토포스 이론의 역사
History of topos theory |
이 기사는 토포들의 수학적인 생각에 대한 아주 일반적인 배경을 제공한다. 이것은 범주 이론의 한 측면이며, 난해하다는 평판을 가지고 있다. 관련된 추상화 수준은 특정 지점을 넘어 감소할 수 없다. 그러나 다른 한편으로 맥락은 주어질 수 있다. 이것은 부분적으로 역사적 발전 측면에서도 볼 수 있지만, 범주 이론에 대한 다른 태도에 대한 설명도 어느 정도 있다.[citation needed]
그로텐디크 학교에서
1950년대 후반에는 대수 기하학의 기초가 다시 쓰여지고 있었다; 여기서 토포스 개념의 기원을 찾을 것이다. 그 당시 Weil의 추측들은 연구를 위한 뛰어난 동기였다. 우리가 지금 알고 있듯이, 그들의 증거와 다른 진보로 가는 길은 에테일 코호몰로지 건설에 있었다.
사후판단의 이점으로 대수 기하학은 오랫동안 두 가지 문제와 씨름해 왔다고 할 수 있다. 첫 번째는 그것의 요점들과 관련이 있었다: 투영 기하학의 시대에 대수적 다양성에 대한 '충분히' 점들이 없는 것이 좋은 기하학적 이론을 갖는 데 장애물이라는 것이 분명했다. 또한 20세기 전반의 위상이 형성되자마자 대수학 변종들의 위상이 '너무 적은' 오픈 세트를 가지고 있다는 것이 분명해진 어려움도 있었다.
점의 문제는 1950년까지 거의 해결되었다. 알렉산더 그로텐디크는 요네다 보조정리기를 도입하여 비용 면에서 모든 다양성이나 그 이상의 일반적인 계획들이 방조자가 되어야 한다는 포괄적인 조치를 취했다. 하지만 오픈 세트를 추가할 수는 없었다. 앞으로 나아가는 길은 그렇지 않았다.
토포스의 정의는 처음에는 다소 비스듬히 나타나거나 1960년경에 나타났다. 대수 기하학에서 이른바 '도전'의 일반적인 문제를 고려하였는데, 이때 기초 집단이 대수 기하학 설정(프로 마무리 집단으로)으로 일반화되었다. 후기 작품(c. 1970년)에 비추어 볼 때, 'descent'는 코모나드 이론의 일부분이다; 여기서 우리는 그로텐디크 학교가 '순수한' 범주 이론가들과 접근하면서 분기하는 한 가지 방법을 볼 수 있는데, 이것은 토포스 개념이 나중에 어떻게 취급되었는가를 이해하는 데 중요한 주제다.
아마도 좀 더 직접적인 경로가 있었을 것이다: 아벨 범주 개념은 그로텐디크가 호몰로지 대수학에 관한 기초 연구, 아벨 그룹과 모듈들의 범주들을 통일하기 위해 도입했다. 아벨의 범주는 특정 범주-이론적 운영 하에서 폐쇄되어야 한다. 이러한 종류의 정의를 사용함으로써, 관련 대상의 본질에 대해서는 전혀 말하지 않고 전적으로 구조에 초점을 맞출 수 있다. 이러한 유형의 정의는 1930년대의 격자 개념으로 한 줄로 거슬러 올라갈 수 있다. 그것은 1957년경, 그로텐디크의 작품(Tôhoku paper)에 의해 소분된 아벨리아 집단들의 집합 범주의 순전히 범주의 이론적 특성화를 위해 물어볼 수 있는 가능한 질문이었다.
토포스의 그러한 정의는 결국 5년 후인 1962년경에 그로텐디크와 베르디에에 의해 주어졌다(베르디에의 니콜라스 부르바키 세미나 분석 시투스 참조). 특성화는 '충분한 콜리미트를 가진' 범주에 의해 이루어졌으며, 현재 그로텐디크 토포스라고 불리는 것에 적용되었다. 그 이론은 그르텐디크 토폴로지가 그르텐디크 토폴로지를 포함했기 때문에 이제 그르텐디크 토폴로지가 확장된 의미를 갖게 된 셰브스의 범주라는 것을 확립함으로써 반올림되었다.
