재규격화 그룹

정규화 및 정규화
재규격화 재규격화 그룹 온셸 방식 최소 감산 방식
정규화 치수 정규화 파울리-빌라르 정규화 격자 정규화 제타 함수 정규화 원인 섭동 이론 아다마르 정규화 포인트 분할 정규화
v t

이론물리학에서 재규격화 그룹(RG)이란 다른 척도로 볼 때 물리적 시스템의 변화를 체계적으로 조사할 수 있는 공식 장치를 말합니다.입자 물리학에서, 그것은 물리적 과정이 일어나는 에너지 척도가 변화하고, 에너지/모멘텀 및 분해능 거리 척도가 불확실성 원리에 따라 효과적으로 결합됨에 따라 기본 힘의 법칙(양자장 이론으로 코드화)의 변화를 반영한다.

척도의 변화를 척도 변환이라고 합니다.재규격화 그룹은 스케일 불변성과 컨포멀 불변성과 밀접하게 관련되어 있으며, 시스템이 모든 척도에서 동일하게 나타나는 대칭성(이른바 자기 유사성)^[a]입니다.

스케일이 변함에 따라 시스템을 보는 시각현미경의 배율이 바뀌는 것과 같다.소위 재규격화 가능 이론에서, 한 척도의 시스템은 일반적으로 작은 척도로 볼 때 시스템의 구성 요소를 설명하는 다른 매개 변수와 함께 그 자체의 자기 유사 복사본으로 구성됩니다.구성 요소 또는 기본 변수는 원자, 소립자, 원자 스핀 등과 관련이 있을 수 있습니다.이론의 매개 변수는 일반적으로 구성요소의 상호작용을 설명합니다.이들은 다양한 힘의 강도 또는 질량 매개변수 자체를 측정하는 가변 커플링일 수 있습니다.컴포넌트 자체는 거리가 짧아질수록 더 많은 동일한 컴포넌트로 구성되어 있는 것처럼 보일 수 있습니다.

예를 들어 양자전기역학(QED)에서 전자는 전자, 양전자(반전자), 광자로 구성되어 있으며 매우 짧은 거리에서 보다 높은 분해능으로 볼 수 있습니다.이렇게 짧은 거리의 전자는 먼 거리에서 볼 수 있는 드레싱된 전자와 약간 다른 전하를 가지며, 전하 값의 변화 또는 작동은 재규격화 그룹 방정식에 의해 결정됩니다.

역사

스케일 변환과 스케일 불변성의 개념은 물리학에서 오래되었습니다.스케일링 논쟁은 피타고라스 학파 ^[1]유클리드와 갈릴레오에게 흔한 일이었다.그것들은 19세기 말에 다시 인기를 끌었는데, 아마도 첫 번째 예는 난기류를 설명하는 방법으로서 오스본 레이놀즈의 점도를 높인 아이디어일 것이다.

재규격화 그룹은 처음에는 입자 물리학에서 고안되었지만, 오늘날에는 고체 물리학, 유체 역학, 물리 우주론, 그리고 나노 기술까지 응용되고 있습니다.1953년 에른스트 슈테켈베르그와 앙드레 페테르만이 쓴 초기[2] 논문은 양자장 이론의 아이디어를 예측한다.Stueckelberg와 Petermann은 개념적으로 필드를 열었다.그들은 재규격화가 최소조건에서 카운터조건으로 수량을 이전하는 일련의 변환을 나타낸다는 점에 주목하였다.그들은 양자전기역학(QED)에 함수 h(e)를 도입했는데, 이것은 현재 베타 함수라고 불린다(아래 참조).

시작

머레이 겔만과 프란시스 E. Low는 1954년 ^[3]QED에서 변환을 확장하려는 아이디어를 제한했는데, 이는 물리적으로 가장 중요하며 높은 에너지에서 광자 전파기의 점근적 형태에 초점을 맞췄다.그들은 그 이론의 스케일링 구조의 단순성을 이해함으로써 QED에서 전자파 커플링의 변화를 결정했다.따라서 그들은 에너지 척도 μ에서의 결합 매개변수 g(μ)가 (1차원 변환) 그룹 방정식에 의해 효과적으로 주어진다는 것을 발견했다.

$\displaystyle g(\mu)=G^{-1}\left(\frac {\mu}{M}}\오른쪽)^{d}G(g(M)\right)}$

또는 $동등$하게${\displaystyle }$G (${\displaystyle g}$ (${\displaystyle \mu }$ )$G$ (${\displaystyle M{}^{}}$) (${\displaystyle {\mu }^{}}$ /${\displaystyle M^{}}$ )$$ \ $displaystyle$G \$left$ ( $g$( \ $mu$) \ $right$ ) =$G$( g ( m ) \ left ( { \ mu } / { $M$} \$$right )$^{d$ 일부 함수 G(지금은 지정되지 않음, 현재는 Wegner 스케일링 함수라고 함) 및 기준 척도 M에서 결합 g(M)의 관점에서 상수 d.

Gell-Mann과 Low는 이러한 결과에서 유효 척도를 임의로 μ로 취할 수 있으며 다른 척도에서 이론을 정의하기 위해 달라질 수 있다는 것을 깨달았다.

