GIT 지수

In algebraic geometry, an affine GIT quotient, or affine geometric invariant theory quotient, of an affine scheme ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ with an action by a group scheme G is the affine scheme ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$, the prime spectrum of the ring of invariantsA의 경우, ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$G ${\displaystyle$ X$/\!/G}$로 표시된다$.$ GIT 지수는 범주형 지수로서, 이를 통한 불변형 형태론 고유 요인이다.

${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}$ 대신 (등급이 지정된 링의) Proj를 사용하면 투영적인 GIT 지수(반드시점 집합의 지수)를 얻을 수 있다$.$

GIT 지수는 반분점 위치의 범주형 지수, 즉 반분점 위치의 "" 지수"이다.범주형 인수는 고유하기 때문에, 기하학적 인수가 있으면, 두 개념은 일치한다. 예를 들어, 한 개념은 다음과 같다.

$(\displaystyle G/H=G/\!/]H=\\operatorname {Spec} \!{\big(}k[G])^{H}{\big )}}}}$

필드 k에 대한 대수 그룹 G와 닫힌 부분군 H.

X가 복잡한 매끄러운 투영 품종이고 G가 환원성 복합 Lie 그룹이라면 G의 최대 콤팩트 부분군(Kempf-Ness 정리)에 의한 X의 동일성 지수에 대한 GIT 지분은 동형이다.

GIT 지수 구축

G는 한 분야에 걸쳐 준 투영 체계 X에 작용하는 환원 집단이 되고 L은 X에 선형화된 넉넉한 선다발이 되도록 하자.내버려두다

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma(X,L^{\otimes n})$

단원이 되다By definition, the semistable locus ${\displaystyle X^{ss}}$ is the complement of the zero set ${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$ in X; in other words, it is the union of all open subsets ${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$ for global sections s of ${\displaysty$$l(L^{\otimes$ n$})^{G$ n large.증폭에 의해 각 ${\displaystyle U_{}}$ ${\$라고 말하면 ${\displaystyle {Us}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}(}$ (${\displaystyle A_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec}(A_{s})$이 되고$$, 그러면 우리는 해당 Uside GIT 지수를 형성할 수 있다.

${\displaystyle {\pi s}_{}}$: ${\displaystyle {Us}_{}}$→ ${\displaystyle {Us}_{}}$/ /${\displaystyle G}$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ G${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\/G=\operatorname {Spec}(A_{s}^{G$

${\displaystyle U_{}}$/${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$은(는) 불변성의 링에 대한 힐버트의 정리에 의해 유한한 유형이라는 점에 유의한다.범주형 인수의 보편적 속성에 의해, 이러한 어필 인수는 접착제로 되어 다음과 같은 결과를 낳는다.

${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle s{}^{}}$→ X${\displaystyle }$/${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to$ X$/\!/_{$L}$G}$,

L에 대한 X의 GIT 지수.X가 투영적인 경우, 즉 R의 Proj인 경우, $X{\displaystyle }$/${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X$/\!/_{L}G}$는 단순히 $불변성{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$ G$${\$displaystyle$ R$^{G}$의 링의 Proj로 주어진다$$$.$

가장 흥미로운 경우는 안정적 위치^[1] $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\$가 비어$$ 있지 않을 때, $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\$ $X$$^{s}}$는 ${\displaystyle {\mathrm{Xs}}^{}}$ ${\$ X$^{ss}$에서 닫히는 유한 안정제와 궤도를 가진 반분점 세트의 개방된 집합이다$.$ 이러한 경우 GIT 지수는 제한된다.

${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$: X ${\displaystyle s^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$/${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi ^{s}\colon$ X$^}\to X^{s}/\!/G$

모든 섬유는 궤도라는 특성을 가지고 있다.That is to say, ${\displaystyle \pi ^{s}}$ is a genuine quotient (i.e., geometric quotient) and one writes ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$. Because of this, when ${\displaystyle X^{s}}$ is nonempty, the GIT quotient ${\displaystyle \pi }$ is often referred to as a "cX의 열린 부분 집합의 기하학적 지수의 ompactification".

