D-모듈

수학에서 D-모듈은 미분 연산자의 링 D 위에 있는 모듈이다.그러한 D-모듈의 주요 관심사는 선형 부분 미분 방정식 이론에 대한 접근법이다.1970년경부터 D-module 이론은 주로 대수학적 분석에 관한 사토 미키오의 사상에 대한 대응, 번스타인-사토 다항식에서의 사토와 조셉 번스타인의 저작에 대한 확대로 구축되었다.

초기 주요 결과는 가시와라 구성성 정리, 가시와라 마사키 지수 정리였다.D-module 이론의 방법들은 대수 기하학에서 알렉산더 그로텐디크의 작품에서 영감을 얻어 항상 sheaf 이론과 다른 기법들로부터 이끌어 왔다.이 접근방식은 성격이 글로벌하며, 전통적으로 미분산자를 연구하기 위해 사용되던 기능분석 기법과는 다르다.가장 강력한 결과는 과도하게 결정된 시스템(홀로닉 시스템)과 기호에 의해 차단된 특성 다양성에 대해 얻어지는데, 좋은 경우 최대 치수의 등가선다발(Involution 시스템)의 라그랑지안 하위 관리형이다.이 기술은 모든 차원에서 리만-힐버트 통신의 일반적이고 파생된 범주 버전을 얻은 조그만 멕크호트가 그로텐디크 학파의 측면에서 가져갔다.

소개: Weyl 대수 모듈

대수 D-모듈의 첫 번째 경우는 특성 0의 필드 K를 통한 Weyl 대수 A_n(K) 위의 모듈이다.다음 변수의 다항식으로 구성된 대수다.

x₁, ..., x_n, ∂₁, ..., ∂_n.

여기서 변수_i x와 ∂_j은 각각 서로 통근하고 x와_i ∂_j은 i ≠ j에 통근하지만, 정류자는 관계를 만족한다.

[∂,_i x_i] = ∂_ix_i - x_i∂_i = 1

모든 다항식 f(x₁, ..., x_n)에 대해, 이것은 관계를 암시한다.

[∂_i, f] = ∂f / ∂x_i,

따라서 Weyl 대수학과 미분 방정식을 연관시킨다.

(알지브레이크) D-모듈은 정의상 링 A_n(K) 위에 있는 좌측 모듈이다.D-modules을 위해 예는 바일(그 자체에 떠났다 곱셈에 의해 연기)은(가환)다항식 반지 K[x1,..., xn], 비슷한 맥락에서의 편미분 법에 의해 xj에 관해서 곱셈과∂j 행위들에 의하크시 행위나 그 반지 O(Cn){\displaystyle{{O\mathcal}}(\mathbf{C}^{n})}아래 포함한다.방학.C에ⁿ 대한 전형 함수(n 복합 변수의 함수)

일부 미분 연산자 P = a_n(x) ∂ⁿ + … + a₁(x) ∂¹ + a₀(x)를 고려할 때, 여기서 x는 복합 변수, a_i(x)는 다항식이며, 지수 모듈 M = A₁(C)/A₁(C)P는 미분 방정식의 해법 공간과 밀접하게 연결되어 있다.

P f = 0,

여기서 f는 C에서 어떤 홀로모르픽 함수라고 말한다.이 방정식의 해법으로 구성된 벡터 공간은 D-modules $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ m $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ ( $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ O $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ ( ( $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} ($ M, ${\mathcal {O})(\mathbf {C})}$ 의 동형상 공간에 의해 주어진다 $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$

대수품종 D-모듈

D-모듈의 일반 이론은 K = C와 같이 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 정의된 부드러운 대수적 다양성 X에 기초하여 개발된다.차동 연산자 D의_X 피복은 X의 벡터 필드에 의해 생성된 O-알지브라로_X 정의되며, 파생으로 해석된다.A (왼쪽) D-모듈_X M은 D의_X 좌측 작용이 있는 O-모듈이다_X.이러한 동작을 하는 것은 K-선형 지도를 지정하는 것과 같다.

