display,min}}} {i=1}^{m}\left\x_{i}-y\right\{2}}$

여기서 arg min은 합계를 최소화하는 $인수{\displaystyle }$ y$\displaystyle$y의 값을 의미합니다$$.이 경우$,$ 이 점은 모든 유클리드 ${\displaystyle {거리}_{}}$로부터 xi$($표시 $스타일 x_{i$까지의 합계가 최소인 $지점$입니다.

특성.

• 1차원의 경우 기하학적 중위수가 중위수와 일치합니다.만약 n은 이상이 일도량의 중선도 지점에서.},지만 독특하게 만약 n심지어어 그것이 될 수 있는 어떤 지점 seg하게 결정하지 못한다 거리의 합(그 오더에 좀 더 정밀하게, 만약 이 지점들은p1,…, pn, 기하학적 평균은 중간 지점 p(n+1)/2{\displaystyle p_{(n+1)/2}을 최소화하기 때문이다.m2개의 $중간점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$n /$$ ({$n/2})$와 p${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {/2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$+$$ ({$display$ style $p_{(n/2}+1})$ 사이에 삽입합니다.$$
• 기하학적 중위수는 점이 공선선이 ^[13]아닐 때마다 고유합니다.
• 기하학적 중위수는 변환과 ^[5][11]회전을 포함한 유클리드 유사성 변환에 등변합니다.즉, 기하학적 중위수를 변환하거나 표본 데이터에 동일한 변환을 적용하여 변환된 데이터의 기하학적 중위수를 찾는 방법으로 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.이 속성은 기하학적 중위수가 쌍방향 거리에서만 정의되며 표본 데이터가 표현되는 직교 데카르트 좌표계에는 의존하지 않습니다.반면 다변량 데이터 집합에 대한 성분별 중위수는 일반 회전 불변수가 아니며 ^[5]좌표 선택과 독립적이지도 않습니다.
• 기하학적 중위수의 분해점은 0.5입니다.^[5]즉, 최대 절반의 표본 데이터가 임의로 손상될 수 있으며 표본의 중위수는 손상되지 않은 데이터의 위치에 대한 강력한 추정치를 제공합니다.

특수한 경우

• 3개(비공선) 점의 경우 해당 점으로 형성된 삼각형의 각도가 120° 이상인 경우 기하학적 중위수는 해당 각도의 정점에 있는 점이 됩니다.모든 각도가 120° 미만인 경우 기하학적 중위수는 삼각형 내부의 점으로 삼각형 ^[11]정점의 각 쌍에 120°의 각도를 기울입니다.이것은 세 개의 꼭지점에 의해 형성된 삼각형의 페르마 점으로도 알려져 있다.(3개의 점이 공선일 경우 기하학적 중위수는 1차원 중위수의 경우와 마찬가지로 다른 두 점 사이의 점이 됩니다.)
• 4개의 동일 평면 점의 경우, 4개의 점 중 하나가 다른 3개의 점에 의해 형성된 삼각형 안에 있으면 기하학적 중위수가 해당 점이 됩니다.그렇지 않으면 4개의 점이 볼록한 사변형을 형성하고 기하학적 중위수가 사변형의 대각선의 교차점이 됩니다.4개의 동일평면 점의 기하학적 중위수는 ^[14]4개의 점의 고유한 라돈 점과 동일합니다.

계산

기하학적 중앙값이 이해하기 쉬운 개념이지만, 이를 계산하는 것은 어려운 일입니다.기하학적 중앙값과 유사하게 정의되는 중심 또는 질량 중심은 각 점까지의 거리 제곱의 합을 최소화하는 간단한 공식으로 찾을 수 있다. 그 좌표는 점들의 좌표의 평균이다. 그러나 명시적 공식이나 산술 연산자만을 포함하는 정확한 알고리즘은 없는 것으로 나타났다.이온과 k번째 루트는 일반적으로 기하학적 중위수에 존재할 수 있습니다.따라서,^[15] 이 계산 모델에서는 이 문제의 해법에 대한 수치적 또는 상징적 근사만이 가능하다.

그러나 각 단계가 더 정확한 근사치를 생성하는 반복 절차를 사용하여 기하학적 중위수에 대한 근사치를 계산하는 것은 간단하다.이 유형의 절차는 각 표본점까지의 거리가 볼록하고 볼록함수의 합이 볼록함수이기 때문에 표본점까지의 거리의 합이 볼록함수라는 사실에서 도출할 수 있다.따라서 각 단계에서 거리의 합을 줄이는 절차는 로컬 최적값에 갇힐 수 없습니다.