$\displaystyle g(\kappa)=G^{-1}\left(\frac {\kappa}{\mu }}\오른쪽)^{d}G(g(\mu)\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {kappa}{M}}\오른쪽)^{d}G(g(M)\right)}$

RG의 요지는 이 군 속성이다: 척도 μ가 변화함에 따라, 이론은 그 자체의 자기 유사 복제를 나타내며, 모든 척도는 수학적인 의미에서 커플링의^[4] 공식적 전이적 켤레인 다른 척도에서 비슷하게 접근할 수 있다(슈뢰더 방정식).

이 (표준) 군 방정식과 그 스케일링 특성에 기초하여, 겔-만과 로우(Low)는 무한소 변환에 초점을 맞출 수 있었고, 그들이 도입한 결합 매개변수 g의 수학적 흐름 함수 δ(g) = G d/(θG/θg)에 기초한 계산 방법을 발명했다.Stueckelberg와 Petermann의 함수 h(e)와 마찬가지로, 이들의 함수는 미분 방정식인 재규격화 그룹 방정식을 통해 에너지 척도 μ의 작은 변화에 대한 결합 g(μ)의 미분 변화를 결정한다.

${\displaystyle\displaystyle\frac\ln\mu }=\psi(g)=\displaystyle(g)}$

C에 의해 도입된 베타 기능인 현대 이름도 표시된다. 캘런과 K. 1970년 ^[5]Symanzik.이것은 단순한 g의 함수이기 때문에, 그것의 섭동 추정치의 g에의 적분은 결합의 재규격화 궤적, 즉 에너지와의 변화, 이 섭동 근사에서의 함수 G의 지정을 가능하게 한다.정규화 그룹의 예측(cf).Stueckelberg-Peterman 및 Gell-Mann-Low works)는 40년 후 LEP 가속기 실험에서 확인되었습니다. QED의 미세 구조 "상수"는 다음과 같이 측정되었습니다.200 GeV에 가까운 에너지에서 1µ127로,^[b] 표준 저에너지 물리값인 1µ137과 대조된다.

보다 깊은 이해

재규격화 그룹은 양자장 변수의 재규격화로부터 나타나며, 이것은 보통 양자장 ^[c]이론에서 무한성의 문제를 다루어야 한다.한정된 물리량을 얻기 위해 양자장론의 무한함을 체계적으로 다루는 이 문제는 1965년 노벨상을 받은 리처드 파인만, 줄리안 슈윙거, 토모나가 신이치로에 의해 QED에 의해 해결되었다.그들은 운동량 척도의 무한대가 초대형 조절기 ^[d]δ에 의해 차단되는 질량 및 전하 재규격화 이론을 효과적으로 고안했다.

전하나 전자 질량과 같은 물리량의 의존성은 눈금 δ에 숨겨져 물리량이 측정되는 장거리 척도로 효과적으로 교환되며, 그 결과 모든 관측 가능한 양은 무한 δ에 대해서도 유한하게 됩니다.따라서 Gell-Mann과 Low는 상기 RG 방정식에 의해 g의 작은 변화가 무한히 제공되지만, 자기유사성은 θ(g)가 이론의 파라미터에만 명시적으로 의존하며 스케일μ에 의존하지 않는다는 사실에 의해 표현된다는 것을 깨달았다.따라서 (G)g(μ)에 대해 상기 재규격화기 방정식을 풀 수 있다.

기존의 정규화 가능한 이론의 확장 그룹을 넘어서는 물리적인 의미와 정규화 프로세스의 일반화에 대한 보다 깊은 이해는 광범위하게 다른 길이의 척도가 동시에 나타나는 방법을 고려한다.응집 물질 물리학에서 비롯되었습니다.1966년 Leo P. Kadanoff의 논문은 "블록 스핀" 재규격화 ^[8]그룹을 제안했다."차단 아이디어"는 먼 거리에 있는 이론의 구성요소를 더 짧은 거리에 있는 구성요소의 집합체로 정의하는 방법입니다.

이 접근법은 개념 포인트를 다루었고 케네스 윌슨의 광범위한 중요한 공헌에 완전한 계산적 실체가 주어졌다.윌슨 사상의 힘은 1975년 ^[9]콘도 문제라는 오랜 문제의 건설적인 반복적인 정규화 해결책과 1971년 ^[10][11][12]2차 위상 전이 이론과 임계 현상 이론에서 그의 새로운 방법의 선행적인 개발에 의해 입증되었다.그는 ^[13]1982년에 이러한 결정적인 공헌으로 노벨상을 받았다.

리폼

한편, 입자물리학의 RG는 1970년 ^[5][14]캘런과 시만지크에 의해 보다 실용적인 용어로 재구성되었다."커플링의 실행" 매개변수를 척도로 설명하는 위의 베타 함수는 또한 필드 ^[e]이론에서 척도(확장)의 양자-기계적 대칭을 나타내는 "표준적 추적 이상"에 해당하는 것으로 밝혀졌다.RG의 입자 물리학 응용은 1970년대에 표준 모델의 확립과 함께 폭발적으로 증가하였다.

