웨일 추측

수학에서 Weil 추측은 André Weil(1949년)의 매우 영향력 있는 제안이었다.그들은 그것들을 증명하기 위한 성공적인 멀티 디케이드 프로그램으로 이어졌고, 이 프로그램에서 많은 선도적인 연구자들이 현대 대수 기하학과 숫자 이론의 틀을 개발했다.

이 추측들은 유한한 분야에 대한 대수적 변종들의 점수에 대한 계산에서 도출된 생성 함수(로컬 제타 함수라고 알려져 있다)에 관한 것이다.q 요소를 가진 유한한 필드 위의 품종 V는 (원래 필드의 좌표를 가진) 합리적 지점의 수가 한정되어 있을 뿐 아니라, 원래의 필드의 어떤 유한한 확장에도 좌표가 있는 지점을 가지고 있다.생성함수는 q^k 원소가 있는 확장 필드 위에 있는 점의 숫자_k N에서 도출된 계수를 가지고 있다.

Weil은 원활한 품종을 위한 이러한 제타 기능은 합리적인 기능이며, 특정한 기능 방정식을 만족시키며, 제한된 장소에 그들의 0을 가지고 있다고 추측했다.마지막 두 부분은 리만 제타 함수를 상당히 의식적으로 모델링했는데, 이는 기능 방정식을 준수하고 (컨벤션적으로) 리만 가설로 제한되는 0을 갖는 원시 정수의 생성 함수의 일종이다.합리성은 베르나르 드워크(1960), 기능 방정식은 알렉산더 그로텐디크(1965), 리만 가설의 아날로그는 피에르 들랭(1974)에 의해 증명되었다.

배경과 역사

웨일 추측의 가장 초기 선행자는 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의한 것으로, 단결과 가우스 시대의 뿌리에 관계된 그의 Discquisitiones Mathanae(마주르 1974년) 7절에 등장한다.제358조에서, 그는 2차 확장의 탑을 쌓는 기간에서 일반 다각형의 건설을 위해 이동하며, p가 1모듈로 3에 해당하는 소수라고 가정한다.그 다음, 통일의 pth 뿌리의 사이클로토믹 필드 내부에 순환 입방체 장이 있고, 이 필드의 정수에 대한 기간의 정규 적분 기초(힐버트-스피저 정리의 예)가 있다.가우스는 곱하기 아래 0이 아닌 잔류물 modulo p의 주기 그룹(Z/pZ)^×과 그 고유한 지수 3의 부분군에 해당하는 순서-3 주기를 구성한다.가우스는 $R{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfak {R$ $R{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}${$${\$displaystyle {\mathfak {R$ $R{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}${$${\$displaystyle {\mathfak {R}}$을(를) 코세트가 되게$$ 한다.exp(2πi/p)에 적용되는 이 코스메트에 해당하는 기간(통합의 뿌리의 합계)을 취하면서, 그는 이 기간들이 계산에 접근할 수 있는 곱셈표를 가지고 있다고 언급한다.생산물은 기간의 선형 결합이며, 그는 계수를 결정한다.He sets, for example, ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$ equal to the number of elements of Z/pZ which are in ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ and which, after being increased by one, are also in ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$. He proves that this number and related ones are the coe당대 생산품의 변종위일 추측에 대한 이러한 집합의 관계를 보려면, α와 α + 1이 모두 $R{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak{R$에 있으면 Z/pZ에³ x와 y가 존재하며, 그³ 결과 x = α와³ y = α + 1 = y가³ 된다.따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathfrak{}}$ ${\displaystyle R\mathfrak{}}$) ${\displaystyle({\mathfrak{R}{\mathfrak{R}})$은 유한장 Z/pZ에서 x³ + 1 = y에³ 대한 솔루션 수입니다.다른 계수는 비슷한 해석을 가지고 있다.따라서 해당 기간의 생산물 계수에 대한 가우스의 결정은 이러한 타원곡선의 점 수를 계수하며, 부산물로서 리만 가설의 유사성을 증명한다.