Endre ^[16]Weiszfeld의 연구 후에 Weiszfeld 알고리즘이라고 불리는 이 유형의 일반적인 접근법은 반복적으로 재가중된 최소 제곱의 형태이다.이 알고리즘은 현재 추정치에서 표본점까지의 거리에 반비례하는 가중치 집합을 정의하고 이러한 가중치에 따라 표본의 가중 평균인 새 추정치를 생성합니다.그것은,

$(\displaystyle\왼쪽).y_{i+1}=\left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {x_{j}-y_{i}\}\right)\right/\left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{\x_{j}-y_{i}\}\right)\frac {1}{1}\frac {1}{{1}\fright}\}}}}.}$

이 방법은 거의 모든 초기 위치에 수렴되지만 추정치 중 하나가 지정된 점 중 하나에 해당하는 경우에는 수렴하지 못할 수 있습니다.이러한 경우를 처리하도록 수정하여 모든 초기 ^[13]점에 수렴할 수 있습니다.

Bose, Maheshwari 및 Morin(2003)은 이 문제에 대한 대략적인 최적의 해결책을 찾기 위한 보다 정교한 기하학적 최적화 절차를 설명한다.Nie, Parrilo & Sturmfels(2008)가 보여주듯이, 이 문제는 반확정 프로그램으로 표현될 수도 있다.

Cohen et al. (2016)는 거의 선형 시간에 임의의 정밀도로 기하학적 중위수를 계산하는 방법을 보여준다.

기하학적 중위수의 특성화

y가 주어진 모든 점 x와_j 구별되는 경우 y는 다음을 만족하는 경우에만 기하학적 중위수입니다.

${\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{m}{\frac {x_{j}-y}{\left\x_{j}-y\right\}}.}$

이는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\왼쪽).y=\left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {x_{j}-y\}}\right(\sum _ {j=1}^{m}{\frac {1}{\x_{j}-y\}}\right}),$

바이스펠트의 알고리즘과 밀접한 관련이 있어요

일반적으로 y는 다음과 같은 벡터_j u가 존재하는 경우에만 기하학적 중위수입니다.

${{displaystyle 0=\sum _{j=1}^{m}u_{j}}$

여기서 x , y의 경우_j,

${\displaystyle u_{j}=black {x_{j}-y}{\left\x_{j}-y\right\}}$

그리고 x = y의 경우_j,

$\displaystyle\u_{j}\leq 1.$

이 조건의 등가 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sum _{1\leq j,x_{j}\neq y}{\left\x_{j}-y\right\}}\leq \left \{,j\mid 1\leq j\leq m,x_{j}=y,\right}\leq y}{\fright}$

이는 중앙값 특성의 일반화로서, 특히 y를 통한 모든 하이퍼플레인에 의해 유도되는 점의 분할은 각 면에서 y와 양의 방향의 동일하고 반대되는 합을 갖는다는 점에서 볼 수 있다.1차원 케이스에서 하이퍼플레인은 점 y 그 자체이며 방향의 합계는 (방향) 계수 측도로 단순화된다.

일반화

기하학적 중위수는 리만 ^[17]다양체에서 프레셰 평균을 정의하는 데 사용되는 것과 동일한 아이디어를 사용하여 유클리드 공간에서 일반 리만 다양체(및 미터법 공간)로 일반화할 수 있다.M${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ M$)$을 대응하는 거리 $함수{\displaystyle }$ d$displaystyle$ d$(\cdot,\cdot$로 $하는{\displaystyle }$ 리만 다양체, ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle \dots ,}$w$$(\$displaystyle w_{1$},\$ldots,$ ${\displaystyle {w\_\mathrm{}}_{}}$${n}$$$n$$(\$displaystyle$ n$)$의 가중치를 1로 $하는{\displaystyle {}_{}}$ $,$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$로 $합니다$.${\displaystyle n}$M$${\$displaystyle$ M$\}$의 관측치$$ {\$displaystyle$ n$}.$ 그런 다음 데이터 포인트의 가중 기하학적 $중위수{\displaystyle }$m {\$displaystyle$ m$}($또는 가중 프레셰 중위수)을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{a}}}$ r ${\displaystyle \underset{}{g\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{m}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{i}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{m}}$ M ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{ii}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$d (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$) {\ displaystyle $m = 언더셋 {x\in$ M} {\$operatorname$ {$display,min}}}$ \$sum$_ {$i=1}{n}w_{i}d(x$,x_${i$

모든 가중치가 동일하면 단순히 m$\displaystyle$m이$$ 기하학적 중위수라고 $합니다{\displaystyle }$.

「 」를 참조해 주세요.

• 메도이드
• 기하학적 중위수 절대 편차

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