1973년,^[15][16] 양자 색역학이라고 불리는 상호 작용 색 쿼크의 이론이 음의 베타 함수를 가지고 있다는 것이 발견되었다.이는 커플링의 초기 고에너지 값이 커플링이 폭발(분산)하는 특별한 값 μ를 발생시킨다는 것을 의미합니다.이 특수값은 강한 상호작용의 척도인 μ = Ω이며_QCD 약 200 MeV에서 발생합니다.반대로 결합은 매우 높은 에너지(점근 자유도)에서 약해지고 쿼크는 파인만-비요켄 스케일링에서 예상한 바와 같이 깊은 비탄성 산란에서 점 같은 입자로 관측된다.따라서 QCD는 입자의 강한 상호작용을 제어하는 양자장 이론으로 확립되었다.

운동량 공간 RG는 또한 고체 물리학에서 고도로 발달된 도구가 되었지만, 강한 상관 ^[f]계에서 이론이 성공하는 것을 방해한 섭동 이론의 광범위한 사용으로 인해 방해되었다.

등각대칭

등각 대칭은 베타 함수의 소멸과 관련이 있습니다.이는 연결 상수가 β(g) = 0인 고정점을 향해 이동함으로써 자연스럽게 발생할 수 있다. QCD에서 고정점은 g → 0인 단거리에서 발생하며 이를 (자외선 고정점)이라고 한다.꼭대기 쿼크와 같은 무거운 쿼크의 경우 질량을 주는 힉스 입자에 대한 결합은 펜들턴과 로스(1981년)[17]와 C에 의해 최초로 예측된 고정된 0이 아닌(비사소한) 적외선 고정점을 향해 진행됩니다. T. Hill.^[18]꼭대기 쿼크 유카와 커플링은 순차적으로 무거운 힉스 입자와 같은 추가적인 새로운 물리학의 가능성을 암시하는 표준 모델의 적외선 고정점보다 약간 아래에 있습니다.

끈 이론에서, 끈 월드 시트의 등각 불변성은 기본적인 대칭이다: β = 0은 필수 조건이다.여기서 β는 끈이 움직이는 시공간 형상의 함수이다.이것은 끈 이론의 시공간 차원을 결정하고 기하학에 아인슈타인의 일반 상대성 방정식을 적용합니다.RG는 끈 이론과 대통일 이론에서 근본적으로 중요하다.

그것은 또한 응집 물질 ^[19]물리학에서 중요한 현상을 뒷받침하는 현대의 핵심 아이디어입니다.사실, RG는 현대 ^[20]물리학의 가장 중요한 도구 중 하나가 되었다.몬테카를로법과 ^[21]조합하여 자주 사용된다.

블록 스핀

이 절에서는 1966년 ^[8]Leo P. Kadanoff가 고안한 블록 스핀 RG의 그림을 교육학적으로 소개합니다.

그림과 같이 완벽한 정사각형 배열의 원자 집합인 2D 고체를 생각해 보십시오.

원자가 서로 가장 가까운 이웃과만 상호작용하고 시스템이 주어진 온도 T에 있다고 가정합니다.이들 상호작용의 강도는 특정 결합 J에 의해 정량화된다.시스템의 물리학은 해밀턴 H(T, J)와 같은 특정한 공식에 의해 설명될 것이다.

이제 고체를 2×2 정사각형의 블록으로 분할합니다. 블록 변수, 즉 블록의 평균 동작을 설명하는 변수의 관점에서 시스템을 설명하려고 합니다.또한 어떤 행운의 우연에 의해 블록 변수의 물리학은 같은 종류의 공식에 의해 설명되지만 T와 J: H(T,, J))에 대해서는 다른 값을 갖는다고 가정합니다.(이것은 일반적으로는 정확하게 사실이 아니지만 종종 좋은 첫 번째 근사치입니다.)

아마도, 초기 문제는 원자가 너무 많아서 해결하기 너무 어려웠을 것이다.재규격화 문제에서는 4분의 1밖에 없습니다.하지만 왜 이제 그만둘까요?같은 종류의 또 다른 반복은 H(T", J)로 이어지며 원자의 16분의 1만 발생한다.RG 단계별로 관측 척도를 높이고 있습니다.

물론, 가장 좋은 생각은 아주 큰 블록이 하나밖에 없을 때까지 반복하는 것입니다.실제 재료 표본의 원자 수는 매우 크기 때문에, 이는 (T,J) → (T,J) 및 (T,J) → (T,J) → (T",J")를 취한 RG 변환의 장거리 거동을 찾는 것과 거의 동등하다.이 RG 변환은 여러 번 반복되면 일정 수의 고정점으로 이어지는 경우가 많습니다.

좀 더 구체적으로 말하면 J 커플링이 평행한 인접 스핀의 추세를 나타내는 자기 시스템(예: 이징 모델)을 고려한다.시스템의 구성은 순서 J 항과 온도의 무질서 효과 사이의 트레이드오프 결과입니다.

이런 종류의 많은 모델에는 세 가지 고정 지점이 있습니다.