대수곡선의 특수한 경우에서 위일의 추측은 에밀 아르틴(1924년)에 의해 추측되었다.유한분야에 걸친 곡선의 경우는 유한분야에 걸친 타원곡선에 대한 하세의 정리로 시작된 프로젝트를 마무리하면서 Weil에 의해 증명되었다.그들의 관심은 수치이론 내에서 충분히 명백했다: 그들은 지수합에 대한 상한을 암시했고, 분석적 수치이론 (Moreno 2001) harv 오류의 기본 관심사: 목표가 없다: CITREFMoreno2001 (도움말)

다른 수학적 영역의 관점에서 정말로 눈길을 끌었던 것은 대수학적 위상과의 연계 제안이었다.유한한 장은 자연에 별개의 것이며, 위상은 연속적인 것에 대해서만 말하고 있다는 점을 감안하면, 위일의 상세한 공식화(일부 사례의 작성에 기초함)는 놀랍고 참신했다.유한 분야에 걸친 기하학은 베티 수, 렙체츠 고정점 정리 등과 관련된 잘 알려진 패턴에 적합해야 한다고 제안했다.

위상과의 유추에서는 대수 기하학 내에 적용하여 새로운 호몰로지 이론을 설정할 것을 제안했다.이것은 세레로부터 처음 제안받은 것에 대해 20년이 걸렸다.추측의 합리성 부분은 p-adic 방법을 사용하여 베르나르 드워크(1960년)에 의해 먼저 증명되었다.그로텐디크(1965)와 그의 협력자들은 그로텐디크(1960년)에서 설명한 바와 같이 웨일 추측을 공격하기 위해 그로텐디크와 마이클 아르틴이 개발한 새로운 코호몰로지 이론인 에탈 코호몰로지(Etale cohomology)의 특성을 이용하여 합리성 추측, 기능 방정식, 베티 숫자에 대한 연계를 확립했다.네 가지 추측 중에서 리만 가설의 아날로그가 가장 입증하기 어려웠다.켈러 다지관에 대한 웨일 추측의 아날로그에 대한 세레(1960)의 증거에 의해 동기 부여된 그로텐디크는 대수 사이클에 대한 그의 표준 추측에 근거한 증거를 구상했다(Kleiman 1968).그러나 그로텐디크의 표준 추측은 열려 있으며(웨일 추측에 관한 연구를 연장하여 델랭에 의해 증명된 하드 렙체츠 정리를 제외하고), 리만 가설의 아날로그는 델랭에 의해 증명되었는데, 에테일 코호몰로지 이론을 사용하면서도 기발한 기발한 방법으로 표준 추측의 사용을 회피하였다.알가미

델랭(1980)은 칼집의 푸시포워드의 무게를 묶어 웨일 추측의 일반화를 찾아 증명했다.

웨일 추측성명

X가 q 원소가 있는 필드 F에_q 걸쳐 비노래 n차원 투영 대수적 품종이라고 가정해 보자.X의 제타 함수 ζ(X, s)는 정의에 의한 것이다.

${\displaystyle \제타(X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\inflit }{\frac{N_}}{m}}}{m}q^{-ms}\right)}}$

여기서 N은_m F의_q m 확장자 F에_q^m 대해 정의된 X의 점 수입니다.

Weil 추측에 따르면 다음과 같다.

1. (합리성) ζ(X, s)은 T = q의^−s 합리적인 함수로서, 보다 정밀하게 ζ(X, s)은 유한 교번제품으로 표기할 수 있다.

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

여기서 각 P_i(T)는 일체형 다항식이다.더욱이 P₀(T) = 1 - T, P_2n(T) = 1 - qTⁿ, 1 ≤ i ≤ 2n - 1, C에 대한 P_i(T) 인자는$$α j ( ${\displaystyle \underset{}{1}}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)로, {\$displaystyle \prod \{j}(1-\alpha _{ij}T)$로 일부 α_ij.

2. (기능방정식과 푸앵카레 이중성)제타 함수가 충족됨

${\displaystyle \제타(X,n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\제타(X,s)}$

또는 동등하게

${\displaystyle \제타(X,q^{-n}T^{-1}=\pm q^{\frac{nE}{2}}T^{E}\제타(X,T)}$

여기서 E는 X의 오일러 특성이다.특히 각 i에 대해 숫자 α_2n−i,1, α_2n−i,2, ...는 어떤 순서로 숫자 qⁿ_i,1/α, qⁿ/α와_i,2 동일하다.

