기하학적 위상

Borromean 링 세트로 둘러싸인 Seifert 표면. 이러한 표면은 기하학적 토폴로지의 도구로 사용할 수 있습니다.

수학에서 기하학적 위상학은 다양체와 그 사이의 지도, 특히 한 다양체를 다른 다양체에 포함시키는 것을 연구하는 학문이다.

역사

대수 위상과 구별되는 영역으로서의 기하학적 위상은 1935년 레이더미스터 비틀림에 의한 렌즈 공간의 분류에서 유래했다고 할 수 있다.이 분류는 호모토피 등가이지만 동질적이지 않은 공간을 필요로 한다.이것이 단순한 호모토피 이론의 기원이었다.기하학적 토폴로지라는 용어의 사용은 다소 최근에 시작된 ^[1]것으로 보인다.

저차원 토폴로지와 고차원 토폴로지의 차이

다지관은 높은 차원과 낮은 차원이 근본적으로 다르다.

고차원 토폴로지는 5차원 이상의 다지관, 또는 상대적인 용어로 코디멘션 3 이상에 내장되어 있는 것을 말한다.저차원 토폴로지는 최대 4차원의 질문 또는 최대 2차원의 코디멘션에 포함된 질문과 관련이 있습니다.

치수 4는 (토폴로지적으로) 어떤 면에서는 고차원인 반면, 다른 면에서는 저차원인 반면, 치수 4는 저차원이라는 점에서 특별하다. 이 중복은 R 위의⁴ 이국적인 미분 구조처럼 치수 4에 예외적인 현상을 낳는다.따라서 4-매니폴드의 위상 분류는 원칙적으로 쉽고, 핵심 질문은 다음과 같습니다: 위상 다양체는 구별 가능한 구조를 허용합니까? 그리고 만약 그렇다면, 몇 개입니까?특히 치수 4의 매끄러운 경우는 일반화된 푸앵카레 추측의 마지막 열린 경우이다. 글럭 트위스트를 참조한다.

그 구별은 수술 이론이 5차원 이상에서 작동하기 때문에(실제로, 이것은 증명하는 데 매우 관여하지만, 4차원에서 위상적으로 작동하기 때문에), 따라서 5차원 이상의 다양체의 거동은 수술 이론에 의해 대수적으로 제어된다.치수 4 이하(토폴로지적으로 치수 3 이하)에서는 수술 이론이 통하지 않고 다른 현상이 발생합니다.실제로, 저차원 다양체에 대해 논의하는 한 가지 접근법은 "수술 이론이 무엇이 사실이라고 예측하는지, 그것이 효과가 있다면?"라고 묻고, 그리고 나서 저차원 현상을 이것으로부터 벗어나는 것으로 이해하는 것입니다.

휘트니 수법은 2+1 차원이 필요하기 때문에 수술 이론은 5 차원이 필요합니다.

5차원에서 차이가 나는 정확한 이유는 수술 이론의 기초가 되는 핵심 기술 기술인 휘트니 임베딩 정리가 2+1차원을 요구하기 때문입니다.대략 Whitney 트릭을 사용하면 매듭이 있는 구체를 "결석 해제"할 수 있습니다.정확히는 디스크의 호모토피를 통해 이 작업을 수행합니다.디스크는 2차원이고, 호모토피는 1차원 이상을 더합니다.따라서 2차원보다 큰 코디멘션에서는 교차하지 않고 코디멘션을 더 큰 코디멘션을 삽입할 수 있습니다.2개 이상은 수술로 이해할 수 있습니다.수술 이론에서 핵심 단계는 중간 차원이고, 따라서 중간 차원이 2보다 큰 코드미션을 가질 때 휘트니 수법이 효과가 있습니다.이것의 중요한 결과는 5차원 이상에서 작용하고 수술 이론의 기초를 형성하는 스메일의 h-코보디즘 정리이다.

휘트니 트릭의 수정은 4차원으로 동작할 수 있습니다.캐슨 핸들이라고 불립니다.차원이 충분하지 않기 때문에 휘트니 디스크에는 새로운 꼬임이 도입되어 다른 휘트니 디스크로 해결할 수 있기 때문에 일련의 디스크("타워")가 생깁니다.이 탑의 한계는 위상 맵을 생성하지만 구분할 수 없기 때문에 수술은 위상적으로는 작동하지만 차원 4에서는 구별되지 않습니다.

기하학적 토폴로지의 중요한 도구

기본 그룹

모든 차원에서 다양체의 기본 그룹은 매우 중요한 불변량이며 구조의 많은 부분을 결정한다. 치수 1, 2, 3에서는 가능한 기본 그룹이 제한되는 반면, 치수 4 이상에서는 모든 최종 제시된 그룹이 다양체의 기본 그룹이다(4- 및 4-에 대해 이를 보여주는 것으로 충분하다).5차원 다지관, 그리고 더 높은 것을 얻기 위해 구를 가진 제품을 취한다.)

