베버 문제

기하학에서 알프레드 베버의 이름을 딴 베버 문제는 위치 이론에서 가장 유명한 문제 중 하나이다. 다른 목적지 지점이 단위 거리당 다른 비용과 연관되어 있는 이 지점에서 목적지 지점까지 운송 비용의 합계를 최소화하는 지점을 평면에서 찾아야 한다.

웨버 문제는 모든 목적지 지점에 대해 단위 거리당 운송비가 동일하다고 가정하는 기하학적 중위수를 일반화하고, 3개의 점의 기하학적 중위수인 페르마트 지점의 계산 문제를 일반화한다. 이러한 이유로, 동일한 이름이 가중되지 않은 기하학적 중위수 문제에도 사용되었지만, 때로는 페르마-베버 문제라고도 불린다. 웨버 문제는 결국 비용 중 일부가 음수일 수 있도록 하는 유인-거부 문제로 일반화되어 있어, 일부 지점과의 거리가 더 넓어진다.

페르마, 베버, 그리고 매력-억제 문제의 정의와 역사

	페르마 문제	베버 문제	매력-거절 문제
최초 공식화자:	페르마(1640년 이전)	심슨 (1750)	텔리어(1985)
삼각형 문제의 기하학적 해법	토리첼리 (1645년)	심슨 (1750)	텔리어(2013년)
삼각형 문제의 직접적 수치해결	텔리어(1972)	텔리어(1972)	텔리어(1985)
그 문제에 대한 반복적인 수치적 해결	쿤과 쿤네(1962년)	쿤과 쿤네(1962년)	첸, 한센, 자우마드, 투이(1992년)

삼각형의 경우, 페르마트 문제는 D와 다른 세 점 사이의 거리의 합계가 최소화되도록 세 점 A, B 및 C에 대한 점 D를 찾는 데 있다. 1640년 이전에 프랑스의 유명한 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 공식화되었으며, 위치 이론과 우주 경제의 진정한 시작이라고 볼 수 있다. 토리첼리는 1645년경 이 문제에 대한 기하학적 해답을 찾았지만, 325년이 지난 지금도 직접적인 수치 해법은 없었다. 쿤과 쿤네는^[1] 1962년에 일반적인 페르마트 문제에 대한 반복적인 해결책을 찾았고, 1972년에 텔리어는^[2] 페르마트 삼각형 문제에 대한 직접적인 수치적 해결책인 삼각형 문제를 발견했는데, 그것은 삼각형이다. 쿤과 쿤네의 해결책은 3면 이상의 폴리곤의 경우에 적용되는데, 이는 텔리어의 해법이 더 자세히 설명되는 이유로는 해당되지 않는다.

웨버 문제는 삼각형의 경우, D와 다른 세 지점 사이의 운송 비용의 합계가 최소화되도록 세 지점 A, B 및 C에 대한 점 D를 찾는데 있다. 베버 문제는 페르마 문제의 일반화인데, 이는 페르마 문제가 동등하고 불평등한 매력적 힘(아래 참조)을 모두 포함하기 때문이며, 페르마 문제는 동등한 매력적인 힘만을 다루기 때문이다. 그것은 1750년 토마스 심슨에 의해 삼각형 케이스에서 처음으로 공식화되었고 기하학적으로 해결되었다.^[3] 이후 1909년 알프레드 베버에 의해 대중화되었다.^[4] 1962년에 발견된 쿤과 쿤네의 반복적 해결책과 1972년에 발견된 텔리어의 해결책은 베버 삼각형 문제뿐만 아니라 페르마 1에도 적용된다. 쿤과 쿤네의 해법은 3면 이상의 폴리곤의 경우에도 적용된다.

가장 간단한 버전에서 매력-억제 문제는 점 A와₁ A가₂ 발휘하는 매력적인 힘과 점 R이 발휘하는 반발력이 최적에서 해야 하는 것처럼 서로를 상쇄하는 방식으로 점 A₁, A₂, R에 대한 점 D를 찾는 것이다. 그것은 페르마 문제와 베버 문제를 모두 일반화한 것이다. 그것은 1985년 뤽 노먼드 텔리어에 의해 삼각형 케이스에서 처음 공식화되었고 해결되었다.^[5] 1992년, 첸, 한센, 자우마르, 투이는 3면 이상의 폴리곤의 경우 텔리어 문제에 대한 해결책을 찾았다.