3. (리만 가설) α_i,j = q^i/2 모든 1 i i 2 2n - 1 및 모든 j에 대한 α = q.이는 P_k(T)의 모든 0이 실제 부분 k/2와 함께 복합수 s의 "임계선"에 놓여 있음을 의미한다.

4. (베티 숫자) X가 복잡한 숫자 영역에 내장된 숫자 필드 위에 정의된 비노래 투사형 다양성 Y의 (좋은) "축소모드 p"인 경우_i, P의 정도는 Y의 복잡한 점 공간의^th i 베티 숫자다.

예

투영선

가장 간단한 예(점 이외의 예)는 X를 투영 선으로 삼는 것이다.q^m 요소가 있는 필드 위의 X의 점 수는_m N = q^m + 1에 불과하다(여기서 "+ 1"은 "infinity at point"에서 나온다.제타 기능은 단지

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s).

웨일 추측의 모든 부분을 직접 확인하기는 쉽다.예를 들어 해당 복합 품종은 리만 구체이며 초기 베티 번호는 1, 0, 1이다.

투영 공간

n차원 투영 공간을 하는 것은 그리 어렵지 않다.q^m 요소가 있는 필드 위의 X의 점수는 N_m = 1 + q^m + q^2m + q + + + q에^nm 불과하다.제타 기능은 단지

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s)(1 − q^2−s)⋯(1 − q^n−s).

웨일 추측의 모든 부분을 직접 확인하는 것은 다시 쉽다.(복잡한 투사 공간은 관련 베티 번호를 부여해 답을 거의 결정하게 한다.)

투사선과 투사공간의 점수는 한정된 수의 부속공간의 불연속조합으로 작성할 수 있기 때문에 계산하기가 매우 쉽다.또한 같은 '포장' 성질을 가진 그라스만족이나 국기 품종 등 다른 공간에 대한 웨일 추측을 입증하는 것도 쉽다.

타원 곡선

이것들은 웨일 추측의 첫 번째 비견례(하세가 증명했다.E가 q 원소가 있는 유한장 위의 타원곡선인 경우, q^m 원소가 있는 필드 위에 정의된 E의 점수는 1 - α^m - β^m + q이며^m, 여기서 α와 β는 절대값 √q를 가진 복합 결합물이다.제타함수는

ζ(E, s)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.Parser-output .sr-onlyᆭ(1− αq−s)(1− βq−s)(1− q−s)(1− q1−s).

웨일 코호몰로지

Weil은 이러한 추측이 한정된 분야에 걸친 품종에 적합한 "Weil cohomology 이론"의 존재에서 비롯될 것이라고 제안했는데, 이는 복잡한 품종에 대한 합리적인 계수를 가진 일반적인 공동학 이론과 유사하다.그의 생각은 F가 유한한 분야에 대한 프로베니우스 오토모피즘이라면 순서 q의^m 분야에 걸친 품종 X의 점수는 F의^m 고정점수(대수학적 폐쇄에 대해 정의된 품종 X의 모든 점에 작용)라는 것이었다.대수적 위상에서 자동형성의 고정점 수는 렙체츠 고정점 정리를 사용하여 계산할 수 있으며, 코호몰로지 그룹에 대한 추적의 교대 합으로 주어진다.따라서 유한한 분야에 걸쳐 변종들에 대한 유사한 코호몰로지 그룹이 있다면, 제타 함수는 그것들의 관점에서 표현될 수 있을 것이다.

