제너레이터 매트릭스

코드화 이론에서 발전기 행렬은 행이 선형 코드의 기초를 이루는 행렬이다. 코드 워드는 이 행렬의 행에 대한 모든 선형 조합이다. 즉, 선형 코드는 발생기 행렬의 행 공간이다.

용어.

G가 행렬인 경우, 다음과 같이 선형 코드 C의 코드 워드를 생성한다.

[\displaystyle w=sG}

여기서 w는 선형 코드 C의 코드 워드이고 s는 입력 벡터다. w와 s는 모두 행 벡터로 가정한다.^[1] 선형 $[n,k,d]_{q}$ [ $[n,k,d]_{q}$ $[n,k,d]_{q}$ , $[n,k,d]_{q}$ $[n,k,d]_{q}$ $[n,k,d]_{q}$ ${\$ [ $k\times n$ $,k,d]_{q}}$ 코드의 $[n,k,d]_{q}$ 생성기 행렬은 $k\times n$ $k\times n$ n ${\displaystyle k\times$ n $}$ 형식을 가지고 있다 $k\times n$ 여기서 n은 암호의 길이, k는 정보 비트의 수(벡터 서브스페이스로서의 C의 치수), d는 코드의 최소 거리, q의 크기, 즉 n이다.알파벳의 기호 움버(숫자, q = 2는 이진 코드 등을 나타낸다.) 중복 비트의 수는 $r=n-k$ = $r=n-k$ - $r=n-k$ $r=n-k$ 로 표시된다 $r=n-k$

제너레이터 매트릭스의 표준 형식은,^[2]

{\

I_{k} P\end{bmatrix

여기서 $I_{k}$ $I_{k}$ ${\$ 는 $I_{k}$ $k\times k$ $k\times k$ k ${\displaystyle k\times$ k $}$ ID $k\times k$ 매트릭스이고 P는 k $k\times (n-k)$ ( $k\times (n-k)$ - $k\times (n-k)$ ) $displaystyle k\times (n-k)}$ 행렬이다 $k\times (n-k)$ . 발전기 행렬이 표준 형태일 때 코드 C는 첫 번째 k 좌표 위치에서 체계적이다.^[3]

제너레이터 매트릭스는 코드에 대한 패리티 검사 매트릭스를 구성하는 데 사용될 수 있다(그 반대도 마찬가지). 제너레이터 매트릭스 G가 표준 형식인 경우 G $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ = $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ [ $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\$ G $={\begin{bmatrix}$ $I_{k} P\end{bmatrix$ 그러면 C에 대한 패리티 검사 매트릭스는^[4]

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

=

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

[

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

-

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

-

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}

{\

여기서 $P^{\top }$ $⊤{\$ 은 $P^{{\top }}$ 행렬 $P$ ${\displaystyle P$ 의 전치물이다. $C$ 는 C $C$ 의 패리티 검사 매트릭스가 이중 $C$ 코드 $C^{\perp }$ $C^{\perp }$ ${\$ 의 제너레이터 매트릭스라는 사실에 따른 결과다 $C^{\perp }$

G는 $k\times n$ $k\times n$ $k\times n$ ${\displaystyle k\times$ n} 행렬이고 $k\times n$ , H는 a $(n-k)\times n$ ( $(n-k)\times n$ - $(n-k)\times n$ k ) $(n-k)\times n$ $(n-k)\times n$ ${\displaystyle (n-k)\time$ n} 행렬이다 $(n-k)\times n$ .

등가 코드

다음 두 변환을 통해 다른 코드로부터 하나의 코드를 얻을 수 있는 경우 코드 C와₁ C는₂ 동등하다(^[5]표시된₁ C ~ C₂).

구성 요소를 임의로 허용하고
0이 아닌 원소에 의해 독립적으로 확장된다.

등가 코드는 최소 거리가 동일하다.

동등한 코드의 발전기 매트릭스는 다음과 같은 기본적인 작동을 통해 상호간에 얻을 수 있다.^[6]

행을 자유화하다.
0이 아닌 스칼라로 행을 축척하다.
다른 행에 행을 추가하다
열을 퍼머한다.
0이 아닌 스칼라로 기둥을 축척하다

따라서 G에서 가우스 제거를 수행할 수 있다. 실제로, 이것은 발전기 매트릭스가 표준 형태라고 가정할 수 있게 해준다. 보다 정확히 말하면, 어떤 매트릭스 G에 대해서도 $UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ = $UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ [ I $UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ $UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ $UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\$ 와 같은 반전성 매트릭스 U를 찾을 수 있다. $I_{k} P\end{bmatrix$ 여기서 G 및 ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ [ ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ ${\$ $I_{k} P\end{bmatrix}}$ 에서 ${\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$ 동등한 코드를 생성하십시오.

참고 항목

해밍 코드(7,4)

메모들

^ MacKay, David, J.C. (2003). Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (PDF). Cambridge University Press. p. 9. ISBN 9780521642989. Because the Hamming code is a linear code, it can be written compactly in terms of matrices as follows. The transmitted codeword $\mathbf {t}$ is obtained from the source sequence $\mathbf {s}$ by a linear operation,
$\mathbf {t} =\mathbf {G} ^{\intercal }\mathbf {s}$
where $\mathbf {G}$ is the generator matrix of the code... I have assumed that $\mathbf {s}$ and $\mathbf {t}$ are column vectors. If instead they are row vectors, then this equation is replaced by
$\mathbf {t} =\mathbf {sG}$
... I find it easier to relate to the right-multiplication (...) than the left-multiplication (...). Many coding theory texts use the left-multiplying conventions (...), however. ...The rows of the generator matrix can be viewed as defining the basis vectors.
^ 링앤싱 2004, 페이지 52
^ 1992년 로마서 페이지 198
^ 1992년 로마서 200페이지
^ 1998 페이지 8
^ 웨일스 1988 페이지 54-55

참조

Ling, San; Xing, Chaoping (2004), Coding Theory / A First Course, Cambridge University Press, ISBN 0-521-52923-9
Pless, Vera (1998), Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes (3rd ed.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-19047-0
Roman, Steven (1992), Coding and Information Theory, GTM, vol. 134, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97812-7
Welsh, Dominic (1988), Codes and Cryptography, Oxford University Press, ISBN 0-19-853287-3

추가 읽기

MacWilliams, F.J.; Sloane, N.J.A. (1977), The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, ISBN 0-444-85193-3

외부 링크

MathWorld의 제너레이터 매트릭스

[DrMacKayECC-1] MacKay, David, J.C. (2003). Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (PDF). Cambridge University Press. p. 9. ISBN 9780521642989. Because the Hamming code is a linear code, it can be written compactly in terms of matrices as follows. The transmitted codeword $\mathbf {t}$ is obtained from the source sequence $\mathbf {s}$ by a linear operation,
$\mathbf {t} =\mathbf {G} ^{\intercal }\mathbf {s}$
where $\mathbf {G}$ is the generator matrix of the code... I have assumed that $\mathbf {s}$ and $\mathbf {t}$ are column vectors. If instead they are row vectors, then this equation is replaced by
$\mathbf {t} =\mathbf {sG}$
... I find it easier to relate to the right-multiplication (...) than the left-multiplication (...). Many coding theory texts use the left-multiplying conventions (...), however. ...The rows of the generator matrix can be viewed as defining the basis vectors.

[2] 링앤싱 2004, 페이지 52

[3] 1992년 로마서 페이지 198

[4] 1992년 로마서 200페이지

[5] 1998 페이지 8

[6] 웨일스 1988 페이지 54-55

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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