방향성

다지관은 일관된 방향 선택을 가지고 있고 연결된 방향 지정 다지관은 정확히 두 가지 가능한 방향을 가지고 있는 경우 방향 지정이 가능합니다.이 설정에서는 원하는 응용 프로그램과 일반성 수준에 따라 다양한 방향성 공식을 제공할 수 있습니다.일반 위상 다양체에 적용되는 공식은 종종 호몰로지 이론의 방법을 사용하는 반면, 미분 가능한 다양체의 경우 더 많은 구조가 존재하여 미분 형식의 공식화를 가능하게 한다.공간의 지향성 개념의 중요한 일반화는 파라미터 값의 변화에 따라 연속적으로 변화하는 각 공간에서 방향을 선택해야 하는 다른 공간(섬유 다발)에 의해 파라미터화된 공간 패밀리의 지향성이다.

핸들 분해

3개의 1핸들이 달린 3개의 공.

m-매니폴드 M의 핸들 분해는 유니언이다.

\displaystyle \emptyset = M_{-1}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \subset M_{m}=M}

$M_{i-1}$ 서 각 $($ $디스플레이$ $스타일$ M_ ${i$ })는 $M_{i}$ Mi - 1 $($ 디스플레이 스타일 $M_{i-1})$ 에서 $M_{i-1}$ i $(디스플레이 스타일$ i $M_{i-1}$ - 핸들을 $i$ $i$ 하여 얻을 수 있습니다.핸들 분해는 다지체에 대한 CW 분해와 위상 공간과의 관계이다. 핸들 분해의 목적은 CW 복합체와 유사한 언어를 가지지만 매끄러운 다지체의 세계에 적응하는 것이다.따라서 i-핸들은 i-셀의 부드러운 유사체입니다.다지관의 손잡이 분해는 모르스 이론을 통해 자연스럽게 일어난다.손잡이 구조의 수정은 Cerf 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

국소 평탄도

국소 평탄도는 더 큰 차원의 위상 다지관에서 서브매니폴드의 특성이다.위상 다양체의 범주에서 국소적으로 평평한 서브매니폴드는 매끄러운 다양체의 범주에서 내장 서브매니폴드와 유사한 역할을 한다.

차원 매니폴드 N이 n차원 매니폴드 M(여기서 d < n)에 내장되어 있다고 가정합니다. $x\in N,$ N $x\in N,$ , \ $display$ x \ $in$ N $x\in N,$ , \ $display style$ U \ $subset M$ 이 $U\subset M$ 존재하여 $U\subset M$ 토폴로지 페어 $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$ $,$ $(U,U\cap N)$ $(U,U\cap N)$ $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$ 가 $(U,U\cap N)$ R 의 $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$ U $, U\cap$ N)에 동형인 경우 N 은 x 로 로컬 평면이라고 합니다 $.$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{d}$ 의 부분공간으로서 R $\mathbb {R} ^{d}$ 의 $\mathbb {R} ^{n}$ 포함({ $displaystyle \mathbb {R}$ $}).$ 즉, U $U\cap N$ N \ $display style$ $\mathbb {R} ^{d}$ U $\$ $to$ R $^{n}$ 의 $\mathbb {R} ^{d}$ $U\to R^{n}$ $U\cap N$ $U\cap N$ 가 $U\cap N$ $\mathbb {R} ^{d}$ 과 $U\to R^{n}$ 하도록 $U\to R^{n}$ U $U\to R^{n}$ $U\to R^{n}$ n이 존재한다 $.$ $\mathbb {R} ^{d}$

쇤파리 이론

일반화 쇤파리 정리는 (n - 1)차원 구 S가 국소적으로 평탄한 방식으로 n차원 구 S에ⁿ 삽입되면(즉, 삽입이 두꺼워진 구 S로 확장됨), 쌍ⁿ(S, S)은 n-sphere의 적도인ⁿ⁻¹ 쌍(Sⁿ⁻¹, S)과ⁿ 동형이다.브라운과 마주르는 이 정리에 대한 독립적인^[2]^[3] 증명으로 베블렌상을 받았다.

기하학적 위상의 분기

저차원 토폴로지

저차원 토폴로지에는 다음이 포함됩니다.

표면(2-매니폴드)
3분의 1
4분의 1

각자 나름의 이론이 있고 어떤 연관성이 있다는 거죠

저차원 위상은 2차원의 균등화 정리에 반영되어 있듯이 매우 기하학적이며, 모든 표면은 일정한 곡률 메트릭을 허용한다. 기하학적으로, 그것은 3차원의 가능한 기하학적 구조 중 하나를 가진다: 양의 곡률/구면, 제로 곡률/평탄, 음의 곡률/초과기하학 – 그리고 3차원의 기하학적 추측(현재의 정리)엔션 – 각 3개의 핀을 조각으로 자를 수 있으며, 각 핀은 8개의 가능한 기하학적 구조 중 하나를 가지고 있다.