이것의 첫 번째 문제는 Weil cohomology 이론의 계수장이 합리적인 숫자가 될 수 없다는 것이다.이를 보려면 특성 p의 유한한 필드 위에 있는 대칭 타원곡선의 경우를 고려한다.이것의 내형성 링은 이성들에 대한 쿼터니온 대수학의 순서로서, 복잡한 타원곡선의 경우와 유사하게 계수장 위에 2차원 벡터 공간이 되어야 하는 첫 번째 코호몰로지 그룹에 작용해야 한다.그러나 이성들에 대한 쿼터니온 대수학은 이성들에 대한 2차원 벡터 공간에 작용하지 못한다.쿼터니온 대수학은 여전히 이들 분야에 대한 분할 대수이기 때문에 동일한 주장은 계수장이 실제 또는 p-adic 숫자들이 될 가능성을 없앤다.단, 이러한 분야에 걸쳐 분할 대수는 2차원 벡터 공간에서 작용할 수 있는 행렬 대수학(matrix ≠ p)이 되어 분열 대수학(matrix 대수학)이 되기 때문에 계수장이 일부 소수 l-adic number의 필드일 가능성을 제거하지는 않는다.그로텐디크와 마이클 아틴은 l-adic 코호몰로지라고 불리는 각각의 prime l ≠ p에 대해 l-adic 숫자 분야에 적합한 코호몰로지 이론을 가까스로 구축했다.

네 가지 추측 중 세 가지에 대한 그로텐디크의 증거

1964년 말까지 그로텐디크(Grotendieck)는 아르틴, 장루이 베르디에(및 드워크의 1960년 초작)와 함께 위 ("리만 가설") 추측과는 별개로 웨일 추측을 증명했다(Grotendieck 1965).étal cohomology에 대한 일반적인 이론은 그로텐디크가 l-adic cohomology 이론에 대한 Lefschez 고정점 공식의 아날로그를 증명할 수 있도록 허용했고, 그것을 프로베니우스 오토모프리즘 F에 적용함으로써 그는 제타함수에 대한 추측 공식을 다음과 같이 증명할 수 있었다.

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}}$

여기서 각 다항식 P는_i l-adic 코호몰로지 그룹 H에ⁱ 대한 I - TF의 결정 요인이다.

제타함수의 합리성은 곧바로 뒤따른다.제타함수에 대한 함수 방정식은 l-adic 코호몰로지(l-adic cohomology)에 대한 푸앵카레 이중성에서 따르며, 리프트의 복잡한 베티 수와의 관계는 복합 변종에 대한 l-adic과 일반 코호몰로지(l-adic cohomology)의 비교 정리에서 따르게 된다.

보다 일반적으로 Grotendiek은 sheaf F₀:의 제타 함수(또는 "일반화된 L-기능")와 유사한 공식을 증명했다.

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in X_{0}}}\det(1-F_{x}^{*t^{\deg(x)}F_{0}^{1}:{-1}$

코호몰로지 그룹에 대한 제품:

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*t H_{c}^{i}(F)^{{(1)^{i+1}}}}}}}}$

상수 피복의 특별한 경우는 일반적인 제타 기능을 제공한다.

리만 가설 추측에 대한 델랭의 첫 번째 증거

베르디에 (1974년), 세레 (1975년), 카츠 (1976년), 프리타그 & 키엘 (1988년)은 델리뉴 (1974년)의 첫 번째 증거에 대한 설명서를 주었다.l-adic cohomology의 많은 배경은 (Deligne 1977)에 설명되어 있다.

나머지 세 번째 웨일 추측(리만 가설 추측)에 대한 델랭의 첫 번째 증거는 다음과 같은 단계를 사용했다.

