주 균질 공간

수학에서, 주요 균질 공간 ^[1]또는 토스터는 그룹 G의 경우 모든 점의 스태빌라이저 부분군이 사소한 G의 균질 공간 X이다.동등하게, 그룹 G에 대한 주요 동질 공간은 G가 자유롭고 트랜스적으로 작용하는 비빈 집합 X이다(X에서 어떤 x, y는 x, g = y, 여기서 ·는 X에 대한 G의 (오른쪽) 작용을 나타낸다).유사한 정의는 예를 들어, 다른 범주에 보관된다.

G는 위상학 그룹이고, X는 위상학 공간이고, 행동은 연속적이다.
G는 리 그룹, X는 매끄러운 다지관이며 동작은 매끄럽다.
G는 대수군, X는 대수군이며 작용은 규칙적이다.

정의

만약 G가 비아벨리안이라면, 그 행동이 왼쪽인지 오른쪽인지에 따라 왼쪽과 오른쪽 토어를 구별해야 한다.이 글에서 우리는 올바른 행동을 할 것이다.null

정의를 좀 더 명시적으로 말하면, X가 비어 있지 않고 지도(적절한 범주에 있는) X × G → X가 장착되어 있다면 X는 G-tororor 또는 G-principal 균일한 공간이다.

x·1 = x

x·(gh) = (x·g)·h

모든 x ∈ X와 g, h ∈ G 그리고 지도 X × G → X × X에 대하여

(x,g)\mapsto(x,x\cdot g)}

이형성(세트 또는 위상학적 공간 또는 ...의 경우 해당 범주에 포함)이다.null

이는 X와 G가 이형성이라는 것을 의미한다는 점에 유의하십시오(해당 범주의 경우 그룹으로서가 아닌 경우: 다음을 참조).그러나 —그리고 이것이 필수적인 점이다—X에는 선호하는 '정체성' 지점이 없다.즉, X는 어느 점이 정체성이 잊혀졌다는 점만 빼면 G와 꼭 닮아 있다.(이 개념은 수학에서 '원점을 버리다'라는 제목 아래 보다 본질적인 관점으로 전달하는 방법으로 자주 사용된다.)null

X는 그룹이 아니기 때문에, 우리는 원소를 곱할 수 없다; 그러나 우리는 그들의 "양분"을 받아들일 수 있다.즉, (x,y)를 고유한 요소 g = x \ y \ G로 전송하여 y = x,g가 되도록 하는 지도 X × X → G가 있다.null

그러나 후자 연산에서의 올바른 그룹 작용으로 구성하면 3차 연산 X × (X × X) → X가 산출되는데, 이는 그룹 곱셈의 아핀 일반화 역할을 하며, 주요 동질 공간은 대수학적으로 그리고 본질적으로 연관된 그룹을 특성화하기에 충분하다. $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ / $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ z $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ ( $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ z $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ ) ${\displaystyle x/y\cdot$ z $\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$ 을 $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ (를) 표시하면 다음과 같은 ID가 된다.

x/y\cdot y=x=y/y\cdot x

v/w\cdot(x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z

추가 속성은 동질성의 주요 공간을 정의하기에 충분할 것이다.

x/y\cdot z=z/y\cdot x

아벨 그룹과 연관된 공간을 식별한다.그룹은 동등성 관계에 따라 $x\backslash y$ 공식 인용문 $x\backslash y$ $x\backslash y$ $x\backslash y$ ${\displaystyle x\backslash$ y $}($ 으)로 정의될 수 있다.

x ∖

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

=

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

if

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

v

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

=

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

/

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

{\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\respons {\text{iff}}\cdot y

그룹 제품과 함께 ID와 역이 각각 정의됨:

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

)

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

=

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

/

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

)

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

= (

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

/

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

)

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

{\displaystyle (x\backslash

y

)\cdot (u\backslash v)=x\backslash v}=(u/u/y\cdot

x

)\backslash

v

},

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

e

=

e=x\backslash x

e=x\backslash x

e=x\backslash x

{\displaystyle e=x\backslash

x

e=x\backslash x

(x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,

그리고 다음에 의한 그룹 액션

x\cdot(y\backslash z)=x/y\cdot z.

예

모든 그룹 G는 그 자체로 왼쪽이나 오른쪽의 곱셈의 자연스러운 작용 아래 왼쪽이나 오른쪽 G-torsor라고 생각할 수 있다.null

또 다른 예는 아핀 스페이스 개념이다: 벡터 스페이스 V의 밑바탕에 있는 아핀 스페이스 A의 생각은 A가 번역의 첨가 그룹 역할을 하는 V의 주된 동질적 공간이라고 말해 간결하게 말할 수 있다.null

어떤 일반 폴리토프의 깃발은 그것의 대칭 그룹에 대한 토르소를 형성한다.null

벡터 공간 V가 주어지면 G를 일반 선형 그룹 GL(V)으로, X를 V의 모든 (순서된) 베이스의 집합으로 취할 수 있다.그리고 나서 G는 그것이 V의 벡터에 작용하는 방식으로 X에 작용한다; 그것은 어떤 기초가 G를 통해 다른 어떤 것으로도 변형될 수 있기 때문에 트랜스적으로 작용한다.더욱이, 기초의 각 벡터를 고정하는 선형 변환은 V의 모든 V를 고정할 것이며, 따라서 일반 선형 그룹 GL(V)의 중립 요소가 되어 X는 실제로 주요한 균질 공간이다.선형 대수 인수에 근거 의존성을 따르는 한 가지 방법은 X에서 변수 X를 추적하는 것이다.마찬가지로 직교 기초 공간(Stiefel 매니폴드 $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ n $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ ( $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ ) ${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ 은 $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ 직교 그룹의 주요 동종 공간이다.null