1. T = 0 및 J → 0입니다.이는 가장 큰 크기에서는 온도가 중요하지 않게 되고, 즉 교란 요인이 사라짐을 의미합니다.따라서 대규모로 보면 시스템이 주문되어 있는 것처럼 보입니다.우리는 강자성 단계에 있다.
2. T → µ 및 J → 0. 정확히 반대입니다. 여기서는 온도가 우세하며 시스템이 대규모로 무질서합니다.
3. T = T와_c J = J_c 사이의 중요하지 않은 점. 이 점에서 척도를 변경해도 시스템이 프랙탈 상태이기 때문에 물리학이 변경되지 않습니다.퀴리 위상 전이에 해당하며 임계점이라고도 합니다.

따라서 주어진 T와 J 값을 가진 특정 재료가 주어진 경우 시스템의 대규모 동작을 알아내기 위해 우리가 해야 할 일은 대응하는 고정점을 찾을 때까지 쌍을 반복하는 것입니다.

기본 이론

좀 더 기술적인 용어로${\displaystyle }$말하면 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수}_{}}$ {si$}$의$$특정 함수$$$$$Z$({$displaystyle$$\{s_{$i$$}\})와${\displaystyle }$특정 결합 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {세트}_{}}${J$k}({displaystyle\{J_{$k$\}\backslash \})$에 의해 설명되는 이론이 있다고 가정합니다.이 함수는 파티션 함수, 동작, 해밀턴 등이 될 수 있습니다.이 문서에는 시스템의 물리학에 대한 전체 설명이 포함되어야 합니다.

이제${\displaystyle }$상태 ${\displaystyle {}_{}}$ {$s$ i${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle \to {\stackrel{}{}}_{}}${ s ~$i }$ { $displaystyle$ \ {$s _$s _ { i } \ } \ \ { \$$$tilde$$${$$${\displaystyle s_{}}$ $}$$_$$${$$i$$ $}$$$${\displaystyle {\stackrel{}{\backslash }}_{}}$ \ transform transform of transform transform of of$$ of of of of of of of of of ofationationationation $ationationationationationationationationationationationation$ ationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationationation$isplaystyle$Z는$$ s${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~$(\$에서만 기능합니다.파라미터의 특정 변경에 의해 이것이 가능한 경우${\displaystyle }${${\displaystyle J_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \to }$ {${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ $}$ {$displaystyle$\{$J_{k}\}\tilde {J}_{k$$to$\ren {\}}이론은 다음과 같습니다.

어떤 이유에서인지, 양자 전기역학, 양자 색역학, 그리고 중력이 아닌 전기-약 상호작용과 같은 물리학의 가장 기본적인 이론들은 정확히 다시 정규화할 수 있다.또한, 응축 물질 물리학에서 대부분의 이론은 초전도로부터 유체 난류까지 거의 정규화할 수 있습니다.

파라미터의 변경은 특정 베타함수${\displaystyle }${${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =\beta }$( { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}{}_{}}$) { $displaystyle$ \ { \ $tilde { J} _$ { k } \ } = \ $beta$ ( \ { $J$_ { $K$} \ $\}$ )에 의해 실행됩니다$.이$함수는 $Jstyle$에서 $정규화{\displaystyle }$ 그룹 흐름(또는 RG 흐름)을 유도하는 것으로 알려져 있습니다.흐름 아래의 J$(\displaystyle$ J$)$ 값을 $실행$ 커플링이라고 합니다.

전 항에서 설명한 바와 같이 RG 흐름에서 가장 중요한 정보는 고정점입니다.시스템의 가능한 거시적 상태는 대규모로 이 고정점 세트에 의해 제공됩니다.만약 이러한 고정점이 자유장 이론과 일치한다면, 그 이론은 양자 전기 역학에서와 같이 란다우 극이라고 불리는 것을 소유하는 양자 사소함을 나타낸다고 한다.δ⁴ 상호작용에 대해, Michael Aizenman은 시공간 차원 D ^[22]d 5에 대해 이 이론이 정말로 하찮다는 것을 증명했다.D = 4의 경우, 사소성은 아직 엄격하게 입증되지 않았지만(arxiv에 대한 최근 제출), 격자 연산은 이에 대한 강력한 증거를 제공했다.이 사실은 점근 안전 시나리오에서 힉스 입자의 질량과 같은 매개변수를 제한하거나 예측하는 데 사용될 수 있기 때문에 중요하다.격자 힉스 이론의 연구에는 수많은 고정점이 나타나지만, 이것들과 관련된 양자장 이론의 본질은 여전히 미해결의 ^[23]문제로 남아 있다.

그러한 시스템의 RG 변환은 손실(즉, 변수의 수가 감소한다 - 다른 맥락에서 볼 수 있는 손실 데이터 압축)이기 때문에, 주어진 RG 변환에 반대가 있을 필요는 없다.따라서, 이러한 손실 시스템에서, 손실성은 각 원소에 고유한 역이 없음을 의미하기 때문에, 사실상 재규격화 그룹은 반그룹이다.

관련 및 관련 없는 연산자 및 유니버설리티 클래스

RG 변환이 진행 중인 물리적 시스템의 특정 관측 가능한 A를 고려합니다.시스템의 길이 척도가 작은 척도에서 큰 척도로 이동할 때 관측 가능한 크기의 크기에 따라 척도화 법칙에 대한 관측 가능한 값의 중요도가 결정됩니다.

