하다마드의 감마함수

수학에서 자크 하다마드의 이름을 딴 하다마드의 감마함수는 고전적인 감마함수와는 다른 요인함수의 확장이다.이 함수는 인수가 1로 내려가면서 인자를 보간하여 오일러의 감마함수와 다른 방식으로 실제적이고 복잡한 숫자로 확장한다.이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\},}$

여기서 γ(x)는 고전적인 감마 함수를 나타낸다.n이 양의 정수인 경우:

$[\displaystyle H(n)=\감마(n)=(n-1)!}$

특성.

고전적인 감마함수와 달리 하다마드의 감마함수 H(x)는 전체함수로, 즉 그 영역에 극이 없다.기능 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma(1-x)},}$

x의 양의 정수 값에 대해 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\gamma (1}{}}$- x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$을(를) 0으로 간주한다는$$ 이해와 함께.

표현

하다마드의 감마선도 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {}{x}}\right)-\psi \left({\frac {1}{1}-{x}\right)}{2\감마(1-x)}}}}}}}}}}}$

로서

${\displaystyle H(x)=\Gamma(x)\왼쪽[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}}{\psi \좌({\dfrac {x}{2}}\오른쪽)-\psi \좌({\dfrac {x+1}{2}{2}{pi1}}{2}}{{2}{pi)}}\오른쪽)\오른쪽\}오른쪽,}$

여기서 ψ(x)는 digamma 함수를 나타낸다.

참조

• Hadamard, M. J. (1894), Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF) (in French), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
• Srivastava, H. M.; Junesang, Choi (2012). Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. p. 124. ISBN 0123852188.
• "Introduction to the Gamma Function". The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. Retrieved 27 February 2016.