2차원 토폴로지는 하나의 변수에서 복잡한 기하학으로 연구될 수 있다(리만 표면은 복잡한 곡선이다) – 균등화 정리에 의해 모든 규격 클래스는 고유한 복잡한 것과 동일하며, 4차원 토폴로지는 2개의 변수(복잡한 표면)에서 복잡한 기하학의 관점에서 연구될 수 있지만, e는 아니다.매우 4인치로 복잡한 구조를 수용할 수 있습니다.

매듭 이론

매듭 이론은 수학적 매듭을 연구하는 학문이다.수학자의 매듭은 일상생활에서 신발끈이나 밧줄에 있는 매듭에서 영감을 얻었지만, 끝이 서로 합쳐져 풀리지 않는다는 점에서 다르다.수학 언어에서, 매듭은 3차원 유클리드 공간 R에³ 원을 내장한 것입니다.두 개의 수학적 매듭은 R의 변형을³ 통해 다른 매듭으로 변환할 수 있는 경우(주변 등방성)에 해당됩니다. 이러한 변환은 문자열을 자르거나 문자열을 통과시키지 않는 매듭된 문자열의 조작에 해당합니다.

더 많은 통찰력을 얻기 위해 수학자들은 매듭 개념을 몇 가지 방법으로 일반화했다.매듭은 다른 3차원 공간에서 고려할 수 있으며 원 이외의 물체를 사용할 수 있습니다. 매듭(수학)을 참조하십시오.고차원 노트는 m차원 유클리드 공간의 n차원 구이다.

고차원 기하학적 위상

고차원 위상에서는 특성 클래스가 기본 불변량이고 수술 이론은 핵심 이론입니다.

특성 클래스는 위상 공간 X 상의 각 주요 번들에 관련짓는 방법이며 X의 코호몰로지 클래스입니다.코호몰로지 클래스는 번들이 "트위스트"되는 범위(특히 섹션이 있는지 여부)를 측정합니다.즉, 특성 클래스는 글로벌 제품 구조에서 로컬 제품 구조의 편차를 측정하는 글로벌 불변량이다.그것들은 대수적 위상, 미분 기하학, 대수적 기하학에서 통일된 기하학적 개념들 중 하나이다.

수술 이론은 밀너(1961년)에 의해 소개된 '제어된' 방식으로 다른 다양체를 생산하는 데 사용되는 기술의 집합이다.수술은 다지관의 일부를 잘라내고 절단 또는 경계를 따라 맞춰 다른 다지관의 일부로 교체하는 것을 말합니다.이는 핸들바디 분해와 밀접하게 관련되어 있지만 동일하지는 않습니다.이것은 3보다 큰 차원을 가진 다양체의 연구와 분류에 있어 주요 도구이다.

보다 엄밀히 말하면, 그 아이디어는 잘 이해된 다양체 M에서 시작하여 다지관의 호몰로지, 호모토피 그룹 또는 다른 흥미로운 불변체에 대한 영향을 알 수 있도록 원하는 특성을 가진 다양체 M δ를 생성하기 위해 수술을 수행하는 것이다.

케르베어와 밀너(1963)의 이국적인 구 분류는 고차원 위상학의 주요 도구로서 수술 이론의 출현으로 이어졌다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ "What is geometric topology?". math.meta.stackexchange.com. Retrieved May 30, 2018.
^ 브라운, 모튼(1960), 일반화 쇤파리 정리의 증명.헛소리. 아머. 수학, 사회, 제66권, 74-76페이지MR0117695
^ 마주르, 배리, 구를 박고 있어, 황소. 아머. 수학. 65 1959-59-65MR0117693

R. B. Sher와 R. J. Daverman(2002), 노스홀랜드 기하학 위상 핸드북.ISBN 0-444-82432-4.

[1] "What is geometric topology?". math.meta.stackexchange.com. Retrieved May 30, 2018.

[2] 브라운, 모튼(1960), 일반화 쇤파리 정리의 증명.헛소리. 아머. 수학, 사회, 제66권, 74-76페이지MR0117695

[3] 마주르, 배리, 구를 박고 있어, 황소. 아머. 수학. 65 1959-59-65MR0117693

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v t 토폴로지
필드	일반(포인트 세트) 대수적 조합 연속체 차동 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합 이론 디지털.
주요 개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 균일 호모토피 호모토피군 기본군 단순 복합체 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 두 번째 셀 수 있는 공간 코보디즘
메트릭 및 속성	오일러 특성 베티수 권선번호 체른 번호 방향성
주요 결과	바나흐 고정점 정리 드 람의 정리 영역의 불변성 푸앵카레 추측 티코노프의 정리 유리손의 보조군
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