선형코드

코딩 이론에서, 선형 코드는 오류 수정 코드로, 코드 워드의 어떤 선형 조합도 코드 워드인 것이다. 선형 코드는 전통적으로 블록 코드와 경련 코드로 구분되지만, 터보 코드는 이 두 가지 유형의 하이브리드 코드로 볼 수 있다.^[1] 선형 코드는 다른 코드(cf. 신드롬 디코딩)보다 더 효율적인 인코딩과 디코딩 알고리즘을 가능하게 한다.^{[citation needed]}

선형 코드는 전방 오류 보정에 사용되며 통신 채널의 기호(예: 비트) 전송 방법에 적용되어 통신에 오류가 발생하면 메시지 블록의 수신자가 일부 오류를 수정하거나 감지할 수 있다. 선형 블록 코드의 코드 워드는 보낼 원래 값보다 많은 기호를 사용하여 인코딩되는 기호 블록이다.^[2] 길이 n의 선형 코드는 n개의 기호를 포함하는 블록을 전송한다. 예를 들어, [7,4,3] 해밍 코드는 7비트 코드 워드를 사용하는 4비트 메시지를 나타내는 선형 이진 코드다. 두 개의 뚜렷한 암호어는 적어도 3비트가 다르다. 그 결과 하나의 오류를 수정할 수 있는 동안 코드워드당 최대 2개의 오류를 검출할 수 있다.^[3] 이 코드는 2⁴=16개의 암호문을 포함하고 있다.

정의 및 매개 변수

길이 n과 순위 k의 선형 코드는 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ n ${\$ 의 치수 k를 갖는 선형 아공간 C이며, $\mathbb {F} _{q}$ 서 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ F $\mathbb {F} _{q}$ ${\$ 는 q 요소를 가진 유한한 필드다 $\mathbb {F} _{q}$ . 이런 코드를 q-ary 코드라고 한다. q = 2 또는 q = 3인 경우, 코드는 각각 이진 코드 또는 3번 코드로 설명된다. C의 벡터는 코드워즈라고 불린다. 코드의 크기는 코드 워드의 수이며 q와^k 같다.

암호문의 무게는 0이 아닌 원소의 수이고, 두 암호의 거리는 그 사이의 해밍 거리, 즉 서로 다른 원소의 수이다. 선형 코드의 거리 d는 0이 아닌 코드 워드의 최소 가중치 또는 동등하게 구별되는 코드 워드 사이의 최소 거리를 의미한다. 길이 n, 치수 k, 거리 d의 선형 코드를 [n,k,d] 코드라고 한다.

각 좌표는 전송 오류(이항 대칭 채널)의 약간의 작은 확률로 "소음 채널"을 통해 전송되는 "비트"를 나타내기 때문에 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ ${\$ 에 표준 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 기준을 부여하고자 한다. 만약 다른 기준이 사용된다면, 이 모델은 사용될 수 없으며 해밍 측정기준은 우리가 원하는 대로 전송 오류 수를 측정하지 않는다.

제너레이터 및 점검 행렬

$\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ ${\$ { $F} _{q}^{n}}$ 의 선형 하위공간으로서 $전체$ 코드 C(매우 클 수 있음)는 k ${\displaysty k}$ 코드 $k$ 워드 집합(선형 대수에서 기본으로 알려져 있음)의 범위로 나타낼 수 있다 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 이러한 기본 코드 단어는 종종 코드 C에 대한 생성 행렬로 알려진 행렬 G의 행에 결합된다. G의 블록 ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ 이 G ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ = ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ [ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\displaystyle {\boldsymbol{G}}=[]$ 인 경우 $I_{k}$ ${k} P$ 여기서 $I_{k}$ k ${\$ 는 k $k\times k$ × k $k\times k$ 정체성 $k\times k$ 행렬을 나타내며 $I_{k}$ P는 $k\times (n-k)$ k $k\times (n-k)$ ( $k\times (n-k)$ - k $k\times (n-k)$ ) $k\times (n-k)$ {\ $displaysty k\times (n-k)$ 행렬로 $k\times (n-k)$ 표시하면 G가 표준 형태라고 한다.