토리첼리의 페르마 삼각형 문제에 대한 기하학적 해결책

에반젤리스타 토리첼리의 페르마 삼각형 문제에 대한 기하학적 해법은 다음 두 가지 관찰에서 비롯된다.

1–D 지점은 해당 위치에서 중요한 이동이 기준점 A, B, C에 대한 총 거리를 순증하게 할 때 최적 위치에 있으며, 이는 3개의 기준점 중 하나를 향한 최소 이동이 eq인 점까지의 거리 감소를 유도하는 유일한 지점임을 의미한다.다른 두 지점까지의 거리의 유도된 변화의 합에 ual. 사실 페르마 문제에서 A로부터의 거리를 1km 줄일 수 있는 이점은 B로부터의 거리 또는 C로부터의 거리를 같은 길이로 줄일 수 있는 이점과 같다. 즉, D에 위치할 활동이 동등하다.A, B 및 C에 의해 트랙션된

2– 유클리드 기하학의 중요한 정리에 따르면, 원 안에 새겨진 볼록한 사각형에서, 반대 각도는 보충이다(즉, 그 합은 180°와 같다).; that theorem can also take the following form: if we cut a circle with a chord AB, we get two circle arcs, let us say AiB and AjB; on arc AiB, any ∠AiB angle is the same for any chosen point i, and, on arc AjB, all the ∠AjB angles are also equal for any chosen point j; moreover, the ∠AiB and ∠AjB angles are supplementary.

첫 번째 관측은 AD, BD 및 CD 직선 사이의 각도가 360°/3 = 120°와 같아야 함을 의미한다. 토리첼리는 그 결론에서 다음과 같이 추론했다.

1– ∠ADB 각도가 120°인 삼각형 ABDE 볼록 4각형이 원 모양으로 새겨진 경우, ABE 삼각형의 angleABE 각도는 (180° - 120°)와 같아야 한다.= 60°;

–ADB 각도가 120°인 D의 위치 집합을 결정하는 한 가지 방법은 E가 ABC 삼각형 밖에 위치하는 정삼각형(정삼각형의 각 각도가 60°이므로)의 ABB 삼각형을 그리고 그 삼각형을 원을 그리며, 그 다음, 그 원주 둘레의 모든 D' 점을 그리는 것이다.ABC 원이 얇아서 ∠AD'B 각도가 120°와 같다.

3– ACD 및 BCD 삼각형에 대해 동일한 추론을 할 수 있다.

4– 이는 F와 G가 ABC 삼각형 외부에 위치한 두 개의 다른 등각 삼각형 ACF와 BCG를 그리고 이 등각 삼각형 주위에 다른 두 개의 원을 그리고 세 개의 원이 교차하는 위치를 결정하게 한다. 그 위치에서, AD, BD 및 CD 직선의 각도는 반드시 120°, w와 같다.Hich는 그것이 최적의 장소라는 것을 증명한다.

베버 삼각형 문제에 대한 심슨의 기하학적 해법

심슨의 기하학적 해결책인 이른바 '베버 삼각형 문제'(1750년 토마스 심슨이 처음 공식화한 것)는 토리첼리의 해결책에서 직접 유래한다. 심슨과 웨버는 전체 교통 최소화 문제에서 각각의 관광지 A, B 또는 C에 더 가까워질 수 있는 이점은 운송비와 운송비에 달려 있다는 사실을 강조했다. 따라서 A, B 또는 C에 1km 가까이 접근할 수 있는 이점은 다양하며, adADB, ∠ADC 및 bBDC 각도는 더 이상 120°와 같을 필요가 없다.

심슨은 Fermat 삼각형 문제의 경우에서 생성되는 삼각형 ABE, ACF 및 BCG가 3개의 매력적인 힘이 같기 때문에 등각형이라는 것을 증명했다. Weber 삼각형 문제의 경우 생성된 삼각형 ABE, ACF 및 BCG는 ABC 삼각형 외부에 위치하며, 여기서 E, F, G는 비례해야 한다. 입지 제도의 매력 있는 세력

해결책은 다음과 같다.

1– 구성된 삼각형 AB에서, AB 쪽은 C를 향하는 매력적인 힘에 비례하고 AE 쪽은 B를 향하는 매력적인 힘에 비례하며 BE 쪽은 A를 향하는 매력적인 힘에 비례한다.

