헬머트 변환

헬머트 변환(Friedrich Robert Helmert, 1843–1917)은 3차원 공간 내의 기하학적 변환 방법이다. 기준점 사이의 기준점 변환을 생성하기 위해 지오디에서 자주 사용된다. 헬머트 변환은 7-모수 변환이라고도 하며 유사 변환이다.

정의

그것은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle X_{T}=C+\mu RX\,}$

어디에

• X는_T 변환 벡터
• X는 초기 벡터다.

매개변수는 다음과 같다.

• C – 번역 벡터. 좌표 축을 따라 세 개의 변환 포함
• μ – 단위가 없는 스케일 팩터. ppm 단위로 제공되면 100만 단위로 나누고 1로 합해야 한다.
• R – 회전 행렬. 세 개의 축(세 개의 좌표 축을 중심으로 한 작은 회전) r_x, r, r로_yz 구성된다. 회전 행렬은 직교 행렬이다. 각도는 도 또는 라디안 단위로 주어진다.

변형

특별한 경우는 2차원 헬머트 변환이다. 여기서는 4개의 파라미터(번역 2개, 스케일링 1개, 회전 1개)만 필요하다. 이는 알려진 두 지점에서 결정할 수 있다. 만약 더 많은 포인트를 사용할 수 있다면 점검이 가능하다.

때로는 3개의 번역, Z축에 대한 1회 회전, 1회의 척도 변경으로 구성된 5개의 파라미터 변환을 사용해도 충분하다.

제한사항

헬머트 변환은 하나의 스케일 팩터만 사용하므로 다음에는 적합하지 않다.

• 측정된 도면과 사진의 조작
• 오래된 계획과 지도를 스캔하는 동안 용지 변형 비교.

이러한 경우 보다 일반적인 애프라인 변환이 바람직하다.

적용

헬머트 변환은 무엇보다도 지오디에서 한 좌표계에서 다른 좌표계로 점의 좌표를 변환하기 위해 사용된다. 이를 통해 지역 측량 지점을 GPS가 사용하는 WGS84 위치로 변환할 수 있게 된다.

예를 들어 Gauss-Krüger 좌표에서 시작하여 x와 y를 더한 높이 h는 단계별로 3D 값으로 변환된다.

1. 지도 투영 실행 취소: 타원상 위도, 경도 및 높이 계산(W, L, H)
2. 측지 좌표에서 측지 좌표로 변환: 측량 기준 타원체 대비 x, y, z의 계산
3. 7자리 변환(x, y 및 z가 거의 균일하게 변화하고, 기껏해야 수백 미터, 거리가 km당 몇 mm씩 변화한다).
4. 이 때문에, 지상으로 측정된 위치는 GPS 데이터와 비교할 수 있다. 그런 다음 새로운 지점으로 측정에 도입될 수 있다. 즉, 반대 순서로 변환된다.

세 번째 단계는 회전 행렬의 적용으로 구성되며, 스케일 팩터 ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$= ${\displaystyle 1}$+ s$[\displaystyle \mu =1+s}($값이 거의 1에 가까운 경우) 및 세 변환, c_x, c, c를_y 추가하는_z 것으로 구성된다.

기준 시스템 B의 좌표는 다음 공식에 의해 기준 시스템 A에서 도출된다.^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}^{{bmatrix}{{A}$

또는 좌표의 각 단일 모수에 대해:

${\displaystyle {\begin}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot(X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A}\}\\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\time 10^{-6})\cdot(r_{z}\cdot X_{A}+)Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A}\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\time 10^{-6})\cdot(-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{정렬}}}$

역변형의 경우 각 원소에 -1을 곱한다.

7개 매개변수는 두 시스템 모두 3개 이상의 "식별점"으로 각 지역에 대해 결정된다. 이들을 일치시키기 위해 최소 제곱법, 즉 통계적으로 타당한 방법으로 제거하여 작은 불일치(보통 몇 cm만)를 조정한다.

표준 매개변수

참고: 표에 제시된 회전 각도는 아크초이며 계산에 사용하기 전에 라디안으로 변환해야 한다.

