기하급수

대수기하학에서 대수기하학군 G의 작용과 함께 대수기하학종 X의 기하학적 몫은 다음과^[1] 같은$$ $\pi {\displaystyle }$ :${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi :X\to$ Y$}$의 형태론이다.

(i) Y의 각 Y에 대해 섬유 $\pi {\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$는 G의 궤도다$$.

(ii) Y의 위상은 몫 위상: 부분집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subset$ Y$}$은(는) $\pi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}U}$) ${\displaysty \pi ^{-1}(U)}$이 열려$$ 있는 경우에만 열려 있다.

(iii) 모든 개방형 $서브셋{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$y Y ${\displaystyle$U\$subset$ Y$}$에 $대해{\displaystyle {}^{}}$$,$ ${\displaystyle {\#\mathrm{}}^{}}$# :${\displaystyle k}$ [ ${\displaystyle U]}$ →${\displaystyle {}^{}}$ [ ${\displaystyle {-}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle U}$ )${\displaystyle {}^G}$ ${\$ \pi$^{-1}(U)^{G}}}$는 이형식이다.(여기서 k는 베이스 필드다.)

그 개념은 기하불변성 이론에 나타난다. (i), (ii) Y는 위상에서 X의 궤도 공간이라고 한다.(iii) may also be phrased as an isomorphism of sheaves ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})}$. In particular, if X is irreducible, then so is Y and ${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$: rational functions on Y may be viewed as invariant raX에 대한 톤 함수(즉, X의 이성적 변이성)

예를 들어 H가 G의 닫힌 부분군인 $경우{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$G/$H}$은 기하학적 몫이다.GIT 지수는 기하학적 몫이 될 수도 있고 아닐 수도 있다. 그러나 둘 다 범주형 몫이며, 이는 독특하다. 즉, 두 가지 유형의 몫(동일하지 않으면)을 둘 다 가질 수 없다.

기타 인용구와의 관계

기하학적 지수는 범주적 지수다.이것은 뭄포드의 기하학적 불변 이론에서 증명된다.

기하학적 지수는 정확히 섬유들이 그룹의 궤도를 도는 좋은 지수다.

예

• 표준 지도 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$은 기하학적 지수다$$.
• L이 대수 G-변수 X에 선형화된 선다발이라면, 지수인 L에 대한 안정점 집합에 $대해$ X${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle 0_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을 기입한다.

${\displaystyle X_{(0)}^{s}^{s}\to X_{(0)^{s}/G}$

기하학적 지수다.

참조