2– 구성된 삼각형 BCG에서, BC 쪽은 A를 향하는 매력적인 힘에 비례하고, BG 쪽은 B를 향하는 매력적인 힘에 비례하며, CG 쪽은 C를 향하는 매력적인 힘에 비례한다.

3– 최적점 D는 ABE와 BCG가 구성한 삼각형 둘레의 교차점에 위치한다.

세 번째 삼각형 힘 ACF는 F가 ABC 삼각형 외부에 위치하며 AC 쪽을 기준으로 그려질 수 있으며, 세 번째 원주는 그 삼각형을 중심으로 추적할 수 있다. 저 세 번째 원주는 동일한 D 지점에서 이전의 두 원주를 교차한다.

끌림-억제 삼각형 문제에 대한 텔리어의 기하학적 해결책

매력-억제 삼각형 문제에 대한 기하학적 해결책이 존재한다. 그것의 발견은 꽤 최근의 것이다.^[6] 이 기하학적 용액은 이 경우 구성된 두 개의 힘 삼각형이 AAR₁₂ 위치 삼각형(A와₁ A는₂ 유인점, R은 반발점)과 겹치는 반면, 앞의 경우 절대 그러지 않았기 때문에 이전 두 가지와 다르다.

이 해결책은 다음과 같다.

구성된 삼각형 RAH에서₂ 1– AAR₁₂ 위치 삼각형과 부분적으로 겹치는, RA₂ 쪽은 A를₁ 향하는 매력적인 힘에 비례하고, RH 쪽은 A를₂ 향하는 매력적인 힘에 비례하며, AH₂ 쪽은 R 지점에서 밀어내는 반발력에 비례한다.

구성된 삼각형 RAI에서₁ AAR 위치₁₂ 삼각형과 부분적으로 겹치는 2–3각형에서, RA 쪽은₁ A를₂ 향하는 매력적인 힘에 비례하고, RI 쪽은 A를₁ 향하는 매력적인 힘에 비례하며, AI₁ 쪽은 R 지점에서 밀어내는 반발력에 비례한다.

3– 최적점 D는 RAH와₂ RAI가₁ 구성한 삼각형 둘레의 교차점에 위치한다. 하나의 힘이 다른 두 힘의 합보다 크거나 각도가 맞지 않으면 이 해결책은 무용지물이다. 어떤 경우에는 다른 두 가지 힘보다 큰 힘이 없고 각도가 맞지 않는다. 그러면 최적 위치는 더 큰 매력적인 힘을 발휘하는 지점에 있다.

Fermat과 Weber 삼각형 문제에 대한 Trigometric 해법

332년 이상이 페르마 삼각형 문제의 첫 번째 공식화와 그것의 비 반복적 수치의 발견을 분리하는 반면, 기하학적 해법은 거의 모든 기간 동안 존재했다. 그것에 대한 설명이 있는가? 그 설명은 세 개의 매력 지점을 지향하는 세 벡터의 기원이 일치하지 않을 가능성에 있다. 만일 그러한 기원이 일치하여 최적의 위치 P에 놓여 있다면, A, B, C를 지향하는 벡터와 ABC 위치 삼각형의 면은 6각 ,1, ,2, ∠3, ,4, and5, ∠6을 형성하고, 3 벡터는 formα_A, andα_B, andα_C 각을 형성한다. It is easy to write the following six equations linking six unknowns (the angles ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, and ∠6) with six known values (angles ∠A, ∠B, and ∠C, whose values are given, and angles ∠α_A, ∠α_B and ∠α_C, whose values depend only on the relative magnitude of the three attractive forces pointing towards the A, B and C attraction points):

∠1 + ∠2 = ∠C ;

∠3 + ∠4 = ∠A ;

∠5 + ∠6 = ∠B ;

∠1 + ∠6 + ∠α_A = 180° ;

∠2 + ∠3 + ∠α_B = 180° ;

∠4 + ∠5 + ∠α_C = 180°.

불행히도 6개의 미지의 이 6개의 동시 방정식 체계는 결정되지 않고, 3개의 매력 지점을 지향하는 3개의 벡터의 기원이 우연치 않게 그 이유를 설명한다. 비동결식의 경우 6개의 방정식이 모두 유효하다는 것을 관찰한다. 그러나 삼각형 내부에 존재하는 삼각형 구멍 때문에 최적의 위치 P는 사라졌다. 사실 텔리어(1972)가 ^[7]보여주듯이, 삼각형 구멍은 심슨의 기하학적 용액에서 우리가 그린 "강제 삼각형"과 정확히 같은 비율을 가지고 있었다.

