하다마드 정규화

수학에서 하다마드 정규화(Hadamard 유한 부분 또는 Hadamard의 파티피니라고도 함)는 일부 다른 용어를 떨어뜨리고 유한 부분을 유지함으로써 다이버전트 적분화를 정규화하는 방법으로서, 하다마드가 도입(1923년, 제3권, 제1장, 1932년)하였다.Riesz(1938, 1949년)는 이것이 수렴성 적분(meromorphic intendance)의 메로모르픽 연속성을 취하는 것으로 해석될 수 있음을 보여주었다.

Cauchy principle value가 적분된 경우

${\displaystyle {\mathcal{C}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}\,dt\quad({\hbox{}a<b)}$

다음과 같이 하다마드 유한 부품 적분을 획득하기 위해 x에 관해서 구별할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\hbox{for }}a<x<b).}$

$여기$서 C ${\${\$mathcal {C}$과(와$)$ H {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {$H}$ 기호가 각각 Cauchy 기본 값과 Hadamard 유한 부품 통합을 나타내는 데 사용된다는$$ 점에 유의하십시오.

위에 적분된 하다마드 유한 부품(< x < b)의 경우)도 다음과 같은 동등한 정의로 제공할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.}$

위의 정의는 함수 f(t)가 < x < b>의 t = x에서 무한히 여러 번 다를 수 있다고 가정함으로써 도출될 수 있다. 즉, f(t)가 t = x에 대한 테일러 시리즈로 표현될 수 있다고 가정함으로써 도출될 수 있다. 자세한 내용은 앙(2013)을 참조한다.(는 용어−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{습니다.Border-top:두번째 동일한 정의에서 1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}f())(1/b −)− 1/a −))위에 앙(2013년)에 썼지만 이것이 책의 오자 지침에서 입수 시트에 고정된 실종되었다.).

Hadamard 유한 부품 적분(f (t)을 알 수 없는 경우)을 포함하는 적분 방정식을 과급 적분 방정식이라고 한다.과민 적분 방정식은 파단 분석과 같은 역학에서 많은 문제를 형성할 때 발생한다.

참조

• Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis, Oxford: Woodhead Publishing, pp. 19–24, ISBN 978-0-85709-479-7.
• Ang, Whye-Teong, Errata Sheet for Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis (PDF).
• Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), "Hadamard regularization", Journal of Mathematical Physics, 41 (11): 7675–7714, arXiv:gr-qc/0004008, Bibcode:2000JMP....41.7675B, doi:10.1063/1.1308506, ISSN 0022-2488, MR 1788597, Zbl 0986.46024.
• Hadamard, Jacques (1923), Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Dover Phoenix editions, Dover Publications, New York, p. 316, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04, MR 0051411, Zbl 0049.34805.
• Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (in French), Paris: Hermann & Cie., p. 542, Zbl 0006.20501.
• Riesz, Marcel (1938), "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels.", Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) (in French), 9 (1–1): 1–42, JFM 64.0476.03, Zbl 0018.40704, archived from the original on 2016-03-05, retrieved 2012-06-22.
• Riesz, Marcel (1938), "Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels"", Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) (in French), 9 (2–2): 116–118, JFM 65.1272.03, Zbl 0020.36402, archived from the original on 2016-03-04, retrieved 2012-06-22.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica, 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102, Zbl 0033.27601