이들은 두 기준점 사이의 7-모수 변환(또는 데이터 변환)을 위한 표준 매개변수 집합이다. 반대 방향의 변환에 대해서는 역변환 매개변수를 계산하거나 역변환을 적용해야 한다(종이 "측지변환에 대하여"^[3]에 기술된 바와 같이). 번역 c_x, c_y, c는_z t_x, t_y, t_z 또는 dx, dy, dz로 설명되기도 한다. 그 회전 rx, ry, rz은 때때로ω{\displaystyle \omega},ϕ{\displaystyle \phi}과 κ{\displaystyle \kappa}.[누가?]것으로 묘사된다.영국에서는 그 OSGB36 기준점은 군수품 전수 조사에 의해 그리드 References의 Landranger과 탐색기 지도가 WGS84에 사용되는 사이의 주요 관심사는 변환. GPS 기술이 사용하는 구현. 독일에서 사용되는 가우스-크뤼거 좌표계는 일반적으로 베셀 타원체를 가리킨다. 또 다른 관심기준은 헤이포드 타원체 기반 ED50(유럽 데이텀 1950)이었다. ED50은 1980년대까지 NATO 좌표의 기초의 일부였으며, 가우스-크뤼거의 많은 국가 좌표계는 ED50에 의해 정의된다.

지구는 완벽한 타원형을 가지고 있지 않지만, 지오이드라고 묘사된다. 대신, 지구의 지형은 많은 타원체들에 의해 묘사된다. 실제 위치에 따라 "로컬하게 가장 잘 정렬된 타원체"가 측량 및 지도 제작 목적으로 사용되어 왔다. 표준 파라미터 세트는 OSGB36/WGS84 변환의 경우 약 7m의 정확도를 제공한다. 이것은 측량하기에 충분히 정확하지 않으며, Ordnance Survey는 1 cm 정확도에 도달하기 위해 추가 번역의 룩업 테이블을 사용하여 이러한 결과를 보충한다.

모수 추정

변환 파라미터를 알 수 없는 경우 기준점(즉, 변환 전후에 좌표를 알 수 있는 점)을 사용하여 변환 파라미터를 계산할 수 있다. 총 7개의 매개변수(번역 3개, 척도 1개, 회전 3개)를 결정해야 하므로 제3점(예: Z-좌표)의 최소 2개 지점과 좌표 1개를 알아야 한다. 이렇게 하면 7개의 방정식과 7개의 미지수가 있는 시스템을 갖게 되는데, 이를 해결할 수 있다.

실전에서는 포인트를 더 많이 사용하는 것이 가장 좋다. 이 서신을 통해 보다 정확성을 얻고, 그 결과에 대한 통계적 평가가 가능해진다. 이 경우 계산은 가우스 최소 제곱법으로 조정된다.

변환 매개변수의 정확도에 대한 수치 값은 기준점에서 값을 계산하고, 점의 중심과 관련된 결과에 가중치를 부여하여 구한다.

방법은 수학적으로 엄격하지만, 전적으로 사용되는 매개변수의 정확도에 의존한다. 실제로, 이러한 매개변수는 네트워크에 최소한 3개의 알려진 지점을 포함하여 계산된다. 그러나 이러한 점들이 관측 오류를 포함하기 때문에 이러한 점들의 정확도는 다음과 같은 변환 매개변수에 영향을 미칠 것이다. 따라서 "실제" 변환은 최선의 추정치일 뿐이며 그 품질에 대한 통계적 측정치를 포함해야 한다.

참고 항목

• 갈릴레오 (위성항법)
• 지리 좌표 변환
• 위성위치확인시스템
• 측량

참조

외부 링크

• http://www.w-volk.de/museum/mathex02.htm
• https://www.webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/mapref/savpub/savpub-23.htm%23item40&date=2009-10-26+02:12:14 (데이터 교환을 위한 Geometry)
• http://www.mapref.org/
• TrafoStar의 유연한 3D BestFit 변환: 번역 3개, 회전 3개, 척도 3개, 아핀 3개
• Helmert 변환 계산