홉프 알헤브로이드

수학에서, 홉프 알제브라스의 이론에서, 홉프 알제브로이드는 약한 홉프 알제브라, 특정한 꼬치 홉프 알제브라, 그리고 교감하는 홉프 k-알제브로이드의 일반화다.k가 필드인 경우, 역행 k-알제브로이드 는 k-알제브라의 범주에 있는 톱니그룹형 물체로서, 따라서 그 범주는 groupoid k-schemes 범주에 이중적이다.이 정류판은 1970년대에 대수 기하학 및 안정적 호모토피 이론에 사용되었다.Hopfalgebroids와 그 구조의 주요 부분인 연관 바이알제브로이드를 비협정적 베이스 대수학으로 일반화한 것은 J.-H에 의해 도입되었다.루는 1996년 포아송 기하학에서 그룹오이드에 대한 연구 결과 (1970년대부터 타케우치 건설과 2000년경 쉬에 의해 다른 건설에 비종교적인 방법으로 동등하게 나타났다.)그들은 약하고 홉프 알헤브라가 분리 가능한 대수보다 홉프 알헤브라가 되는 비약속적인 베이스 링 위에 있는 홉프 알헤브라로 느슨하게 생각될 수 있다.분리 가능한 대수보다 유한한 투영 조건을 만족하는 호프알제브로이드(Hopfalgebroid)가 약한 호프 대수(Hopf algebra H)이고, 반대로 약한 호프 대수(H)는 분리 가능한 하위 알제브라 H에^L 대한 호프알제브로이드(Hopf algebroid)라는 것이 정리다.대척점 공리는 2004년에 텐서적인 범주적 이유와 두 개의 프로베니우스 대수 연장과 관련된 예를 수용하기 위해 G. Böm과 K. Szlachanyi (J. 대수학)에 의해 변경되었다.

정의

호프알헤브로이드의^[1]^pg301-302 정의 뒤에 있는 주요 동기는 아핀 체계로 제시될 수 있는 대수적 스택의 역 대수적 표현이다.보다 일반적으로, Hopfalgebroids는 첨부 ${\text{Aff}}$ ${\$ 범주에 있는 groupoids의 사전 저장 데이터를 암호화한다.^[2]즉, 만약 우리가 애프터눈 계략의 집단적 대상을 가지고 있다면.

$s,t:X_{1}\오른쪽 화살표 X_{0}$

$\iota :X_{0}\to X_{1}$ $\iota :X_{0}\to X_{1}$ : $\iota :X_{0}\to X_{1}$ 0 $\iota :X_{0}\to X_{1}$ → X 1 {\displaystyle $\iota$ :{0 $}\to X_{1}:{$ 1}} 화살표에 물체를 내장하는 것으로서 $\iota :X_{0}\to X_{1}$ , ${\text{CRing}}$ 는 역행 링 CRing {\ $displaystyle {\text{}$ 에 있는 이중 물체로서 Hopfalgebroid의 정의로 받아들일 수 있다.이 ${\text{CRing}}$ 구조를 인코딩하는 $CRing}.$ 이 프로세스는 본질적으로 요네다 보조정리법의 ${\$ 범주의 그룹노이드 체계의 정의에 적용된다는 점에 유의하십시오.베이스 링을 수정하고 싶을 수 있으므로, ${\text{CRing}}_{k}$ ${\text{CRing}}_{k}$ k ${\$ $CRing}_$ 의 정류 $k$ $k$ -algebras $k$ .

체계이론적 정의

정의의 대수적 객체

정류 링 $k$ $k$ 위에 있는 Hopfalgebroid는 ${\text{CRing}}_{k}$ ${\text{CRing}}_{k}$ ${\$ 에 $(A,\Gamma )$ 있는 $k$ ${\$ $displaystyle k$ $(A,\Gamma )$ -algebras $k$ $(A,\Gamma )$ ( $A,\Damma$ )}의 $(A,\Gamma )$ 쌍이다 $k$ . $CRING}_{k}}}:$ 포인트의 ${\text{CRing}}_{k}$ functor.

