호신술

기하학적 위상과 미분 위상에서 n차원 다지관 M과 N 사이의 (n + 1)차원 코보디즘 W는 포함 맵이 있는 경우 h-코보디즘(h는 호모토피 동등성을 나타낸다)이다.

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}\quad N\hookrightarrow W}$

호모토피 균등성.

h-코보르디즘 정리는 h-코보르디즘이 사소한 것, 즉 실린더 M × [0, 1]에 C-이형성이 될 수 있는 충분한 조건을 제공한다.여기서 C는 매끄러운 선형 또는 위상학적 다지관의 범주를 가리킨다.

이 정리는 스티븐 스마일(Stephen Smale)이 필즈 메달을 받은 것으로 처음 증명했으며, 고차원 다지관 이론의 근본적인 결과물이다.우선, 그것은 거의 즉시 일반화된 푸앵카레 추측을 증명한다.

배경

스메일이 이 정리를 증명하기 전에 수학자들은 차원 3, 4의 다지관을 이해하려고 애쓰다가 꼼짝 못하게 되었고, 고차원적인 경우는 더욱 힘들다고 가정했다.h-코보르디즘 정리는 최소 5개의 치수 다지관이 치수 3, 4의 다지관보다 훨씬 쉽다는 것을 보여주었다.정리의 증명은 하슬러 휘트니의 "휘트니 속임수"에 달려 있는데, 이것은 기하학적으로 동질적으로 얽혀 있는 보완적 차원의 구들을 치수 >4의 다지관에서 언밸런스틸러 휘트니의 "휘트니 속임수"에 따라 달라진다.치수 3이나 4의 다지관이 유난히 단단한 비공식적인 이유는 트릭이 얽힐 여지가 없는 더 낮은 차원에서는 작동하지 않기 때문이다.

h-코보르디즘 정리의 정밀한 진술

n을 최소한 5로 하고 W를 C=Diff, PL 또는 Top 범주에서 M과 N 사이의 콤팩트(n + 1)차원 h-코보르디즘으로 하여 W, M과 N이 단순하게 연결되면 W는 M × [0, 1]에 대한 C-이형성이 된다.이형성은 M × {0}의 정체성으로 선택할 수 있다.

즉, M과 N 사이의 호모토피 동등성(또는 M × [0, 1], W와 N × [0, 1] 사이)은 C 이형성에 대한 동일시적임을 의미한다.

저차원 버전

n = 4에 대해 h-코보르디즘 정리는 위상학적으로 참이지만(4차원 휘트니 트릭을 사용하여 마이클 프리드먼에 의해 증명됨) 거짓 PL이고 매끄럽게(시몬 도날드슨에 나타나 있음)이다.

n = 3의 경우, 매끄러운 다지관에 대한 h-코보르디즘의 정리가 증명되지 않았으며, 3차원 푸앵카레 추측 때문에 4-sphere가 비표준 매끄러운 구조를 가지고 있는지 여부에 대한 하드 오픈 문항에 해당한다.

n = 2에 대해 h-코보르디즘 정리는 1904년 푸앵카레(Poincaré)가 말한 푸앵카레(Poincaré) 추측에 해당하며(밀레니엄 문제^[1] 중 하나), 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)에 의해 2002년과 2003년 3편의 논문에서 증명되었는데,^[2][3][4] 여기서 그는 리처드 S를 추종한다. 리치 플로우를 이용한 해밀턴의 프로그램.

n = 1의 경우, h-코보르디즘 정리는 닫힌 단순 연결 1차원 다지관이 없기 때문에 공허하게 참이다.

n = 0의 경우, h-코보르디즘의 정리는 사소한 사실로, 그 간격은 연결된 0-매니폴드들 사이의 유일한 연결된 코보디즘이다.

교정 스케치

Morse 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle W}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:$$W\to [a,b]}$ induces a handle decomposition of W, i.e., if there is a single critical point of index k in ${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$, then the ascending cobordism ${\displaystyle W_{c'}}$ is obtained from ${\displaystyle W_{c}}$ by attaching a k-handle.증명서의 목적은 핸들이 전혀 없는 손잡이 분해물을 찾아내어 f의 비영점 그라데이션 벡터 필드를 통합하면 사소한 거미줄에 원하는 차이점을 부여할 수 있도록 하는 것이다.

이것은 일련의 기술을 통해 달성된다.

1) 핸들 재배열

우선 모든 핸들을 순서별로 재배열하여 하위 주문 핸들이 먼저 부착되도록 하고 싶다.문제는 우리가 언제 j 핸들에서 아이핸들을 빼낼 수 있느냐는 것이다.이는 i 부착 구체와 j 벨트 구가 교차하지 않는 한 방사형 동위원소 복사에 의해 수행될 수 있다.따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle n}$- ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \dim }$ W -${\displaystyle 1}$= n${\displaystyle }$- ${\displaystyle (i-1)+(n-j)\leq \dim \partial W-1=n-1}$을 원하며, 이는$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$ i$\\leq$ j$}$에 해당한다$.$

그런 다음 C ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 k-핸들 위에 자유 아벨리아 그룹으로$$ ${\displaystyle {하고}_{}}$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle C_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $_$${k}}}$를 정의하여 핸들 체인 콤플렉스$(C$∗,${\displaystyle {}_{}}$∂, ${\displaystyle {\partial }_{}}$ ∂ \ \ \ \ \ \ \ \ _ _ ${\displaystyle {}_{}}$ ) ) ) ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ \$C_{k}\to C_{k-1}}$ by sending a k-handle ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ to ${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$, where ${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mi$$d h_{\reght }^{k-1}\rangele }$은(는) k자형 구와 (k - 1)자형 벨트 구의 교차점 번호다.