\displaystyle \vola :D_{X}\오른쪽 화살표 \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}}

만족스러운

\fvla _{fv}(m)=f\,\fla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

(

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

=

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

( f

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

) m

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

+

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

v (

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

)

{\displaystyle \nabla

\nabla

_{v}(fm)=v(fm+f\),\nabla _{v}(m)}(

Leibniz rule)

\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}(m)

여기서 f는 X, v, w는 벡터장, m은 M의 국소 섹션, [-, -]는 정류자를 나타낸다.따라서 M이 국소적으로 자유로운 O-모듈을_X 추가로 제공하는 경우, M에 D-모듈 구조를 주는 것은 M과 관련된 벡터 번들을 평면(또는 통합 가능한) 연결로 장착하는 것과 다름없다.

링 D는_X 커밋이 아니기 때문에 왼쪽과 오른쪽 D-모듈을 구분해야 한다.단, 왼쪽 모듈 M을 텐서 제품 M ⊗ Ω에_X 매핑하여 두 모듈 사이에 범주의 등가성이 있으므로, 여기서 Ω은_X X의 차동 1-폼의 최고 외부 동력에 의해 주어지는 라인 번들이다.이 묶음은 다음에 의해 결정되는 자연적인 권리 작용을 가지고 있다.

Ω Ω v := - 눕기_v(Ω),

여기서 v는 순서 1의 차등 연산자, 즉 벡터 필드, Ω n-form(n = dim X), Lie는 Lie 파생상품을 나타낸다.

국소적으로 X의 접선 공간의 기초 ∂,₁ ..., ∂_n을 결정하는 X의 좌표계 x₁, ..., x_n (n = 딤 X)를 선택한 후 D의_X 단면을 표현으로 고유하게 나타낼 수 있다.

\sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}

, where the

f_{i_{1},\dots ,i_{n}}

are regular functions on X.

특히 X가 n차원 아핀 공간일 때 이 D는_X n변수의 Weyl 대수다.

D-모듈의 많은 기본적 특성은 국부적이며 일관적인 피복의 상황과 유사하다.이는 위에서 언급한_X O-basis가_X 보여주듯이 D는 무한한 계급이지만 국지적으로 자유로운 O-modules의_X 껍데기라는 사실에 근거를 두고 있다.O-모듈로서_X 일관성이 있는 D-모듈은_X 반드시 국소적으로 자유롭다는 것을 보여줄 수 있다.

교감성

서로 다른 대수적 변종에 대한 D-모듈은 일관성 있는 절단을 위한 풀백과 푸시포워드 functors에 의해 연결된다.지도 f: X → Y의 경우, 정의는 다음과 같다.

D_X→Y := O_X ⊗_{f⁻¹(O_Y)} f⁻¹(D_Y)

이것은 체인 룰을 모방하는 방식으로 왼쪽 D_X 동작과 f⁻¹(D_Y)의 자연스러운 오른쪽 동작으로 장착된다.풀백은 다음과 같이 정의된다.

f^∗(M) := D_X→Y ⊗_{f⁻¹(D_Y)} f⁻¹(M).

여기서 M은 왼쪽 D-모듈이고_Y, 풀백은 X보다 왼쪽 모듈이다.이 펑터는 정확하고 왼쪽에서 파생된 펑터는 Lf로^∗ 표시된다.반대로, 오른쪽 D-모듈_X N의 경우,

f_∗_X→Y(N) :=f_∗(N) ⊗_{D_X} D)

올바른 D-모듈이야_Y이것은 오른쪽 정확한 텐서 제품과 왼쪽의 정확한 푸시포워드를 혼합하기 때문에, 대신 설정하는 것이 일반적이다.

f_∗(N) :=Rf_∗(N)^L_{D_X} d_X→Y D.

이 때문에 D-modules 이론의 많은 부분이 특히 파생된 범주들, 호몰로지 대수학의 전권을 이용하여 개발된다.

홀로노믹스

Weyl 대수상의 홀노믹 모듈

웨일 대수학이 (좌우) 노에테리아 고리임을 알 수 있다.더구나 그것은 간단하다, 다시 말해서 그것의 양면적인 이상만이 제로 이상이며 전체 반지다.이러한 특성은 D-모듈 연구를 관리 가능하게 한다.특히 힐버트 다항식, 다중성 및 모듈의 길이와 같은 정류 대수에서 나온 표준 개념은 D-module로 이어진다.보다 정확히 말하면, D는_X 번스타인 여과, 즉 FA^p_n(^βK)가 α + β β p(다중 지수 표기법 사용)로 미분 연산자^α xlinear의 K-선형 조합으로 구성되도록 여과 장치를 갖추고 있다.연관된 그라데이션 링은 2n 인디테마나이트의 다항식 링과 이형성인 것으로 보인다.특히 그것은 상통적이다.