만약 그 규모가...	그렇다면 관찰할 수 있는 것은...
항상 증가하다	관련된
항상 감소하다	무관한
다른.	변두리

시스템의 거시적 동작을 설명하기 위해서는 관련 관측 가능이 필요하며, 관련 없는 관측 가능은 필요하지 않다.한계 관측치를 고려할 수도 있고 고려할 필요가 없을 수도 있습니다.주목할 만한 광범위한 사실은 대부분의 관측가능성이 무관하다는 것이다. 즉, 거시물리학은 대부분의 시스템에서 소수의 관측가능성에 의해 지배된다.

예를 들어 현미경 물리학에서는 탄소-12 원자의 몰로 구성된 시스템을 10(아보가드로 수) 변수로 기술하는²³ 데 필요한 반면 거시적 시스템(탄소-12g)으로 기술하는 데는 몇 개만 필요하다.

Wilson의 RG 접근법 이전에 다음과 같은 놀라운 경험적 사실이 설명되었습니다.자기계통, 초유체 전이(Lambda 전이), 합금 물리학 등과 같은 매우 이질적인 현상에서 임계 지수(즉, 2차 위상 전이 부근에 있는 여러 양의 감소 온도 의존 지수)의 일치.따라서 일반적으로 위상 천이에 가까운 시스템의 열역학적 특성은 차원이나 대칭과 같은 소수의 변수에만 의존하지만 시스템의 기본적인 미시적 특성에 대한 세부 사항에는 민감하지 않습니다.

표면상으로는 상당히 다른 물리적 시스템에 대한 임계 지수의 일치, 보편성은 개별 미세 척도 구성요소 간의 현상의 차이가 관련되지 않은 관측가능성에 의해 결정되는 반면, 관련 관측가능성은 공통적으로 공유된다는 것을 입증함으로써 재규격화 그룹을 사용하여 쉽게 설명된다.따라서 많은 거시적 현상은 관련 관측 ^[g]가능성의 공유 세트로 지정된 작은 보편성 등급 세트로 분류될 수 있다.

운동량 공간

실제로, 재규격화 그룹은 두 가지 주요 "향미"가 있습니다.위에서 설명한 Kadanoff 그림은 주로 실공간 RG를 말한다.

반면 운동 공간 RG는 상대적으로 미묘함에도 불구하고 더 오랜 역사를 가지고 있다.주어진 필드의 푸리에 모드 측면에서 자유도를 주조할 수 있는 시스템에 사용할 수 있습니다.RG 변환은 특정 세트의 고모멘텀(대진동) 모드를 통합하는 것으로 진행됩니다.큰 웨이브는 짧은 길이의 스케일과 관련이 있기 때문에 운동량 공간 RG는 실제 공간 RG와 본질적으로 유사한 거친 격자 효과를 가져온다.

운동량 공간 RG는 보통 섭동 확장에 대해 수행됩니다.이러한 팽창의 타당성은 자유장 시스템에 가까운 시스템의 실제 물리학에 근거한다.이 경우 확장의 선행 항을 합산하여 관측 가능량을 계산할 수 있습니다.이 접근방식은 대부분의 입자물리학을 포함한 많은 이론에서 성공했지만 물리학과 자유계, 즉 강한 상관관계를 가진 시스템에서는 실패했습니다.

입자물리학에서 RG의 물리적 의미에 대한 예로서 양자전기역학(QED)에서의 전하 재규격화의 개요를 고려합니다.특정 참(또는 베어) 크기의 점 양의 전하가 있다고 가정합니다.주변의 전자기장은 특정 에너지를 가지고 있기 때문에 가상 전자-양전자 쌍(예를 들어)을 생성할 수 있습니다.비록 가상 입자가 매우 빠르게 전멸하지만, 짧은 수명 동안 전자는 전하로 이끌리고 양전자는 격퇴될 것입니다.이는 전장이 충분히 강한 지점 전하 근처 어디에서나 균일하게 발생하기 때문에, 이들 쌍은 멀리서 보았을 때 효과적으로 전하 주위에 화면을 형성합니다.전하의 측정된 강도는 측정 프로브가 포인트 전하에 얼마나 근접할 수 있는지에 따라 달라지며, 근접할수록 가상 입자의 화면을 더 많이 우회합니다.따라서 특정 결합 상수(여기서는 전하)와 거리 척도의 의존성이 있습니다.

운동량과 길이 척도는 de Broglie 관계에 따라 반대로 관련된다.에너지 또는 운동량 척도가 높을수록 길이 척도가 낮아져 탐침 및 분해할 수 있습니다.따라서, 운동 공간 RG 실무자들은 때때로 그들의 이론에서 높은 모멘타 또는 높은 에너지를 통합하라고 격찬한다.

정확한 정규화 그룹 방정식

정확한 재규격화 그룹 방정식(ERGE)은 관련이 없는 커플링을 고려한 것입니다.몇 가지 제형이 있습니다.