선형 함수 $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n-k}$ : $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n-k}$ $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n-k}$ → $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n-k}$ n - k ${\$ \mathb {F} $_{q}^{n-k}}$ 을 $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n-k}$ 나타내는 행렬 H이며, 커널은 C(또는 패리티 체크 행렬)의 체크 행렬이라고 한다. 마찬가지로 H는 null 공간이 C인 행렬이다. C가 표준형식의 생성매트릭스 G를 가진 코드라면 ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ = ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ [ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G}=[]$ $I_{$ ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ $}$ P ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ 그 ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ H ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ = ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ [ ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ - P ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ n ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ - ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ ] ${\boldsymbol{H}}=[-P^{T} I_{n-k}]}}}}$ 는 ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{n-k}]$ C의 체크 매트릭스다. H가 생성한 코드를 C의 듀얼 코드라고 한다. G가 $k\times n$ $k\times n$ $k\times n$ $k\times n$ 행렬인 $k\times n$ 반면 H는 $(n-k)\times n$ (n $(n-k)\times n$ - $(n-k)\times n$ ) $(n-k)\times n$ $(n-k)\times n$ $(n-k)\time n$ 행렬인 $(n-k)\times n$ 것을 확인할 수 있다.

선형성은 코드 워드₀ c와 다른 코드 워드 c between₀ c 사이의 최소 해밍 거리 d가 c와₀ 독립적이라는 것을 보장한다. 이는 C에서 두 개의 암호문 중 c - c의₀ 차이도 암호문(즉, 하위공간 C의 요소)이며 d(c, c₀) = d(c - c₀, 0)인 속성에서 따온 것이다. 이러한 속성은 다음을 암시한다.

\min \in C,\\neq c_{0}=\min _{c,c_{0}}\c\in C,\neq c_{0}}}{0}d(c-c_{0},0)=\min _{c\in C,\neq 0(c,0)=d).

즉, 선형 코드의 암호어 사이의 최소 거리를 알아내기 위해서는 0이 아닌 암호어만을 바라볼 필요가 있을 것이다. 무게가 가장 작은 0이 아닌 코드 워드는 0 코드 워드까지의 최소 거리를 가지므로 코드의 최소 거리를 결정한다.

선형 코드 C의 거리 d도 체크 행렬 H의 선형 종속 열의 최소 개수와 동일하다.

증명: H ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ = ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ ${\$ $T}={\boldsymbol {0}}}$ , which is equivalent to $\sum _{i=1}^{n}(c_{i}\cdot {\boldsymbol {H_{i}}})={\boldsymbol {0}}$ , where ${\boldsymbol {H_{i}}}$ is the $i^{th}$ column of ${\boldsymbol {H}}$ ${\boldsymbol {H}}$ . $c_{i}=0$ $c_{i}=0$ = $c_{i}=0$ $c_{i}=0$ 을(를) 가진 항목을 제거하고 $c_{i}=0$ $c_{i}\neq 0$ 가 $c_{i}\neq 0$ ${\boldsymbol {H_{i}}}$ ${\$ $displaystyle$ ${\boldsymbol$ { $H_{i$ $}}}}}}}$ 은(는 $)$ 선형 종속적이다 $c_{i}\neq 0$ . 따라서 $d$ $d$ 은 $d$ (는) 최소한 선형 종속 열의 최소 수입니다. 다른 한편으로, $\{{\boldsymbol {H_{j}}}|j\in S\}$ {\ $displaystyle$ 의 최소 선형 종속 컬럼 집합을 고려하십시오. 여기서 $\{{\boldsymbol {H_{j}}}|j\in S\}$ $S$ ${\\displaystyle S}$ 은 $S$ (는) 컬럼 인덱스 집합입니다. $\sum _{i=1}^{n}(c_{i}\cdot {\boldsymbol {H_{i}}})=\sum _{j\in S}(c_{j}\cdot {\boldsymbol {H_{j}}})+\sum _{j\notin S}(c_{j}\cdot {\boldsymbol {H_{j}}})={\boldsymbol {0}}$ . Now consider the vector ${\boldsymbol {c'}}$ ${\boldsymbol {c'}}$ such that $c_{j}'=0$ if $j\notin S$ . Note ${\boldsymbol {c'}}\in C$ because ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c'}}^{$ $T}={\$ $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ ${$ $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ 그러므로 $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ 는 $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ ${\$ $displaystyle d\leq wt({\boldsymbol$ ${c$ $'}}}$ 을(를) 가지고 있는데 $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ ${\boldsymbol {H}}$ 는 H {\ $displaystyle{\boldsymbol{$ H}}}}에서 선형 종속된 열의 최소 수이다 ${\boldsymbol {H}}$ 따라서 청구된 속성이 입증된다.