${\text{홈}_{k}(\Gamma ,-)\오른쪽 화살표 {\text{홈}_{k}(A,-)$

${\text{Aff}}$ ${\$ 에 groupoid를 인코딩하십시오 ${\text{Aff}}$ ${\text{CRing}}_{k}$ ${\text{CRing}}_{k}$ ${\$ 에서 B ${\displaystyle$ B $}$ 을(를) 개체로 $B$ 수정하면 $CRing}}_{k}}$ 을 ${\text{CRing}}_{k}$ 를) 누른 다음 ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ k ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ $){\displaystyle$ {\ $text$ {\text $}$ $홈}_{k}(A,B$ )}은 ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ $($ 는) groupoid 및 ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ k( ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ , ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ $){\displaystyle {\text{$ $홈}_{k}(\감마 ,B)}$ 는 ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ 화살표의 집합이다.이것은 지도가 있는 것으로 해석된다.

${\begin}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{왼쪽 단위/소스맵}\\eta _{R}&:A\to \Gamma &{\text{ 오른쪽 유닛/대상 맵}\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma \comproduct/합성 맵}\\\\varepsilon &:\t;\t;\text{상담/ID 맵}:\Gamma \to \Gamma &{\text{조합}}$

여기서 슬래시 왼쪽에 있는 텍스트는 홉프 알헤브로이드 구조를 주는 알헤브라의 지도에 사용되는 전통적인 단어이고, 슬래시 오른쪽에 있는 텍스트는 groupoid에 해당하는 구조물이다.

${\text{홈}_{k}(\Gamma ,-)\오른쪽 화살표 {\text{홈}_{k}(A,-)$

이 지도들은 에 대응하며, 이는 요네다 임베딩에서 나온 그들의 이중 지도가 그룹노이드의 구조를 제공한다는 것을 의미한다.예를 들어,

$\eta_{L}^{*}:{\text{홈}_{k}(\감마 ,-)\오른쪽 화살표 {\text{홈}_{k}(A,-)$

$소스$ 맵 s $s$ 에 해당됨 $s$

이 지도가 충족해야 하는 공리

이 지도들 외에도, 그들은 그룹노이드의 공리에 이중인 다수의 공리들을 만족시킨다.참고: ${\text{CRing}}_{k}$ ${\text{CRing}}_{k}$ ${\$ 에서 $B$ $B$ 을(를) 일부 개체로 $B$ 수정하십시오. $CRing}_{k}}}$ 증정 ${\text{CRing}}_{k}$

${\$ $Id}_{A$ 이중 상담 지도 ${\$ 는 ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ ( ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ B $){\displaystyle{\text{}}}}$ 의 객체에 대한 양면 ID 역할을 한다 $\varepsilon ^{*}$ . $홈}_{k}(A,B)}$
$($ $id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text{$ $ID}}_{\Gamma }\Delta ={\text}$ $Id}}_{\감마$ 정체성을 가진 화살표를 구성한다는 뜻의 화살표는 변경되지 않고 그대로 남는다.
${\$ $ID}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{$ $ID}}_{\Gamma }\Delta ={\text}$ $ID}}_{\감마$ }}}은 형태론 구성의 연관성에 해당한다 $({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }$ .
$c\eta _{R}=\eta _{L}$ $c\eta _{R}=\eta _{L}$ $c\eta _{R}=\eta _{L}$ = $c\eta _{R}=\eta _{L}$ $c\eta _{R}=\eta _{L}$ ${\$ 및 $c\eta _{L}=\eta _{R}$ $c\eta _{L}=\eta _{R}$ $c\eta _{L}=\eta _{R}$ = $c\eta _{L}=\eta _{R}$ $c\eta _{L}=\eta _{R}$ ${\$ 는 출처와 대상이 서로 다른 형태주의를 뒤집는 의미로 해석된다.
${\$ $Id}}_{\감마$ $cc={\text{Id}}_{\Gamma }$ 역의 역이 원래 지도라는 뜻
$\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ 은 존재하는 지도 $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ A $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ inverse $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ { \ \ \ $\Displaystyle \Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightarrows \Gamma }}$ 이 형태론의 구성을 양쪽에 역순으로 부호화하여 $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ 정체성 형태론을 제공한다.이는 아래의 정류 도표로 인코딩할 수 있으며, 여기서 점선 화살표는 이 두 화살표의 존재를 나타낸다.

where $c\cdot \Gamma$ is the map $c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}$ and ${\displaystyle \Gamma \cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\g$ $암마 _{2}}$ .

