길버트-바르샤모프 선형 코드 바인딩

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2019년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

선형 코드에 바인딩된 Gilbert-Varshamov 바운드는 일반 Gilbert-Varshamov 바운드와 관련이 있는데, 이 코드는 필드 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 주어진 블록 길이의 오류 수정 코드의 최대 요소 수에 대한 하한을 부여하고 최소 해밍 중량을 부여한다$.$ 이것은 이 문장에 대한 문장으로 번역될 수 있다.지정된 길이와 최소 거리를 가진 코드의 최대 속도선형 코드에 바인딩된 Gilbert-Varshamov는 동시에 높은 속도를 갖는 주어진 바인딩보다 작은 상대적 최소 거리에 대해 q-ary 선형 코드의 존재를 주장한다.존재 증명서는 확률론적 방법을 사용하므로 건설적이지 않다.길버트-바르샤모프 바운드는 크기가 49 미만인 알파벳에 대한 코드의 상대적 거리 측면에서 가장 잘 알려져 있다.^{[citation needed]}큰 알파벳의 경우, 고파 코드는 때때로 길버트-바르샤모프 바인딩에 의해 주어진 것보다 점증적으로 더 나은 비율 대 거리 트레이드오프를 달성한다.^[1]

길버트-바르샤모프 결합 정리

정리:q 2{\displaystyle q\geqslant 2}⩾.을 위해 매일 0⩽δ<1− 1q{\displaystyle0\leqslant \delta<>1-{\tfrac{1}{q}}}와 0개체, ε ⩽ 1− Hq(δ),{\displaystyle 0<, \varepsilon\leqslant 1-H_{q}(\delta),}이 비율 R이 들어 있는 코드 존재하 ⩾ 1− Hq(δ)− ε{\displaystyle R\geqslant 1-H_{q}(\de자.lta)-\vare$psilon }$ 및$$ 상대 거리 $\Delta {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \cHB .}$

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 다음과$$ 같이 정의된 q-ary 엔트로피 함수다.

${\displaystyle H_{q}(x)=x\log _{q}(q-1)-x\log _{q}-(1-x)\log _{q}(1-x).}$

위의 결과는 에드거 길버트가 여기서와 같이 탐욕스러운 방법을 사용하여 일반 코드에 대해 증명하였다.선형 코드의 경우, Rom Varshamov는 무작위 선형 코드에 확률론적 방법을 사용하여 증명했다.이 증거는 다음 부분에 제시될 것이다.

높은 수준의 증거:

그러한 제약조건을 만족하는 선형 코드의 존재를 보여주기 위해 확률론적 방법을 사용하여 랜덤 선형 코드를 구성한다.구체적으로는 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 필드 위에서 요소가 균일하게 선택되는 임의발생기$$ $매트릭스{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$를 선택하여 선형코드를 임의로 선택하며$,$ 또한 선형코드의 해밍 거리는 코드 워드의 최소 중량과 동일하다.So to prove that the linear code generated by ${\displaystyle G}$ has Hamming distance ${\displaystyle d}$, we will show that for any ${\displaystyle m\in \mathbb {F} _{q}^{k}\smallsetminus \left\{0\right\},\operatorname {wt} (mG)\geq d}$ . To prove that, we prove the opposite one; 즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 의해 생성된 선형 코드의 해밍 $거리$가 d ${\displaystyle$d}보다 작을 확률은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에서 기하급수적으로 작다$$$.$그리고 확률론적 방법에 의해 정리를 만족하는 선형 코드가 존재한다.

공식 증명:

확률론적 방법을 사용하여 $해밍{\displaystyle }$ 거리가 d ${\displaystyle d}$보다 큰 선형 코드가 존재함을 보여주기 위해 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$보다 작은 임의 선형 코드가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에서 기하급수적으로 작을$$ 확률을 보여 줄 것이다$.$

우리는 선형 코드가 제너레이터 매트릭스를 사용하여 정의된다는 것을 안다.따라서 선형 코드의 랜덤성을 설명하기 위해 "랜덤 생성기 매트릭스" $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$를 평균으로$$ 사용한다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ k ${\displaystyle kn}$ 크기의 임의 생성기$$ 매트릭스 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에는 필드 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 독립적이고 균일하게 선택된 ${\displaystyle k}$ ${\displaystystystyle kn}$ 요소가$$ 포함되어$$ 있다$.$

선형 코드에서 거리는 0이 아닌 코드 워드의 최소 무게와 같다는 점을 상기하십시오.${\displaystyle \mathrm{wt}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \operatorname {wt}(y)}$을(를) 코드 워드 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 가중치가 되도록$$ 두십시오$.$

${\displaystyle {\reasoned}P&.(_{{\text{무작위}}G}({\text{선형 부호}에 의해 생성된}G{\text{다 거리}}<>d)\.\[6pt]&, =\Pr _{{\text{무작위}}G}({\text{이 0이 아니지만}존재하}이 선형 부호}로 발생하 y{\text{}G{\text{가}}\operatorname{wt}(y)<, d)\.\[6pt]&, =\Pr _{{\text{무작위}}G}\left(}{\text{관계}0\neqm\in\mathbb{F}_{q}^{k}{\text{.그런 }}\operatorname {wt}(mG)(<d\right)\end{aigned}}}$

마지막 동일성은 정의에서 따옴: 코드 $워드{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$이$($가) ${\displaystyle G}$$${\$displaystyle$ $G}$에 의해 ${\displaystyle \mathrm{생성}}$된 선형 코드에 속할 경우${\displaystyle ,<img\; alt="G"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.827ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="118">}$ 일부 벡터 $m{\displaystyle }$ ∈ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$\m} \$mathb {f} _{q}^{k$

Boole의 불평등에 의해, 우리는 다음과 같은 것을 가지게 되었다.