예: 해밍 코드

오류보정을 목적으로 개발된 선형 코드의 제1종으로서 해밍 코드는 디지털 통신 시스템에 널리 이용되어 왔다. 임의의 양의 정수 $r\geq 2$ $r\geq 2$ $r\geq 2$ ${\displaystyle r\geq$ 2 $r\geq 2$ 에 대해 $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ [ $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ - $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ , $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ - $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ - $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ , $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ ${\$ }} 해밍 $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ 코드가 있다. $d=3$ = $d=3$ ${\displaystyle d=3$ 이므로 이 해밍 코드는 1비트 오류를 수정할 수 있다.

예 : 다음과 같은 제너레이터 매트릭스 및 패리티 체크 매트릭스를 갖는 선형 블록 코드는 $[7,4,3]_{2}$ [ 7, $[7,4,3]_{2}$ , $[7,4,3]_{2}$ ] $[7,4,3]_{2}$ ${\$ 해밍 $[7,4,3]_{2}$ 코드다.

{\boldsymbol{G}={\begin{pmatrix}1\ 0\ 1\\1\1\0\\1\\0\\\1\\\\1\\\\1\\0\\\\\\\1\\1\\\\\1\\\1\\,}

{\displaystyle {\boldsymbol {H}={\begin{pmatrix}1\1\1\1\1\1\1\1\1\\0\1\\1\\1\\1\\0\1\\\1\\0\1\\\\\1\\1\\1\\1pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

예: 하다마드 코드

하다마드 코드는 [ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ - $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ ${\$ }}개의 $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ 선형 코드로 많은 오류를 수정할 수 있다. Hadamard 코드는 열별로 구성할 수 있다: $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ 열은 $i^{th}$ 다음 예에서와 같이 정수 $i$ $i$ 의 이진 표현 비트의 것이다 $i$ Hadamard 코드는 최소 거리 $2^{r-1}$ $2^{r-1}$ - 1 ${\$ 2 $^{r-1}$ 을 $2^{r-1}$ 가지므로 2 r - $2^{r-2}-1$ - 1 ${\displaystyle$ 2 $^{r-2$ }-1} 오류를 $수정할$ 수 있다 $2^{r-2}-1$ .

예: The linear block code with the following generator matrix is a $[8,3,4]_{2}$ Hadamard code: ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}_{Had}={\begin{pmatrix}0\ 0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 1\ 1\\0$ $\ 0\ 1\ 0\ 1\ 1\\0\$ 1\ $0\$ 1\ $0\$ 1\\ 0\ $1\\$ 1\\ 1 $\end{pmatrix$

하다마드 코드는 리드-뮬러 코드의 특수한 경우다. 첫 번째 컬럼(all-zero column)을 ${\boldsymbol {G}}_{Had}$ a ${\boldsymbol {G}}_{Had}$ ${\$ $[7,3,4]_{2}$ ${Had$ 에서 빼면 $[7,3,4]_{2}$ [ $,3,4]{2}}개$ 의 디스플레이 $스타일$ , 즉 해밍 코드의 이중 코드인 심플렉스 $[7,3,4]_{2}$ 코드가 나온다.

가장 가까운 이웃 알고리즘

매개변수 d는 코드의 오류 수정 능력과 밀접하게 관련되어 있다. 다음 구성/알고리즘은 이를 예시한다(가장 가까운 이웃 디코딩 알고리즘이라고 함).

입력: $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ ${\$ 에서 수신된 벡터 v. $\mathbb {F} _{q}^{n}$

출력: $C$ $C$ 에서 $w$ $v$ ${\displaystyle$ $v$ $}($ 있는 $C$ 경우 $v$ 에 가장 가까운 $코드$ 워드 w {\ $displaystyle$ w $}$