문제를 해결하려면 위치 삼각형 가운데 삼각형 구멍이 없어야 한다는 7번째 요건에 6개의 동시 방정식을 추가해야 한다. 즉, 세 벡터의 기원은 일치해야 한다.

Tellier의 페르마트와 베버 삼각형 문제 해결에는 세 가지 단계가 포함된다.

1– 평형을 보장하기 위해 세 유인력이 서로 힘을 w, w, w를 취하도록 각 anglesα_A, ∠α를_BC 결정한다. 이것은 다음과 같은 독립 방정식을 사용해 이루어진다.

cos ∠α_A = -(w² + w² - w²) / (2 w) ;

cos ∠α_B = -(w² + w² - w²) / (2 w) ;

cos ∠α_C = -(w² + w² - w²) / (2 w) ;

2– 각도 ∠3의 값 결정(이 방정식은 점 D가 점 E와 일치해야 한다는 요건에서 비롯된다):

황갈색 ∠3 = (k sin k') / (1 + k cos k');

여기서 k = (CB/CA) (sin ∠α_B / sin ∠α_A), k' = (∠A +∠B + ∠α_C) - 180°;

3– ∠3이 현재 알려진 다음과 같은 동시 방정식 시스템을 해결한다.

∠1 + ∠2 = ∠C ;

∠3 + ∠4 = ∠A ;

∠5 + ∠6 = ∠B ;

∠1 + ∠6 + ∠α_A = 180° ;

∠2 + ∠3 + ∠α_B = 180° ;

∠4 + ∠5 + ∠α_C = 180°.

삼각형 끌어당김-억제 문제에 대한 텔리어의 삼각계 해법

텔리에르(1985)^[8]는 페르마-베버 문제를 반발력의 경우로 확대했다. w와 w의 두 가지 매력적인 힘과 w의 한 가지 혐오스러운 힘이 있는 삼각형 사례를 살펴보자. 여기서 앞의 경우와 마찬가지로 세 벡터의 기원이 일치하지 않을 가능성이 존재한다. 그래서 그 해결책은 그들의 우연을 요구해야 한다. 이 문제에 대한 텔리어의 삼각측량 솔루션은 다음과 같다.

1– 각도 결정 ∠e :

cos ∠e = -(w² + w² - w²) / (2 w) ;

2– 각도 결정 ∠p :

cos ∠p = -(w² + w² - w²) / (2 w) ;

3– 각도 결정 ∠c :

∠c = 180° − ∠p ;

4– 각도 결정 ∠d :

∠d = ∠e − ∠c ;

5– 각도 ∠3의 값 결정(이 방정식은 점 D가 점 E와 일치해야 한다는 요건에서 비롯된다):

황갈색 ∠3 = x / y ;

여기서 x = sin ∠f – (RA₁/RA₂)(sin ∠d sin [∠e - ∠b] / sin ∠c); 및 y = (RA₁/RA₂)(sin ∠d cos [∠e - ∠b] / sin ∠c) - cos ∠f ;

6– ∠1 결정 :

∠1 = 180° − ∠e − ∠3 ;

7– ∠5 결정:

∠5 = 180° − ∠b − ∠c − ∠1 ;

8– ∠2 결정:

∠2 = ∠a − ∠5 .

페르마, 베버의 반복적 해결책 및 매력-억제 문제

힘의 수가 3보다 클 때는 위치 다각형의 기하학적 구조를 고려하지 않고 다양한 힘을 분리하는 각도를 더 이상 결정할 수 없다. 기하학적, 삼각학적 방법은 그때 무력하다. 그러한 경우 반복적 최적화 방법을 사용한다. 쿤과 쿤네(1962)는 가중치가 없는 문제에 대한 Weiszfeld의 알고리즘을 일반화하는 반복적으로 재가중된 최소 제곱에 기초한 알고리즘을 제안했다.^[9] 그들의 방법은 많은 힘이 관여하는 페르마트와 베버 문제에는 유효하지만 유인-거부 문제에는 유효하지 않다. 이 방법에서 거리의 가중 합계를 최소화하는 y 점의 근사치를 구한다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\x_{i}-y\,}$

용액₀ y에 대한 초기 근사치를 찾은 다음 알고리즘의 각 단계에서_{j + 1} y를 가중 제곱 거리의 합계를 최소화하는 점으로 설정하여 최적 용액에 더 가깝게 이동시킨다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{n}}{\x_{i}-y}\}}\x_{i}-y\{2}}:$

여기서 입력 지점의_i 초기 가중치를 각 지점에서 이전 단계까지의 거리로 나눈다. 가중 최소 제곱 문제에 대한 고유한 최적 솔루션으로서, 연속적인 각 근사치는 가중 평균으로 찾을 수 있다.