추가 구조물

Hopf-algebroid의 표준 정의 외에도, 위에 제시된 등급화된 정류 구조 지도가 있는 $(A,\Gamma )$ 등급화된 정류형 알헤브라스 $(A,\Gamma )$ , $(A,\Gamma )$ $){\displaystyle(A,\Gamma )$ 의 쌍인 등급화된 호프-알게브루이드도 있다.

Also, a graded Hopf algebroid $(A,\Gamma )$ is said to be connected if the right and left sub $A$ -modules $\Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma$ are both isomorphic to $A$

다른 정의

좌측 호프algebroid(H, R)은 왼쪽 bialgebroid 대척지에 대해서bialgebroid(H, R)총 대수 H와 기본 대수학 R과 두 매핑, 리 대수의 불완전 변태 s로 구성됩니다. R→ H가 소스 지도, 리 대수의 anti-homomorphism t:R→ H가 표적 지도라는 교환 조건 s(r1)t(r2))t(r2)s(r1)은 요구했다.앉았다모든₁ r, r₂ ∈ R에 대해 분리됨.The axioms resemble those of a Hopf algebra but are complicated by the possibility that R is a non-commutative algebra or its images under s and t are not in the center of H. In particular a left bialgebroid (H, R) has an R-R-bimodule structure on H which prefers the left side as follows: r₁ ⋅ h ⋅ r₂ = s(r₁) t(r₂) h for all h in H, r₁, r₂ ∈ R.(H, R, Δ, Δ, Δ)를 R-코어링(모든 매핑이 R-R-bimodule 동형성 및 모든 텐서(R)를 R에 걸쳐 갖는 공동 유도 Δ: H _R→ H 및 상담 ε: H → R)가 있다.또한 바이알게브로이드(H, R)는 모든 a, b in H에 대해 Δ(ab) = Δ(b)를 만족해야 하며, 이 마지막 조건이 타당함을 확인하는 조건: 모든 영상 지점 Δ(a)는 모든 r에 대해 t₍₁₎(r) a₍₂₎ a = a₍₁₎(r)를₍₂₎ 만족해야 한다.또한 Δ(1) = 1 ⊗ 1.상담은 ε_H(1) = 1과_R 조건 ε(ab) = ε(as)(b) = ε(at)(b)를 만족시켜야 한다.

대척점 S: H → H는 보통 소스와 표적 지도를 교환하고 호프 대수 대척점 공리와 같은 두 개의 공리를 만족시키는 조건을 만족하는 대수 반자극주의로 간주된다. 대척점에 대한 좀 더 복잡하지만 더 많은 예-범주적 공리 집합은 Lu 또는 Böm-Szlachhany에서 참조한다.후자의 공리 집합은 또한 우측 바이알게브로이드의 공리에 따라 달라지는데, 이 공리는 위에서 주어진 왼쪽 바이알게브로이드의 공리 s를 좌에서 우로, t로, 직각 전환이다.

예

대수 위상으로부터

홉프알제브로이드의 주요 동기 부여 사례 중 하나는 쌍 $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ ( $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ ) , $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ ( $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ ) ${\displaystyle$ (\ $pi$ _ ${*}(E))$ 이다.스펙트럼 $E$ $E$ 에 $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ 대한 $E_{*}(E$ $E$ ^[3] 예를 들어, 홉프 알헤브로이드 $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ ( $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ ) $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ , $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ ( $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ ) ${\displaystyle(\pi _{*})({\text{\$ text}). $MU}),{\text{$ $MU}}_{*}({\text{$ $MU}})},$ ( $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ ( $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ ) $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ , $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ ( $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ ) ${\displaystyle (\pi _{*})({\text{B$ ) $P}),{\text{B$ $P}}_{*}({\text{BP})}}$ 복잡한 코보디즘과 브라운-피터슨 호몰로학을 나타내는 스펙트럼에 대해 $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ 그 자르기는 대수적 위상에서 광범위하게 연구되고 있다.이것은 그들이 안정적인 호모토피 그룹의 구들을 계산하기 위해 애덤스-노비코프 스펙트럼 시퀀스에 사용하기 때문이다.