그로텐디크 위상(현장으로도 알려져 있다)의 생각은 존 테이트에 의해 리만 표면의 두 감각에 대한 대담한 말장난으로 특징지어져 왔다.[citation needed] 기술적으로 말하면, 그것은 (플랫 코호몰로지 및 결정 코호몰로지 같은 다른 정제된 이론뿐만 아니라) 추구하는 에테일 코호몰로지(etale cohomology)의 건설을 가능하게 했다. 이 시점, 즉 약 1964년에 대수적 기하학에 의해 동력이 된 개발은 대부분 진로를 달려왔다. '오픈 세트' 논의는 다양성이 (일반적인) 자리스키 오픈 세트들의 미표시 커버에 오픈 세트가 충분히 풍부하다는 결론에 효과적으로 요약되어 있었다.
순수 범주 이론에서 범주형 논리까지
현재 topos의 정의는 William Lawvere와 Myles Tierney로 거슬러 올라간다. 시점은 위에서 설명한 것부터 밀접하게 이어지는 반면, 역사의 문제로서 태도는 다르며, 정의는 더욱 포괄적이다. 즉, 그로텐디크 토포스가 아닌 토포즈의 예가 있다. 게다가, 이것들은 많은 논리적인 학문들에 흥미가 있을지도 모른다.
로베리와 티어니의 정의는 하위 객체 분류기의 topos 이론에서 중심적 역할을 선택한다. 일반적인 집합 범주에서 이것은 참과 거짓의 부울 진실 값의 2요소 집합이다. 주어진 집합 X의 하위 집합이 주어진 2요소 집합에 대한 X의 함수들과 동일하다고 말하는 것은 거의 설득력이 있다. 즉, '첫 번째' 요소를 고정하고 하위 집합 Y를 거기서 Y를 보내고 그 보완물을 다른 요소에 보내는 함수에 대응하도록 하는 것이다.
이제 피복 이론에서 하위 개체 분류자를 찾을 수 있다. 그럼에도 불구하고, 확실히 더 추상적으로, 위상학적 공간 X의 경우, X의 모든 세트 조각과 관련하여 그 역할을 하는 X의 피복에 대한 직접적인 설명이 있다. X의 개방형 서브셋에 대한 그것의 세트는 단지 U의 오픈 서브셋일 뿐이다. 그 때문에, 그것의 피와 관련된 공간은 설명하기가 더 어렵다.
따라서 Lawvery와 Tierney는 하위 객체 분류자를 가정한 topos와 일부 제한 조건(적어도 데카르트-폐쇄 범주를 만들기 위해)에 대한 공리를 공식화했다. 한동안 이 토포들의 개념은 '초등 토포'라고 불렸다.
일단 논리와의 연결에 대한 생각이 공식화되자, 새로운 이론을 '테스트'하는 몇 가지 발전이 있었다.
- Paul Cohen의 강요 방법에 의한 선택 공리와 연속 가설의 독립성의 증명에 해당하는 집합 이론의 모델들.
- Kripke 의미론, 직관적 실존적 계량기 및 직관적 유형 이론과의 연관성 인정.
- 이것들을 결합하고, 실수의 직감적 이론에 대한 논의, sheaf 모델에 의한.
토포스 이론의 위치
데이비드 힐버트의 장거리 프로그램 추진 과정에서 직관적 논리의 중심 사상의 자연스러운 터전이 발견되었다는 아이러니가 있었다. 힐버트는 L. E. J. 브루워의 학교를 혐오했었다. 이제 크립케-조이알 의미론이라는 이름으로 통하는 피복적 의미에서의 '로컬' 존재는 좋은 짝을 이룬다. 반면에 브루워가 '종'에 대한 오랜 노력은, 그가 현실의 직감론이라고 불렀듯이, 아마도 어떤 면에서는 역사 너머의 지위를 빼앗기고 부수적인 것으로 추정된다. 각 토포에는 실수에 대한 이론이 있고, 그래서 아무도 직감론 이론을 마스터하지 않는다.