Wilson ERGE는 개념적으로는 가장 심플하지만 실제로는 구현이 불가능합니다.윅이 유클리드 공간으로 회전한 후 푸리에가 운동량 공간으로 변환됩니다.모멘텀이 δ보다 작은 모멘텀이 유일한 자유도가 되도록 하드 모멘텀 컷오프² p δ² δ δ를 고집합니다.파티션 함수는

$\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right]}$

δ'보다 작은 양의 δ'에 대해 S(p δ δ' 내에서² 모멘텀을 지원하는 푸리에 변환의 함수 오버 필드 구성 δ)를 다음과 같이 정의합니다_Λ'.

$\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\{\stackrel {def}{=}\int _{\Lambda '\leq p\Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \exp \[-S_{Phi }}$

물론. 뻔하지.

$\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right]}$

사실, 이 변환은 과도적입니다.S에서_Λ S를 계산하고_Λ′ S에서_Λ′ S를 계산하면_Λ″ S에서 직접_Λ S를 계산하는_Λ″ 것과 동일한 Wilsonian 동작을 얻을 수 있습니다.

Polchinski ERGE는 부드러운 자외선 조절기 차단이 필요합니다.기본적으로 이 아이디어는 Wilson ERGE보다 개선된 것입니다.급격한 모멘텀 컷오프 대신 부드러운 컷오프를 사용합니다.기본적으로, 우리는 λ보다 큰 순간부터 기고를 크게 억제한다.그러나 컷오프의 부드러움으로 컷오프의 척도 δ에서 함수 미분 방정식을 도출할 수 있다.Wilson의 접근방식과 마찬가지로 각 컷오프 에너지 스케일 δ에 대해 서로 다른 작용 기능이 있습니다.이러한 각 동작은 정확히 동일한 모델을 설명하도록 되어 있습니다.즉, 파티션 기능이 정확하게 일치해야 합니다.

즉, (실제 스칼라 필드의 경우, 다른 필드로의 일반화는 명백합니다),

$\displaystyle Z_{\Lambda}[J]=\int\mathcal {D}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi]+J\cdot \phi \right)=\int {mathcal {D}\phi \exp {\tfrac {1}{2}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi - S_{\text{int},\Lambda }[\phi ]J\cdot \phi \right)$

그리고_Λ Z는 δ와 매우 독립적입니다! 여기서는 축약된 deWitt 표기법을 사용했습니다.우리는 또한 베어 액션_Λ S를 2차 운동 부분과 상호작용 부분_{int Λ} S로 분할했다.이 갈라진 곳은 확실히 깨끗하지 않다."상호작용" 부분에는 2차 운동항도 포함될 수 있습니다.실제로 파동함수 재규격화가 있다면 분명 있을 것입니다.이는 필드 재스케일링을 도입함으로써 어느 정도 줄일 수 있습니다.R은_Λ 운동량 p의 함수이며, 지수의 두 번째 항은 다음과 같다.

${\displaystyle {1}{2}}\int {frac {d^{d}{(2\pi)^{d}}{\tilde {phi}^*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {phi }}(p)$

확장 시.

p $≪$ $λ$ \ $style$ p$\ll \Lambda$ $\}$의_Λ 경우 R(p)/p는² 기본적으로 1입니다.$p ≫$ ${\$ \ $display$ p \ g \ Lambda $\}$가_Λ 되면 R(p²)/p는 매우 커져서 무한대에 가까워집니다.R_Λ(p)/p는² 항상 1보다 크거나 같고 매끄럽습니다.기본적으로는 컷오프 δ보다 모멘텀이 작은 변동은 영향을 받지 않지만 컷오프보다 모멘텀이 큰 변동의 기여는 크게 억제된다.이것은 분명히 윌슨보다 크게 발전한 것이다.

라는 조건

${\displaystyle {d}{d\Lambda}}Z_{\Lambda}=0}$

(그러나 그것만이 아니라)에 의해 충족될 수 있다

${\displaystyle {d}{d\Lambda}}S_{\text{int},\Lambda}=blac{1}{2}{\frac S_{\text{int},\Lambda}}}{\flac\frda}}{\frac S_{\frcda}}}}Lam}}\phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right]}$

Jacques Distler는 이 ERGE가 ^[24]비강제적으로 올바르지 않다고 증거 없이 주장했다.

효과적인 평균 작용 ERGE는 부드러운 IR 조절기 컷오프를 수반합니다.아이디어는 IR 척도 k까지의 모든 변동을 고려하는 것입니다.유효 평균 작용은 모멘타 k보다 큰 변동에 대해 정확합니다.파라미터 k가 낮아짐에 따라 유효평균작용은 모든 양자 및 고전적 변동을 포함하는 유효작용에 접근한다.이와는 대조적으로, 큰 k의 경우, 유효 평균 작용은 "최소 작용"에 가깝다.따라서, 효과적인 평균 작용은 "가벼운 작용"과 효과적인 작용 사이에 보간됩니다.