Hopf Algebroid corepresenting stack of form group laws

공식 그룹 법칙 ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\$ 의 스택을 핵심으로 나타내는 Hopf-algebroid가 있다.대수적 위상(gebrahic topology)을 ${\mathcal {M}}_{FG}$ 사용하여 구성되는 $FG}.$ ^[4] ${\text{MP}}$ ${\$ $MP}}}$ 은 스펙트럼을 나타낸다 ${\text{MP}}$ .

${\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathb {Z}}\Sigma ^{2m}{\text{MU}$

홉프 알헤브로이드(Hopf Algebroid)가

${\text{MP}_{0}\오른쪽 화살표 {\text{MP}_{0}({\text{MP}})$

스택 M ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\$ $FG$ 즉, functors의 이형성(異形性)이 있다는 뜻이다.

${\mathcal{M}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}_{0}\오른쪽 화살표 {\text{MP}_{0}({\text{MP})](-)$

오른쪽 펑터가 그룹오이드에 정류 $B$ 링 $B$ $B$ 을(를) 보내는 위치

${\text{MP}_{0}(B)\오른쪽 화살표 {\text{MP}_{0}({\text{MP})(B)$

기타 예

좌측 바이알게브로이드의 예로서, 필드 k에 대한 어떤 대수라도 되려면 R을 취한다.H를 선형 자기복제 대수학으로 삼아라.s(r)는 R에 의해 왼쪽 곱하기, t(r)는 R에 의해 오른쪽 곱하기이다.H는 R 위에 있는 좌측 바이알게브로이드(Bialgebroid)로 볼 수 있다.H ⊗_R H ≅ Hom_k(R ⊗ R, R)은 R에서 자체로 그리고 모든 r u로 각 선형 변환에 대해 Δ(f)(r = u) = f(ru)에 의해 합성을 정의할 수 있다.공동효과는 제품의 R에 대한 연관성에서 비롯된다.상담은 ε(f) = f(1)로 한다.코링의 카운트 공리는 R의 곱셈에 대한 ID 요소 조건으로부터 따른다.독자는 (H, R)이 왼쪽 바이알게브로이드인지 확인하기 위해 즐거워하거나, 적어도 교화될 것이다.R이 아즈마야 대수인 경우, H가 R ⊗ R과 이형인 경우, 대척점은 Tensor를 전치시켜 H를 R에 대한 Hopf 알제브로이드로 만든다.또 다른 종류의 예는 R을 지면장이 되게 하는 데서 온다. 이 경우 홉프 알헤브로이드(H, R)는 홉프 대수학이다.

참고 항목

참조

^ Ravenel, Douglas C. (1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772.
^ Hovey, Mark (2001-05-16). "Morita theory for Hopf algebroids and presheaves of groupoids". arXiv:math/0105137.
^ Hopkins. "Complex oriented cohomology theories and the language of stacks" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)
^ Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Landweber exact functor theorem". Topological modular forms (PDF). Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304.

추가 읽기

Böhm, Gabriella (2005). "An alternative notion of Hopf algebroid". In Caenepeel, Stefaan (ed.). Hopf algebras in noncommutative geometry and physics. Proceedings of the conference on Hopf algebras and quantum groups, Brussels, Belgium, May 28–June 1, 2002. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Vol. 239. New York, NY: Marcel Dekker. pp. 31–53. ISBN 978-0-8247-5759-5. Zbl 1080.16034.
Böhm, Gabriella; Szlachányi, Kornél (2004). "Hopf algebroid symmetry of abstract Frobenius extensions of depth 2". Commun. Algebra. 32 (11): 4433–4464. arXiv:math/0305136. doi:10.1081/AGB-200034171. S2CID 119162795. Zbl 1080.16036.
장화루, "홉프 알제브로이드와 양자 그룹" , Int. J. 수학 7, n. 1 페이지 47–70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024, https://dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050.

[Ravenel-1] Ravenel, Douglas C. (1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772.

[2] Hovey, Mark (2001-05-16). "Morita theory for Hopf algebroids and presheaves of groupoids". arXiv:math/0105137.

[3] Hopkins. "Complex oriented cohomology theories and the language of stacks" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)

[4] Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Landweber exact functor theorem". Topological modular forms (PDF). Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304.

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