2) 취급취소

다음으로 손잡이를 "취소"하고 싶다.k-핸들 $h{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}}}{k$}}}$을(를) 부착하면 (k + 1)핸들 h ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$를 부착하여 채울 수 있는 구멍이 생길 수 있다는$$ 생각이다$.$This would imply that ${\displaystyle \partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}}$ and so the ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ entry in the matrix of ${\displaystyle \partial _{k+1}}$ would be ${\displaystyle \pm 1}$. However, when is this cond충분한가?즉, 이 조건이 사실이라면 언제 기하학적으로 손잡이를 취소할 수 있는가?정답은 문제의 부착구와 벨트 구를 제거한 후 다지관이 단순 연결 상태를 유지할 때 세심하게 분석하고 휘트니 트릭을 이용해 내장형 디스크를 찾는 것이다.이 분석은 n이 적어도 5가 되어야 한다는 요건으로 이어진다.더욱이, 증명하는 동안, 코보르디즘은 다음 기술로 얻은 0-,1-,n- 또는 (n + 1)- 핸들을 가지고 있지 않아야 한다.

3) 거래 처리

핸들 거래의 아이디어는 (k + 1)-와 (k + 2)-핸들 쌍을 만들어 주어진 (k + 1) 핸들을 뒤로 하고 (k + 1) 핸들을 취소하도록 하는 것이다.그러기 위해서는 ${\displaystyle {\pi k}_{}W}$, $){\displaystyle \pi _{k}(W,M)}$의 요소인 k-핸들(k-handle)의 핵심을 고려하라 W는 h-코보르디즘이기 때문에 이 그룹은 사소한 것이다$.$따라서 디스크 ${\displaystyle {Dk}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$가 있는데, 이$$ 디스크를 W의 경계에 삽입할 수 있는 한 우리는 원하는 대로 취소 쌍으로 살찌울 수 있다.이 임베딩은 ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W}$- ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle \mathrm{n}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle (k}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$인 경우 존재한다$.$우리는 n이 적어도 5라고 가정하고 있기 때문에 이것은 k가 0 또는 1이라는 것을 의미한다.마지막으로 주어진 Morse 함수인 -f의 음을 고려함으로써 손잡이 분해를 거꾸로 하고 원하는 대로 n과 (n + 1) 핸들을 제거할 수 있다.

4) 핸들 슬라이딩

마지막으로 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에서 행과 기둥 연산을 하는 것이 기하 연산에 해당하는지 확인하고$$ 싶다.Indeed, it isn't hard to show (best done by drawing a picture) that sliding a k-handle ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ over another k-handle ${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$ replaces ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ by ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}\pm h_{\bet$$a{\displaystyle {}_{}}$ $}^{k}}$ C ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대한$$ 기초$.$

The proof of the theorem now follows: the handle chain complex is exact since ${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$. Thus ${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$ since the ${$$\displaystyle C_{k}}$은(는) 무료 입니다$$.그 다음 ${\displaystyle {정수}_{}}$ 행렬인 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k ${\$은(는) 기본 행 연산(핸들 슬라이딩)을 통해 대각화될 수 있는 반전형 형태주의로 제한되며, 반전성이므로 대각선 상에${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty \pm 1만$있어야 한다.따라서 모든 핸들은 하나의 다른 취소 핸들과 쌍을 이루며 핸들이 없는 분해를 초래한다.

s-코보르디즘 정리

M과 N이 단순하게 연결되어 있다는 가정이 삭제되면 h-코보르디즘은 실린더가 될 필요가 없다. 장애물은 정확히 포함 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ W ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$의 Whitehead torsion τ(W, M$)$이다.

정확하게, 배리 마주르, 존 스털링스, 데니스 바든에 의해 독립적으로 증명된 s-코보르디즘 정리(s는 단순 호모토피 동등성을 나타낸다), 다음과 같이 명시한다(위와 같은 가정은 있지만 M과 N이 단순히 연결될 필요는 없다).

h-코보르디즘은 Whitehead torsion τ (W, M)이 소멸하는 경우에만 원통형이다.

이 비틀림은 포함 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$이(가) 단순한 호모토피 동등성이 아니라 단순한 호모토피 동등성인 경우에만 사라진다.

다른 포함 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle N\hookrightarrow W}$도 정리에서 오는 단순한 호모토피 동등성이라고 가정할 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

일반적으로 h-코보르디즘은 그룹노이드(groupoid)를 형성한다.

Then a finer statement of the s-cobordism theorem is that the isomorphism classes of this groupoid (up to C-isomorphism of h-cobordisms) are torsors for the respective^[5] Whitehead groups Wh(π), where ${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).$$}$

참고 항목

• 반s코보르디즘

메모들

참조

• Freedman, Michael H; Quinn, Frank (1990). Topology of 4-manifolds. Princeton Mathematical Series. Vol. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3. (이것은 위상학 4마니폴드에 대한 정리를 하는 것이다.)
• Milnor, John, h-cobordism 정리 강의, l의 노트.지벤만과 J.손도우 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, NJ, 1965. v+116 pp.이것은 매끄러운 다지관의 증거를 제공한다.
• 루크, 콜린 패트릭; 샌더슨, 브라이언 조셉, 조각-선형 위상 소개, 스프링어-베를라크, 1982년 베를린-뉴욕.ISBN 3-540-11102-6.이것은 PL 다지관의 정리를 증명한다.
• S. Smale, "다지관 구조상" 아머.J. 수학, 84 (1962) 페이지 387–399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "h-cobordism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press