렙셰츠 연필 사용

• 그로 텐디크, 그래서 유한한 밭에q 요소와d-dimensional 다양한 V의 바일 억측이 프로베니우스의 eigenvalues α은ithl-adic cohomology 그룹에 작용하는 Hi(V)V의 절대 값을 가지고 있는 상영에 의존한다 프로베니우스의l-adic cohomology 그룹 추적의 측면에서 제타 함수를 표명한던 1가지 이슈 때문이었습니다(에 α =qi/2.의복잡한_l 숫자에 대한 Q의 대수적 요소들).
• V를 폭파하고 염기장을 확장한 후, V 품종이 매우 순한(양수) 특이점을 가진 단수 섬유의 한정된 수로 투사선 P에¹ 형태론을 가지고 있다고 가정할 수 있다.렙슈츠(1924년)에 의해 복합품종(및 일반 코호몰로지)에 도입되어 그로텐디크(1972년)와 델리뉴&카츠(1973년)가 l-adic 코호몰로지(l-adic cohomology)로 확장한 렙슈츠 연필의 모노드로미 이론은 V의 코호몰로지(chomology)를 그 섬유와 연관시킨다.관계는 단수 섬유에서 사라지는 등급에 의해 확장되는 비가수 섬유 V의_x 코호몰로지 H^d−1(V_x)의 하위 공간인 소멸 주기의 공간 E에_x 따라 달라진다.
• Leray 스펙트럼 시퀀스는 V의 중간 코호몰로지 그룹을 섬유와 베이스의 코호몰로지(cohomology)와 연관시킨다.다루기 어려운 부분은 어느 정도 그룹¹ H(P¹, jE_*) = H¹
  _c(U,E)로 여기서 U는 비음속 섬유가 있는 투영선이고, j는 U를 투영선에 포함하는 것이고, E는 소멸 주기의 공간 E가_x 있는 섬유를 가진 피복이다.

주요 추정치

델리뉴의 증거의 핵심은 U에 대한 sheaf E가 순수하다는 것을 보여주는 것으로, 다시 말해 프로베니우스의 고유값의 절대값을 그 줄기에서 찾아내는 것이다.E의 짝수 파워 E의^k 제타 기능을 연구하고, 제타 기능에 대한 그로텐디크의 공식을 코호몰로지 그룹 위에 교대로 적용함으로써 이루어진다.E의 k권력까지도 고려하는 결정적인 발상은 라마누잔 타우 함수를 경계하는 데 k=2와 유사한 생각을 사용한 신문 랭킨(1939)에서 영감을 받았다.랭글랜드(1970, 섹션 8)는 k의 고른 값에 대한 랭킨의 결과를 일반화하면 라마누잔 추측을 암시할 수 있다고 지적했고, 딜랭은 품종의 제타함수의 경우 그로텐디크의 제타함수 이론이 이러한 일반화의 아날로그를 제공한다는 것을 깨달았다.

• E의^k 제타함수의 극은 그로텐디크의 공식을 이용하여 발견된다.

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T H_{c}^{1}(E^{k}))}{{\det(1-F^{*}T H_{c}^{0}(E^{k})\det(1-F^{0})(*}T H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

분모에서 코호몰로지 그룹을 명시적으로 계산한다.일반적으로⁰
_c U가 콤팩트하지 않기 때문에 H 용어는 대개 1에 불과하며 H는²
_c 다음과 같이 명시적으로 계산할 수 있다.푸앵카레 이중성은 H²
_c^k(E^k)와 H⁰
(E^k)를 연관시키고, 이는 한 점에서 E 섬유에 작용하는 U의 기하학적 기본 그룹인 모노드로미 그룹의 공변량 공간이다.E의 섬유는 컵 제품에 의해 유도된 이선형 형태를 가지고 있는데, d가 짝수라면 대칭성이며, E를 공동의 공간으로 만든다.(이것은 약간 부정확하다.Deligne는 나중에 하드 렙체츠 정리를 사용함으로써 E^⊥ =E = 0이라는 것을 보여주었는데, 이것은 Weil 추측을 필요로 하며, Weil 추측의 증거는 정말로 E가 아닌 E/EeE로^⊥ 약간 더 복잡한 주장을 사용해야 한다.)카즈단(Kazhdan)과 마굴리스(Magulis)의 주장은 피카르-레프체츠(Picard-Lefschz) 공식에 의해 E에 작용하는 모노드로미(monodromy) 집단의 이미지가 동조 집단에서 자리스키(Zariski) 밀도(Zariski)이며 따라서 고전 불변성 이론에서 잘 알려져 있다.이 계산에서 프로베니우스의 작용을 추적해 보면 그 고유값이 모두 q이므로^k(d−1)/2+1 Z(E^k,T)의 제타함수는 T=1/q에서만^k(d−1)/2+1 극을 가진다.