실제 스칼라 필드의 경우 IR 컷오프 추가

${\displaystyle {1}{2}}\int {frac {d^{d}{(2\pi)^{d}}{\tilde {phi }^*}(p)R_{k}(p){\tilde {phi }}(p)$

여기서_k R은 k와 p의 함수로 p ${\displaystyle k}$k {\$displaystyle$ p$\$$gg$ k$$}의 경우_k R(p)은 매우 작으며${\displaystyle p}$ ${\$ k {\$displaystyle$ p\$ll$k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ k${\displaystyle (p)}$의 $경우{\displaystyle }$ R k$$ \$displaystyle R_{k(p)\gg$k^2$}$의_k 경우 모두 평활성이 됩니다$.$작은 모멘타에 대한 큰 값은 큰 변동을 무시하는 것과 사실상 동일한 분할 함수에 대한 기여도를 억제합니다.

압축 드윗 표기법을 사용할 수 있다.

$(\displaystyle\frac{1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi }$

이 IR 레귤레이터에 사용됩니다.

그렇게,

$\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\오른쪽)= Z_{k}[J]=\int {mathcal {D}\phi \exp \left(-S[\phi])-{\frac {1}{2}\phi \phi +J\cdot \phi \phi \right}$

여기서 J는 소스 필드입니다.일반적으로 W의_k Legendre 변환은 효과적인 액션을 제공합니다.단, 처음에 사용한 액션은 실제로는 S[]]+1/2 「R_k」이기 때문에, 유효 평균 액션을 얻기 위해서 1/2_k 「R」를 감산합니다.바꿔 말하면

$\displaystyle \phi [ J ; k ] = frac { \ delta J } } [ J ]$

J[]]를_k 주기 위해 반전될 수 있으며, 우리는 효과적인 평균 작용_k δ를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \Gamma _{k}[\phi]\stackrel {mathrm {def}{=}\left(-W\left[J_{k}[\phi]\right]+J_{k}[\phi]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .}$

이런 이유로,

$\displaystyle {\frac {d} {dk} \ Gamma _ {k} [\phi ]&= - {\frac {d} {dk}W_{k}[J_{k}[\phi]]-{\frac {delta W_{k}{\delta J}\cdot {frac {d}{dk}}J_{k}[\phi]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi]\cdot \phi - {\tfrac {1}{2}\phi \frac {dk}R_{k}\cdot \phi \&=-{\frac {d}{dk}}W_ᆫ[J_{k}-LSB- \phi]]-{\tfrac{1}{2}};={\tfrac{1}{2}}\left\langle\phi \cdot{\frac{d}{dk}}R_{k}\cdot\phi \right\rangle _ᆶ[\phi], k}-{\tfrac{1}{2}}}\cdot{\frac{d}{dk}R_{k}\cdot\phi \\& \phi, ={\tfrac{1}{2}}\operatorname{Tr}\left는 경우에는 \left({\frac{\delta J_{k}}{\delta \phi}}\right)^{)}\cdo\cdot{\frac{d}{dk}}R_{k}\cdot\phi \\& \phi.t{\frac{d}{dk}R_{k}\right]\\&=tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\frac\frac\frac\frac\{k}{\gamma\phi\phi}}{-1}\cdot\frac{d}{k}\endaligned$

따라서

${\displaystyle {frac {dk} \ Gamma _ {k} [ \ phi ] = tfrac {1} {2} \ left [ \ frac ^ { 2} \ Gamma _ { k } { \ phi \ phi } } + R _ { k \ cd } ^{ 1 }$

는 ERGE로, Wetterich 방정식이라고도 합니다.Morris에서 알 수 있듯이 유효 작용 δ는_k 사실 Legendre 변환 관계를 통해 Polchinski의 유효 작용_int S와 단순하게 관련되어 있다.

R의_k 선택지가 무한히 많으므로 보간 ERGE도 무한히 많습니다.스피노럴 필드 등 다른 분야로 일반화하는 것은 간단합니다.

Polchinski ERGE와 효과적인 평균 작용 ERGE는 비슷해 보이지만 매우 다른 철학에 기초하고 있습니다.효과적인 평균 작용 ERGE에서는 맨 작용은 변경되지 않은 상태로 유지되지만(그리고 UV 차단 척도(있는 경우)도 변경되지 않은 상태로 유지됨) 효과적인 작용에 대한 IR 기여는 억제되는 반면, Polchinski ERGE에서는 QFT가 한 번 고정되지만 "맨손 작용"은 사전 속도를 재현하기 위해 다른 에너지 척도로 변화한다.모델화.Polchinski의 버전은 확실히 정신적으로 Wilson의 생각에 훨씬 더 가깝다.하나는 "나쁜 행동"을 사용하는 반면 다른 하나는 효과적인(평균적인) 행동을 사용하는 것에 유의하십시오.

유효 잠재력 재규격화 그룹 개선

재규격화 그룹은 1-루프보다 높은 차수의 유효 전위를 계산하기 위해서도 사용할 수 있습니다.이러한 접근법은 특히 콜맨의 수정을 계산하는 데 흥미롭다.와인버그 메커니즘이를 위해서는 유효전위 측면에서 정규화 군 방정식을 작성해야 한다.§ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$\$display$ \ $phi$^ { 4$}모델$의 경우:

${\displaystyle (\mu \frac{\mathrm{}\mu }{}}$+ $β$ ${\displaystyle {}_{}}$ μ +${\displaystyle \frac{}{}{}_{}}$ +${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$β${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\frac{v}{}\frac{}{}{v}_{}}$ v ${\displaystyle v{}_{}}$、 ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ f $=$ ${\displaystyle 0}$ { \ $displaystyle$ } { \ mu \$frac$ \ $bigr$ （ ） { \$frac$ \ bigr } { \ $mu$} + \ $mu$_ { \ $frac$ \ $bigda }$ \ $phi _ frac$}

유효전위를 판별하려면 ${\displaystyle V_{}}$ e ${\displaystyle f_{}}${ $displaystyle V_${eff$$$}}$를 다음과 같이 $쓰면{\displaystyle {}_{}}$ 편리합니다.