${\displaystyle P\leqslant \sum _{0\neq m\in \mathb {F}_{q}^{k}}\Pr _{\text{random }}(\operatorname {wt})(mG)<d)}$

이제 특정 메시지 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \ne m}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$k , {\$displaystyle 0\neq$ m$\in \mathb {F} _{$q}^{$k}}$에 대해 계산하려고$$ 함

${\displaystyle W=\Pr _{\text{random }G}(\operatorname {wt}(mG)<d)).}$

Let ${\displaystyle \Delta (m_{1},m_{2})}$ be a Hamming distance of two messages ${\displaystyle m_{1}}$ and ${\displaystyle m_{2}}$. Then for any message ${\displaystyle m}$, we have: ${\displaystyle \operatorname {wt} (m)=\Delta (0,m)}$. Therefore:

${\displaystyle W=\sum \{\{y\in \mathb {F} _{q}^{n} \Delta (0,y)\leqslant d-1\}\}\Pr _{\text{random }}(mG=y)}}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 랜덤성 때문에$$${\displaystyle m}$ G ${\displaystyle mG}$은(는) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ {$F} _{q}^{n}}}}}$의 균일한 랜덤 벡터 입니다$.$

${\displaystyle \Pr _{\text{random }G}(mG=y)=q^{-n}}$

${\displaystyle {\mathrm{Let}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( r${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \operatorname {Vol} _{q}(r,n)}$은(는) 반경 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$을(를) 가진 해밍 볼의 볼륨이다$.$ 그런 다음:^[2]

${\displaystyle P\leqslant q^{k}W=q^{k}\좌측({\frac {\\\properatorname {Vol}_{q}(d-1,n)}{q^{n}\우측)\leqslant q^{k}\좌측({\frac {q^{q^{n)H_{q}(\delta )}{q^{n}}\오른쪽)=q^{k}q^{-n(1-H_{q}(\delta )}}}}}}}}}}}$

$k{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle {}_{}q}$ (${\displaystyle }$Δ${\displaystyle }$) - ${\displaystyle \epsilon }$)${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ k$=(1-H_{q}(\delta )-\bar렙실론 )n}$을 선택하면 위의 불평등이 된다$.$

${\displaystyle P\leqslant q^{-\barepsilonn}}$

마지막으로 $q{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\epsilon }^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\displaystyle q^{-\var렙실론$ n$}\ll$ 1$\},$ 이것은 기하급수적으로 작은 n, 그것이 우리가 이전에 원했던 것이다.그 다음 확률론적 방법에 의해 상대 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를$$$$) 가진 선형 코드 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $R$$}$이$({\displaystyle }$가) 적어도 (${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="R"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.764ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="147">}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q{}_{}}$(${\displaystyle }$Δ${\displaystyle }$) - ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystystyle (1-H_{q}-\delta )-\varipsilon )$이 있다$.$

평.

1. 위의 Varshamov 구조는 명시적이지 않다. 즉, Gilbert-Varshamov 바인딩을 충족하는 선형 코드를 구성하기 위한 결정론적 방법을 명시하지 않는다.순진한 접근방식은 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 필드를 통해$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle kn}$ 크기의$$ 모든 제너레이터 행렬 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 검색하여$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$과(와)에 연결된 선형 코드가 예상 해밍 거리를 달성하는지$$ 확인하는 것이다.이 철저한 검색은 최악의 경우 기하급수적인 런타임을 필요로 한다.
2. 무작위 선형 코드를 취하여 이 코드가 해밍 거리가 좋은지 확인하는 라스베이거스 건설도 있지만, 이 건설은 지수 런타임도 가지고 있다.
3. 충분히 큰 비 프라임 q와 특정 범위의 변수 Δ에 대해, 길버트-바르샤모프 바운드는 Tsfasman-Vladut-Zink 바운드에 의해 개선된다.^[3]

참고 항목

• 길버트-바르샤모프 일반 코드 길버트 건설로 인해 바인딩됨
• 해밍 바운드
• 확률론적 방법

참조

• 제11장: 길버트-바르샤모프 바운드.코딩 이론 과정.아트리 루드라 교수
• 강의 9: 해밍볼의 부피에 대한 경계.코딩 이론 과정.아트리 루드라 교수
• 코딩 이론 참고 사항:길버트-바르샤모프 바운드.벤카테산 구루스와미