• E의^k 제타 기능을 위한 오일러 제품은

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k}T)}}}}}}}$

k가 짝수일 경우 우측의 모든 요인 계수(T에서 권력 계열로 간주됨)는 음수가 아니다. 이는 다음과 같이 기록한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}}F_{x} E^{k}}}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}}}{n}}}}{\text{Trace}}}}(F_{x}^{n}E)^{k}\rig)}}}}}}}}$

그리고 F의 힘의 흔적이 이성적이기 때문에 그들의 k의 힘은 짝수인 것처럼 부정적이 아니라는 사실을 이용하는 것이다.델리뉴는 항상 (합리적인) 정수인 품종 포인트의 수와 연관시켜 추적의 합리성을 증명한다.

• Z(E^k, T)에 대한 파워 시리즈는 유일한 극의 1/q보다 작은^k(d−1)/2+1 T에 대해 수렴한다.k가 모든 오일러 인자의 계수일 때도 음수가 아니므로 오일러 인자는 각각 Z(E^k, T) 계수의 일정한 곱에 의해 경계된 계수를 가지므로 동일한 영역에 수렴하여 이 영역에 극이 없다.그래서 k의 경우라도 다항식 Z(E^k
  _x, T)는 이 지역에 0이 없거나, 다시 말해 E의^k 줄기에 있는 프로베니우스의 고유값은 최대 q의^k(d−1)/2+1 절대값을 갖는다.
• 이 추정치는 다음과 같이 E의 섬유에서 프로베니우스의 고유값 α의 절대값을 찾는 데 사용할 수 있다.어떤 정수 k에 대해서도 α는^k E의^k 줄기에 있는 프로베니우스의 고유값으로, k에 대해서도 q로^1+k(d−1)/2 경계를 한다.그래서

${\displaystyle \cHB ^{k} \leq q^{k(d-1)/2+1}$

이것은 임의로 큰 짝수 k에 해당하므로, 이것은 다음을 함축하고 있다.

$\displaystyle \req q^{(d-1)/2}.}$

푸앵카레 이중성은 다음과 같은 의미를 내포하고 있다.

${\displaystyle \cHB =q^{(d-1)/2}.}$

증빙서류완료

이 추정치에서 리만 가설을 추론하는 것은 대부분 표준 기법의 상당히 간단한 사용이며 다음과 같이 행해진다.

• H¹
  _c(U,E)에 있는 프로베니우스의 고유값은 이제 셰프 E의 제타함수의 0이기 때문에 추정할 수 있다.이 제타함수는 E의 줄기의 제타함수의 오일러 제품으로 표기할 수 있으며, 이 줄기의 고유값에 대한 추정치를 사용하면 이 제품이 T <q^−d/2−1/2>로 수렴하여 이 부위에 제타함수의 0이 존재하지 않음을 알 수 있다.이는 E에 대한 프로베니우스의 고유값이 최대 q라는^d/2+1/2 것을 암시한다(사실 그들은 정확히 q의^d/2 절대값을 가지고 있다는 것을 곧 알게 될 것이다).이 논쟁의 단계는 그것을 오일러 제품으로 적음으로써 리만 제타 함수에 실제 부분이 1보다 큰 0이 없다는 일반적인 증거와 매우 유사하다.
• 그 결론은 중간 코호몰로지 그룹에 있는 다양한 짝수차원 d의 프로베니우스의 고유값 α가 만족한다는 것이다.

${\displaystyle \req q^{d/2+1/2}}$

리만 가설을 얻으려면 지수의 1/2을 제거해야 한다.이것은 다음과 같이 할 수 있다.이 추정치를 V의 고른 힘 V에^k 적용하고 귄네스 공식을 사용하는 것은 모든 차원의 다양한 V의 중간 공동체에 프로베니우스의 고유값이 만족함을 보여준다.

${\displaystyle \cHB ^{k} \leq q^{kd/2+1/2}}$

이것은 임의로 큰 짝수 k에 해당하므로, 이것은 다음을 함축하고 있다.

${\displaystyle \req q^{d/2}}$

푸앵카레 이중성은 다음과 같은 의미를 내포하고 있다.