Etale cohomology에 대한 후기 연구는 전체적이고 일반적인 topos 이론이 필요하지 않다는 것을 암시하는 경향이 있다. 한편, 다른 사이트도 이용되고 있으며, 그로텐디크 토포스는 호몰로지 대수학 내에서 그 자리를 차지했다.
로베레 프로그램은 범주 이론의 측면에서 고차원의 논리를 쓰는 것이었다. 이것을 깨끗하게 할 수 있다는 것은 요아힘 람베크와 P. J. 스콧의 서적 처리로 알 수 있다. 결과는 본질적으로 직감론적(즉, 건설적 논리학) 이론이며, 그 내용은 자유 토포들의 존재에 의해 명확해지고 있다. 그것은 넓은 의미에서 정해진 이론이지만, 또한 순수한 구문의 영역에 속하는 것이기도 하다. 그것의 하위 객체 분류기에 있는 구조는 헤이팅 대수학의 그것이다. 좀 더 고전적인 세트 이론을 얻기 위해서, 사람들은 단지 두 개의 진리 값을 가진 사람들을 대상으로 부울 대수학, 또는 더 나아가 전문화된 상층부를 살펴볼 수 있다. 그 책에서, 이야기는 건설적인 수학에 관한 것이지만, 사실 이것은 기초적인 컴퓨터 과학으로 읽힐 수 있다. 함수의 이미지(범위)의 형성과 같은 설정-이론적 연산을 논의하고자 한다면, 토포스는 이것을 전적으로 건설적으로 표현할 수 있다고 보장한다.
그것은 또한 의미 없는 토폴로지에서 더 접근하기 쉬운 스핀오프를 생성했는데, 로케일 개념은 토포스를 위상학적 공간의 중요한 발전으로 취급함으로써 발견된 일부 통찰력을 분리한다. 슬로건은 '점수는 나중에 온다'는 것이다: 이것은 이 페이지에 완전한 논의를 가져온다. 컴퓨터 과학 분야 '확장성에 관한 논문'의 지도자에 의해 불려온 피터 존스톤의 스톤 스페이스에 그 관점이 기록되어 있다. 그 확장성은 수학에서 주변적인 것으로 취급된다. 그것은 수학자들이 정말로 어떤 이론을 가질 것으로 기대하는 것이 아니다. 아마도 이것이 토포스 이론이 이상한 것으로 취급된 이유일 것이다; 그것은 전통적인 기하학적인 사고방식이 허용하는 것을 넘어선다. 정형화되지 않은 람다 미적분학 같은 철저한 강렬 이론의 필요성은 변절적 의미론에서 충족되었다. 토포스 이론은 오랫동안 이 분야에서 가능한 '마스터 이론'처럼 보였다.
요약
토포스 개념은 범주형 연산을 통해 피복 개념과 폐쇄 개념을 결합한 결과로 대수 기하학에서 생겨났다. 그것은 코호몰로지 이론에서 확실한 역할을 한다. '킬러 적용'은 에탈 코호몰로지(etal cohomology)이다.
논리학과 관련된 이후의 발전은 더 학제간이다. 그것들은 호모토피 이론에 그려진 예시들을 포함한다. 그것들은 범주 이론과 수학적 논리 사이의 연계를 포함하며, 또한 유형 이론에 기초한 이론 컴퓨터 과학과 범주 이론 사이의 (조직적 높은 논의로서)도 포함한다. 개념의 편재성에 대한 선더스 맥 레인의 일반적인 관점을 부여하면, 이것은 그들에게 확실한 지위를 준다. 수학에서 토포즈를 통일교로 사용한 것은 올리비아 카라멜로가 2017년 저서에서 개척한 것이다.[1]