$({displaystyle V_{eff}=bigfrac {1}{4}\phi^{4}S_{eff}{\big (}\bigda, L(\phi){\big}}},$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 S ${\displaystyle e_{}}$ { $displaystyle$ S _ { $eff$}는 $L{\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ) ${\displaystyle =}$ log ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 μ2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ { $displaystyle$ L ( \ $phi$ )$=$ \$log$ ( $}$ { \ $frac$ { $phi ^ {$2} { \ $mu }$ { \ $Bigr$}$$、

${\displaystyle S_{eff}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+...}$

위의 Ansatz를 사용하면 재규격화 군 방정식을 섭동적으로 풀고 원하는 순서로 유효전위를 구할 수 있다.이 기술에 대한 교육학적 설명은 참조에 ^[27]제시되어 있다.

「 」를 참조해 주세요.

언급

인용문

레퍼런스

이력 레퍼런스

• Fisher, Michael (1974). "The renormalization group in the theory of critical behavior". Rev. Mod. Phys. 46 (4): 597. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597.

교육학적 및 역사적 리뷰

• White, S.R. (1992). "Density matrix formulation for quantum renormalization groups". Phys. Rev. Lett. 69 (19): 2863–2866. Bibcode:1992PhRvL..69.2863W. doi:10.1103/PhysRevLett.69.2863. PMID 10046608. 가장 성공한 바리에이션 RG 방식.
• Goldenfeld, N. (1993). Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
• Shirkov, Dmitry V. (1999). "Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group". arXiv:hep-th/9909024. Bibcode:1999hep.th....9024S. {{cite journal}}: 인용 저널은 (도움말) 그룹 이론과 고에너지 물리학에서의 응용에 중점을 둔 수학적 소개와 역사적 개요를 필요로 한다.
• Delamotte, B. (February 2004). "A hint of renormalization". American Journal of Physics. 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th/0212049. Bibcode:2004AmJPh..72..170D. doi:10.1119/1.1624112. S2CID 2506712. 재규격화와 재규격화 그룹에 대한 보행자 소개.
• Maris, H.J.; Kadanoff, L.P. (June 1978). "Teaching the renormalization group". American Journal of Physics. 46 (6): 652–657. Bibcode:1978AmJPh..46..652M. doi:10.1119/1.11224. S2CID 123119591. 응집물질 물리학에 적용된 재규격화 그룹에 대한 보행자 소개.
• Huang, K. (2013). "A Critical History of Renormalization". International Journal of Modern Physics A. 28 (29): 1330050. arXiv:1310.5533. Bibcode:2013IJMPA..2830050H. doi:10.1142/S0217751X13300500.
• Shirkov, D.V. (31 August 2001). "Fifty years of the renormalization group". CERN Courier. Retrieved 12 November 2008.
• Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). "Exact renormalization group equations: an introductory review". Physics Reports. 348 (1–2): 91–157. arXiv:hep-th/0002034. Bibcode:2001PhR...348...91B. doi:10.1016/S0370-1573(00)00137-X. S2CID 18274894.

책들

• T. D. Lee; 입자물리학과 필드이론 입문, Harwood 학술출판사, 1981년, ISBN 3-7186-0033-1.Gell-Mann과 Low의 논문에서 인정된 바와 같이, 그룹 구조의 간결하고 단순하며 날카로운 요약이 포함되어 있습니다.
• L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov 및 A.N. Vasiliev; The Fully Developed Durblement의 필드 이론적인 재규격화 그룹; Gordon and Break, 1999.ISBN 90-5699-145-0.
• Vasil'ev, A. N.; 임계행동 이론과 확률역학 분야 이론의 정규화 그룹; Chapman & Hall/CRC, 2004.ISBN 9780415310024(완전한 계산을 통한 정규화 그룹 신청의 자체 처리)
• 진 저스틴, 진(2002년).양자장 이론과 임계 현상, 옥스퍼드, Clarendon Press(2002), ISBN 0-19-850923-5(양쪽 주제에 대한 예외적으로 견고하고 철저한 논문)
• Zinn-Justin, Jean: 재규격화 및 재규격화 그룹: UV의 발산 발견에서 효과적인 장 이론의 개념까지: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), 양자장이론에 관한 나토 ASI의 진행: 원근법과 전망, 1998년 6월 15일부터 26일까지 프랑스 나토, Kluwer 학술 출판사.PostScript에서 전문을 이용할 수 있습니다.
• 클라이너트, H. 및 슐트 프로린데, V., §-이론⁴, 세계과학의 임계 특성(싱가포르, 2001).페이퍼백 ISBN 981-02-4658-7. 풀 텍스트는 PDF로 제공됩니다.