${\displaystyle \cHB =q^{d/2}.}$

• 이것은 다양한 종류의 중간 코호몰리에 대한 Weil 추측을 증명한다.중간 치수 아래의 코호몰리학에 대한 웨일 추측은 약한 렙체츠 정리를 적용함으로써 이로부터 따르며, 중간 치수 이상의 코호몰리학에 대한 추측은 푸앵카레 이중성에서 따르게 된다.

들랭이의 두 번째 증거

델랭(1980)은 칼집의 푸시포워드의 무게를 묶어 웨일 추측의 일반화를 찾아 증명했다.실제로 하드 렙체츠 정리처럼 응용에 주로 쓰이는 것은 원래의 웨일 추측보다는 이러한 일반화다.두 번째 증거의 대부분은 그의 첫 번째 증거에 대한 생각을 재정렬하는 것이다.주요 추가 아이디어는 자크 하다마르와 샤를 장 드 라 바예 푸신의 정리와 밀접하게 관련된 주장인데, 델랭이 다양한 L 시리즈가 실제 파트 1을 가진 0을 가지고 있지 않다는 것을 보여주기 위해 사용한다.

유한장위에 걸친 다양성의 구성성 피복은 모든 점 x x에서 프로베니우스의 고유값이 모두 절대값 N(x)을 갖는 경우 β의 순수 중량이라고 하며,^β/2 β를 가중치 β를 가진 순수 피복에 의해 반복적인 확장으로 쓰일 수 있다면 중량 β의 혼합이라고 한다.

Deligne의 정리에서는 f가 유한장 위에 걸쳐 유한형의 계략의 형태론이라면, rf는ⁱ_! 중량 ββ의 혼합 덩어리들을 ≤β+i의 혼합 덩어리들로 가져간다고 기술하고 있다.

원래의 Weil 추측은 f를 부드러운 투영적 다양성으로부터 한 지점까지 형태론이라고 받아들이고, 그 다양성에 대한 일정한 sheaf Q를_l 고려함으로써 뒤따른다.이것은 프로베니우스의 고유값의 절대값의 상한을 주는데, 푸앵카레 이중성은 이 역시 하한이라는 것을 보여준다.

일반적으로 Rf는ⁱ_! 순수한 피복에 순수한 피복은 사용하지 않는다.그러나 적절한 형태의 푸앵카레 이중성이 유지될 때, 예를 들어 f가 매끄럽고 적절한지, 또는 베일린슨, 번스타인 & 델리뉴(1982)와 같이 깎기 보다는 삐뚤어진 깎기로 작업하는지를 말한다.

모스 이론에 대한 위튼(1982)의 연구에 영감을 받은 라오몬(1987)은 또 다른 증거를 발견했는데, 이 때문에 하다마드와 데 라 발레 푸신의 방법의 사용을 피함으로써 델리뉴의 증거를 단순화할 수 있었다.그의 증거는 푸리에 변환의 규범이 원래 함수의 규범과 단순한 관계를 가지고 있다는 사실을 이용하여 가우스 합계의 절대값의 고전적인 계산을 일반화한다.키엘&와이사우어(2001)는 라우몬의 증거를 딜랭의 정리를 설명하는 근거로 삼았다.카츠(2001)는 딜랭의 첫 번째 증거의 정신에 모노드로미를 사용하면서 라우몬의 증거를 더욱 단순화시켰다.케들라야(2006)는 에탈레 코호몰리를 강체 코호몰로지(hard cohomology)로 대체하면서 푸리에 변환을 사용한 또 다른 증거를 제시했다.

적용들

• 델랭(1980)은 웨일 추측에 대한 그의 두 번째 증거를 이용하여 유한한 분야에 대한 하드 렙체츠 정리를 증명할 수 있었다.
• Deligne(1971)는 이전에 라마누잔-피터슨 추측이 웨일 추측에서 나온다는 것을 보여주었다.
• Deligne(1974년, 섹션 8)는 Weil 추정을 지수 총량에 대한 추정치를 입증하기 위해 사용했다.
• 닉 카츠와 윌리엄 메싱(1974)은 딜랭의 웨일 추측 증거를 이용해 유한한 분야에 대한 귄네스형 표준 추측을 증명할 수 있었다.

참조

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