$t=0$ = $t=0$ $t=0$ 부터 다음 두 단계를 반복하십시오 $t=0$
수신 단어 $v$ $v$ 주위에 $t$ (Hamming) $반지름$ t{\ $displaystyle t}$ 의 볼 요소를 열거하십시오 $B_{t}(v)$ $B_{t}(v)$ $B_{t}(v)$ $B_{t}(v)$ $B_{t}(v)$ ${\displaystyle B_{t}(v)}.$
- $B$ $B_{t}(v)$ ) $B_{t}(v)$ 의 $w$ 각 $w$ ${\$ $displaystyle$ $w$ $}$ 에 대해 $B_{t}(v)$ C ${\displaystyle$ C $}$ 에서 $w$ ${\$ displaystyle w}을(를) 확인하십시오 $C$ 그렇다면 $w$ {\ $displaystyle$ w $}$ 을(를) 솔루션으로 $w$ 반환하십시오.
증분 $t$ ${\displaystyle t$ $t>(d-1)/2$ > $t>(d-1)/2$ ( $t>(d-1)/2$ - $t>(d-1)/2$ ) $t>(d-1)/2$ / 2 ${\displaystyle$ t $>(d-1)/2}$ 의 $t>(d-1)/2$ 경우에만 실패하므로 열거가 완료되고 해결책이 발견되지 않았다.

우리는 선형 $C$ $C$ 이 $C$ ( $B_{t}(v)$ ) $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$ ${\$ { $F}{q}^{$ n $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 의 각v에 $v$ $대해$ $B_{t}(v)$ B t ( $B_{t}(v)$ $B_{t}(v)$ ${\$ $displaystyle B_$ ${t}(v)}$ 에 코드 워드가 하나 이상 있는 경우 오류를 수정한다고 $t$ 말한다.

통속 표기법

일반적으로 코드는 문자 C로 표기되는 경우가 많으며, 길이 n과 순위 k의 코드(즉, k 코드 워드를 기본으로 하고 k 행을 생성 매트릭스에 갖는 것)는 일반적으로 (n, k) 코드라고 한다. 선형 블록 코드는 종종 [n, k, d] 코드로 표시되는데, 여기서 d는 두 코드 단어 사이의 코드의 최소 해밍 거리를 가리킨다.

([n, k, d]표기법은길이, 크기 M(즉, M코드 단어를 포함)및 최소 해밍 거리 d의 비선형 코드를 나타내는 데 사용되는(n, M, d)표기법과 혼동해서는 안 된다.).

싱글톤 바운드

보조정리(Singleton Bound): 모든 선형 [n,k,d] 코드 C는 $k+d\leq n+1$ + $k+d\leq n+1$ $k+d\leq n+1$ + $k+d\leq n+1$ 을 만족한다 $k+d\leq n+1$ (\ $displaystyle k+d\leq n+1}).$

매개변수가 k+d=n+1을 만족하는 코드 C를 최대 거리 분리 가능 또는 MDS라고 한다. 그러한 코드가 존재할 경우 어떤 의미에서 가장 잘 가능하다.

C와₁ C가₂ 길이 n의 두 코드인 경우, 그리고 (c₁,...,c_n)의 대칭군 S에_n 순열 p가 있는₁ 경우(c,...,c)는 (c_p(1)₂,...,c)의 경우(c,...,c)와 (c, ...,c_p(n))의 순열 p가 있으면, 우리는₁ C와 C가₂ 순열 동등하다고 말한다. In more generality, if there is an $n\times n$ monomial matrix $M\colon \mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n}$ which sends C₁ isomorphically to C₂ then we say C₁ and C₂ are equivalent.

보조정리: 모든 선형 코드는 표준 형태인 코드에 상당하는 순열이다.

보니솔리의 정리

코드는 코드의 구별되는 두 코드 단어 사이의 거리가 d와 같을 정도로 일정한 d가 존재하는 경우에만 등거리라고 정의된다.^[4] 1984년 Arrigo Bonisoli는 유한한 분야에 대한 선형 1-중량 코드의 구조를 결정하였고, 모든 등거리 선형 코드는 이중 해밍 코드의 시퀀스임을 증명하였다.^[5]

예

선형 코드의 일부 예는 다음과 같다.

일반화

비필드 알파벳에 대한 해밍 공간도 고려되었으며, 특히 유한 링에 대해서는 특히 Z에 대한 갈루아₄ 링이 고려되었다. 이는 벡터 공간 대신 모듈을 발생시키고 선형 코드 대신 링-선형 코드(하위 부호로 식별됨)를 발생시킨다. 이 경우 Lee 거리에 사용되는 일반적인 메트릭. 한 그레이 등고 Z22m{\displaystyle \mathbb{Z}_{2}^{2m}}(즉 여자 친구(실대형 22m)사이에 탭Hamming 거리와 리 거리에 Z4m{\displaystyle \mathbb{Z}_{4}^{m}}(로 GR(4,m 또한을 설명))를;그것의 큰 매력이 없는" 좋은"코드 사이의 통신을 설정하고 있다. l $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ ${\$ 을(를) Z $\mathbb {Z} _{4}^{m}$ ${\$ ^[6]^[7]^[8]의 링-선형 코드의 이미지로 삽입 $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ .

보다 최근에,^[when?] 일부 저자들은 링 위에 있는 그러한 코드를 단순히 선형 코드라고도 언급하였다.^[9]

참고 항목

디코딩 방법

참조

^ William E. Ryan and Shu Lin (2009). Channel Codes: Classical and Modern. Cambridge University Press. p. 4. ISBN 978-0-521-84868-8.
^ MacKay, David, J.C. (2003). Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (PDF). Cambridge University Press. p. 9. Bibcode:2003itil.book.....M. ISBN 9780521642989. In a linear block code, the extra $N-K$ bits are linear functions of the original $K$ bits; these extra bits are called parity-check bits
^ Thomas M. Cover and Joy A. Thomas (1991). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons, Inc. pp. 210–211. ISBN 978-0-471-06259-2.
^ Etzion, Tuvi; Raviv, Netanel (2013). "Equidistant codes in the Grassmannian". arXiv:1308.6231 [math.CO].
^ Bonisoli, A. (1984). "Every equidistant linear code is a sequence of dual Hamming codes". Ars Combinatoria. 18: 181–186.
^ Marcus Greferath (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Massimiliano Sala; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.
^ "Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org.
^ J.H. van Lint (1999). Introduction to Coding Theory (3rd ed.). Springer. Chapter 8: Codes over ℤ₄. ISBN 978-3-540-64133-9.
^ S.T. Dougherty; J.-L. Kim; P. Sole (2015). "Open Problems in Coding Theory". In Steven Dougherty; Alberto Facchini; Andre Gerard Leroy; Edmund Puczylowski; Patrick Sole (eds.). Noncommutative Rings and Their Applications. American Mathematical Soc. p. 80. ISBN 978-1-4704-1032-2.

참고 문헌 목록

J. F. Humphreys; M. Y. Prest (2004). Numbers, Groups and Codes (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-19420-7. 제5장에는 (이 기사보다) 선형 코드의 주제에 대한 좀 더 부드러운 소개가 수록되어 있다.

외부 링크

q-ary 코드 생성기 프로그램
코드 테이블: 다양한 유형의 코드, IAKS, Fakultet für Informatik, Universitetett Karlsruhe (TH)]의 매개변수에 대한 경계. 최적의 바이너리 코드의 최신 표인 온라인에는 비 바이너리 코드가 포함되어 있다.
Z4 코드 데이터베이스 온라인, 최신 Z4 코드 데이터베이스.

[1] William E. Ryan and Shu Lin (2009). Channel Codes: Classical and Modern. Cambridge University Press. p. 4. ISBN 978-0-521-84868-8.

[DrMacKayECC-2] MacKay, David, J.C. (2003). Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (PDF). Cambridge University Press. p. 9. Bibcode:2003itil.book.....M. ISBN 9780521642989. In a linear block code, the extra $N-K$ bits are linear functions of the original $K$ bits; these extra bits are called parity-check bits

[Cover_and_Thomas-3] Thomas M. Cover and Joy A. Thomas (1991). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons, Inc. pp. 210–211. ISBN 978-0-471-06259-2.

[4] Etzion, Tuvi; Raviv, Netanel (2013). "Equidistant codes in the Grassmannian". arXiv:1308.6231 [math.CO].

[5] Bonisoli, A. (1984). "Every equidistant linear code is a sequence of dual Hamming codes". Ars Combinatoria. 18: 181–186.

[Greferath2009-6] Marcus Greferath (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Massimiliano Sala; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.

[7] "Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org.

[Lint1999-8] J.H. van Lint (1999). Introduction to Coding Theory (3rd ed.). Springer. Chapter 8: Codes over ℤ₄. ISBN 978-3-540-64133-9.

[DoughertyFacchini2015-9] S.T. Dougherty; J.-L. Kim; P. Sole (2015). "Open Problems in Coding Theory". In Steven Dougherty; Alberto Facchini; Andre Gerard Leroy; Edmund Puczylowski; Patrick Sole (eds.). Noncommutative Rings and Their Applications. American Mathematical Soc. p. 80. ISBN 978-1-4704-1032-2.

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