어렵고 겉으로 보기에 개방적인 질문은 위와 같은 GIT 패션에서 어떤 기하학적 요소가 발생하는가?이다.이 질문은 GIT 접근방식이 계산하기 어려운 추상적 지수와 반대로 명시적 지수를 산출하기 때문에 매우 흥미롭다.이 질문에 어느 알려진 부분 대답은:[2]G{G\displaystyle}의 행동으로 X{X\displaystyle} 국내 요인 대수적 다양한(예는 보다 원활한 다양한) 봅시다. 넓부분 집합 U⊂ X{\displaystyle U\subset X}뿐만 아니라 기하학적 지수 π:U→ U/G 한다고 가정합시다{\displ에 따르는 것.아아!$스타일 \pi \colon U\to U/G}:$ (1) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 어핀 형태론이고 ($2{\displaystyle }$) U${\displaystyle /G}${\$displaystyle U/G}$은(는) 준프로젝티브 형태론이다$$$$.그런 다음 X에 있는 일부 선형화된 선다발 L에$$ $대해{\displaystyle }$ U${\displaystyle x^{}}$ X${\displaystyle {}^{}}$s${\displaystyle }$(${\displaystyle L}$ )$${\$displaystyle U\subset$ X$^{s}(L)}($유사한 질문은 어떤 서브링이 불변성의 고리인지 결정하는 것이다.

예

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z} /2}$에 의한 유한 그룹 작업

$GIT{\displaystyle \mathbb{}}$ 지수의 간단한 예는 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z} /2}$ -${\displaystyle }C{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$]$${\$displaystyle \mathb {C}$ [$x,y]}$ 전송에$$ 대한$$ 액션을 통해 주어진다.

${\displaystyle {\ligned}x\mapsto(-x)&y\mapsto(-y)\end{ligned}}}$

단수형 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, x ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2},$${\displaystyle \mathrm{xy}}$$,y^{2}}:$ 링 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle x{}^{}}$y${\displaystyle {]/2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 따라서 우리는 불변성체의 링을 생성할$$ 수 있다.

${\displaystyle \mathb {c}[x,y]^{\mathb {Z} /2}=\mathb {C}[x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathb {C}[a,b,c]}{2}}:}$

계획 이론적으로 형태론은

${\displaystyle \mathb {A}^{2}\text{Spec}\좌측({\frac {\mathb {C}[a,b,c]{(ac-b^{2})}}}}}=:\mathb {A}^{2}/(\mathb {Z}/2)}$

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle }$(0$,$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$ )$${\$displaystyle$$\mathb {A}$^{$3}$의 단수 하위 변수로서, ($0,0,0)}$에 격리된$$ 특이점이 있다$.$이는 다음과 같은 디퍼렌셜을 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle df={\display{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}$

따라서 미분 및 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 모두 원점에 있는 유일한 지점이다.얻어진 지수는 원뿔형 표면으로 원점에 보통 이중점이 있다.

비행기에서 토러스 작용

Consider the torus action of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ on ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$ by ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$. Note this action has a few orbits: the origin ${\displaystyle (0,0)}$, the punctured axes, ${\displaystyle \{(x}$${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$, and the affine conics given by ${\displaystyle xy=a}$ for some ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$. Then, the GIT quotient ${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$ has structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{}^{}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}}$ which is the subring of polynomials ${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$, hence it is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$.이것은 GIT 지수를 나타낸다.

${\displaystyle \pi \colon \mathb {A} ^{2}\to \mathb {A} ^{2}/\mathb {G}}}}$

Notice the inverse image of the point ${\displaystyle (0)}$ is given by the orbits ${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$, showing the GIT quotient isn't necessarily an orbit space.만약 그렇다면, 세 개의 기원이 있을 텐데, 그것은 분리되지 않은 공간이었다.^[3]

참고 항목

• 지분의 쌓기
• 성격별 다양성
• 차우 지수

메모들

참조

교육학

• Mukai, Shigeru (2002). An introduction to invariants and moduli. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
• Brion, Michel. "Introduction to actions of algebraic groups" (PDF).
• Laza, Radu (2012-03-15). "GIT and moduli with a twist". arXiv:1111.3032 [math.AG].
• Thomas, Richard P. (2006). "Notes on GIT and symplectic reduction for bundles and varieties". A Tribute to Professor S.-S. Chern. Surveys in Differential Geometry. Vol. 10. pp. 221–273. arXiv:math/0512411. doi:10.4310/SDG.2005.v10.n1.a7. MR 2408226. S2CID 16294331.

참조

• Alper, Jarod (2008-04-14). "Good moduli spaces for Artin stacks". arXiv:0804.2242 [math.AG].
• Doran, Brent; Kirwan, Frances (2007). "Towards non-reductive geometric invariant theory". Pure and Applied Mathematics Quarterly. 3 (1, Special Issue: In honor of Robert D. MacPherson. Part 3): 61–105. arXiv:math/0703131. Bibcode:2007math......3131D. doi:10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a3. MR 2330155. S2CID 3190064.
• Hoskins, Victoria. "Quotients in algebraic and symplectic geometry".
• Kirwan, Frances C. (1984). Cohomology of Quotients in Complex and Algebraic Geometry. Mathematical Notes. Vol. 31. Princeton N. J.: Princeton University Press.
• Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Geometric invariant theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)]. Vol. 34 (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.