In category theory, if two objects X and Y are isomorphic, then the isomorphisms between them, Iso(X,Y), form a torsor for the automorphism group of X, Aut(X), and likewise for Aut(Y); a choice of isomorphism between the objects gives rise to an isomorphism between these groups and identifies the torsor with these two groups, giving the torsor a group 구조(지금은 기준점을 가지고 있기 때문에).null

적용들

주된 동질 공간 개념은 주형 번들의 특별한 경우로서, 하나의 기본점을 갖는 주형 번들을 의미한다.즉, 주성분 묶음에 대한 국지적 이론은 주성분 공간 계열의 이론으로, 기초의 일부 매개변수에 따라 달라진다.'원산지'는 번들의 한 섹션에 의해 공급될 수 있다. 즉, 그러한 섹션은 대개 기지에 로컬로 존재하는 것으로 가정된다. 따라서 번들은 지역적으로 사소한 것으로 간주되므로 지역 구조가 데카르트 제품의 그것이다.그러나 섹션은 종종 전세계적으로 존재하지 않을 것이다.예를 들어 차동 다지관 M에는 접선 다발과 관련된 프레임의 주요 다발이 있다.글로벌 섹션은 M이 병렬화할 수 있을 때만 존재할 것이며, 이는 강력한 위상학적 제한을 내포한다.null

수 이론에서, 필드 K(및 더 일반적인 아벨리안 품종) 위에 정의된 타원 곡선 E에 대해 주요 동질 공간을 고려해야 하는 (초생적으로 다른) 이유가 있다.일단 이것이 이해되면 다른 대수집단의 경우, 직교집단을 위한 2차 형태와 투영 선형집단을 위한 세베리-브라워어 품종 등 다양한 다른 예들이 머리 아래에 수집되었다.null

타원 곡선 사례에서 디오판틴 방정식에 대한 관심의 이유는 K가 대수적으로 닫히지 않을 수 있기 때문이다.K에 대해 정의된 점이 없는 곡선 C가 존재할 수 있으며, 이 곡선 C는 E에 대한 더 큰 필드에 걸쳐 이형성이 되며, 정의에 의해 K에 대한 점이 추가 법률에 대한 식별 요소 역할을 한다.즉, 이 경우에 우리는 속 1이 있는 C를 K 점이 있는 타원곡선 E와 구별해야 한다(또는 다시 말하면, K에 용액이 있는 디오판틴 방정식을 제공한다).C 곡선은 E에 대한 비틀림으로 판명되며, K가 숫자 필드(셀머 그룹의 이론)인 경우 풍부한 구조를 지닌 세트를 형성한다.사실 Q 위의 전형적인 평면 입방 곡선 C는 합리적인 점을 가질 특별한 이유가 없다; 표준 Weierstrass 모델은 항상 그러하다, 즉 무한의 점. 그러나 당신은 K보다 한 점이 더 있어야 그 형태에 C를 K보다 더 많이 넣을 수 있다.

이 이론은 지역 분석에 큰 관심을 갖고 발전되어 테이트-샤파레비치 집단의 정의로 이어졌다.일반적으로 토르소 이론을 대수적으로 닫힌 분야를 쉽게 넘기고, 더 작은 분야로 '내려가기'를 시도하는 접근은 하강 국면이다.그것은 즉시 갈루아 코호몰로지¹ 의 질문으로 이어진다. 왜냐하면 토르는 그룹 코호몰로지 H의 클래스를 상징하기 때문이다.

기타 사용법

주요 동질 공간의 개념도 다음과 같이 세계화할 수 있다.X를 "공간"(계획/매니폴드/토폴로지 공간 등)으로 하고, G를 X 위에 그룹, 즉 X 위에 있는 공간의 범주에 있는 그룹 오브젝트로 한다.이 경우 X의 (우측, say) G-tor E는 (우측) G 작용으로 X에 대한 (동일한 유형의) 공간 E이다.

E\time _{X}G\오른쪽 화살표 E\time _{X}E

에 의해 주어지는.

{\displaystyle(x,g)\mapsto(x,xg)}

E → X가 X에서 로컬로 섹션을 취득한다는 점에서 E는 X에서 국소적으로 중요하지 않은 적절한 범주의 이형성이다.이 의미에서의 토르의 이소모르피즘 등급은 코호몰로지 그룹¹ H(X,G)의 등급에 해당한다.null

우리가 부드러운 다지관 범주에 있을 때, G-torsor (G a Lie 그룹의 경우)는 위에서 정의한 것과 같이 정확하게 주요 G-번들이다.null

예: G가 컴팩트한 Lie 그룹(예:)인 경우, 공간 $B$ $G$ $EG$ 을(를) 분류하는 공간 B G ${\displaystyle BG$ 에 대한 G-tororer가 된다 $EG$ .

참고 항목

메모들

^ S. Lang and J. Tate (1958). "Principal Homogeneous Space Over Abelian Varieties". American Journal of Mathematics. 80 (3): 659–684. doi:10.2307/2372778.

추가 읽기

Garibaldi, Skip; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003). Cohomological invariants in Galois cohomology. University Lecture Series. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311.
Skorobogatov, A. (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 144. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80237-7. Zbl 0972.14015.

외부 링크

존 배즈가 쉽게 만든 토러스

[1] S. Lang and J. Tate (1958). "Principal Homogeneous Space Over Abelian Varieties". American Journal of Mathematics. 80 (3): 659–684. doi:10.2307/2372778.

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