$왼쪽.y_{j+1}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}}{\ x_{i}-y_{j}\ }}\right)\right/\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\ x_{i}-y_{j}\ }}\right).}$

매력-역전 문제를 위해서는 첸, 한센, 자우마르, 투이(1992)가 제안한 알고리즘에 의존해야 한다.^[10]

유치-거부 문제에 대한 토지임대이론 해석

공간경제학 세계에서는 혐오하는 힘이 만능이다. 토지 가치는 그것들의 주요 예시다. 사실 농촌과 도시 둘 다 땅값 이론의 상당 부분은 다음과 같이 요약할 수 있다.

모든 사람이 하나의 유치지점(농촌시장이나 도시중심상권)에 매료되는 경우, 중앙에 모두 입점하고자 하는 다양한 입찰자 간의 경쟁은 토지가치의 관점에서 제도의 고유한 유치지점을 반발지점으로 변화시키는 토지가치를 창출할 것이다.그리고 평형상태에서 각 거주자와 활동들은 센터가 그들에게 행사하는 매력적이고 혐오스러운 힘이 소멸되는 지점에 위치하게 될 것이다.

매력-거절 문제와 신경제지리

텔리어 문제는 신경제지리학의 등장 이전에 발생했다. 1990년대에 발전한 ^[11]신경제지리학(NEG)의 서곡으로 오타비아노와 테세(2005)가 보고 있으며, 2008년에는 폴 크루그먼을 경제과학 분야의 노벨기념상으로 수상하였다. 매력적인 힘의 개념은 응집력 또는 구심력의 NEG 개념과 유사하며, 반발력의 개념은 분산력 또는 원심력의 NEG 개념과 유사하다.

메모들

참조

• 첸, 페이춘, 한센, 피에르, 자우마르, 브리지트, 호앙 투이, 1992년, "베버의 매력 및 거부감 문제" 32, 467–486 지역 과학 저널.
• 쿤, 해롤드 W. 그리고 로버트 E. 쿤네 1962년 "공간경제 일반화 웨버 문제의 수치해결을 위한 효율적인 알고리즘" 지역 과학 4, 21–34 저널.
• 오타비아노, 지앙마르코, 자크-프랑수아 테세, 2005, « 신경제지리: N? », 환경 및 계획 A 37, 1707–1725.
• 심슨, 토마스, 1750년 런던 플럭션의 독트린과 적용.
• 1989년 텔리어, 뤽 노먼드, 보리스 폴란스키 "위버 문제: 다양한 솔루션 유형 및 동적 과정으로의 확장 빈도"," 지역 과학 저널 29권, 3, 페이지 387–405.
• 1972년 텔리어, 뤽 노먼드 "위버 문제: 솔루션 및 해석", 지리 분석, 제 4, 3, 페이지 215–233.
• 텔리어, 뤽 노먼드, 1985년, 에코노미 스페이스 스페이스페이스: rationalité économicique de l'espace dustainé, Chicoutimi, Gaertan Morin editur, 280쪽.
• Tellier, Luc-Normand, 2013, « Annexe 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d’attraction–répulsion », annex of the paper of Pierre Hansen, Christophe Meyer and Luc-Normand Tellier, « Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », in Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, 과학 du territoire II : methodologys, Québec, Press de l'Université du Québec.
• 베버, 알프레드, 1909년, 우버 덴 스탠도트 데어 인더스트리엔, 튀빙겐, J.C.B. Mohr) — 영어 번역: 산업입지론, 시카고, 시카고 대학 출판부, 1929, 256쪽.
• 웨솔로프스키, 조지, 1993년 웨버 문제: 역사와 관점 », 위치 과학, 1권 페이지 5-23.

외부 링크

• "Weber problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]