미세하게 생성된 D-modules M에는 FA^∗_n(K)와 호환되는 소위 "착한" 파일트레이닝^∗ FM이 부여되며, 기본적으로 Artin-Rees 보조정리 상황과 평행하다.Hilbert 다항식은 함수에 동의하는 숫자 다항식으로 정의된다.

n dim 딤_K FMⁿ

대 n의A_n(K)-모듈 M의 치수 d(M)는 Hilbert 다항식의 정도로 정의된다.그것은 번스타인의 불평등에 의해 제한된다.

n ≤ d(M) ≤ 2n.

치수가 가능한 최소값인 n을 얻는 모듈을 홀노믹스라고 한다.

A₁(K)-모듈 M = A₁(K)/A₁(K)P(위 참조)는 0이 아닌 차동 연산자 P에 대해 홀로노믹하지만, 고차원 Weyl 알헤브라에 대한 유사한 주장은 유지되지 않는다.

일반적 정의

위에서 언급했듯이, Weyl 대수 위에 있는 모듈은 부속 공간의 D-모듈에 해당한다.일반 품종 X의 경우 D에서_X 번스타인 여과가 제공되지 않는 것으로, D에_X 대한 순서의 여과 방법으로 임의로 매끄러운 품종 X에 대한 정의가 일반화되며, 미분 연산자의 순서에 의해 정의된다.관련 등급의 링 gr_X D는 등탄재 번들 TX의^∗ 정기적인 기능에 의해 주어진다.

특성 다양성은 gr M의 전멸기의 급진자에 의해 도려낸 등각재 번들의 하위 변종으로 정의되며, 여기서 다시 M은 적절한 여과(D의_X 순서 여과와 관련)를 갖추고 있다.평소와 같이 아핀 구조는 임의의 품종에 접착된다.

번스타인의 불평등은 어떤 (원만한) 품종 X에도 계속 유지되고 있다.상한은 위와 같은 gr D를_X 코탄젠트 번들 관점에서 해석한 즉각적인 결과인 반면 하한은 더욱 미묘하다.

속성 및 특성화

홀로노믹 모듈은 유한차원 벡터 공간처럼 작용하는 경향이 있다.예를 들어, 그들의 길이는 유한하다.또한, 복합 Li^∗(M)의 모든 코호몰로지 집단이 유한차원 K-벡터 공간인 경우에만 M은 홀노믹하며, 여기서 나는 X의 어떤 지점의 폐쇄된 몰입이다.

모든 D-모듈 M에 대해 듀얼 모듈은

\mathrm {D}(M):={\mathcal {R}\operatorname {Hom}(M,D_{X})\오메가_{X}^{-1}[\dim X].

Holonomic modules는 또한 동역학적 조건으로도 특징지어질 수 있다: M은 D(M)가 0도로 농축된 경우에만 Holonomic이다(D-modules 파생 범주에 있는 물체로 볼 수 있다.이 사실은 베르디에 이중성과 리만-힐버트 서신을 처음으로 엿볼 수 있는 것이다.일반 링(특히 글로벌 호몰로지 차원과 관련된 것)에 대한 호몰로지 연구를 여과된 링 D까지_X 확대함으로써 증명된다.

홀노믹 모듈의 또 다른 특성은 공통 기하학을 통해서이다.모든 D-module M의 특성 품종 Ch(M)는 비자발적 품종인 X의 등각 번들 TX의^∗ 하위 품종으로 간주된다.이 모듈은 Ch(M)가 Lagrangian일 경우에만 홀노믹이다.

적용들

Holonomic D-modules의 초기 적용 중 하나는 Bernstein-Sato 다항식이었다.

카즈단-루시그 추측

Kazhdan-Lusztig 추측은 D-modules를 사용하여 증명되었다.

리만-힐버트 통신

리만-힐버트간 서신은 특정 D-모듈과 시공 가능한 피복 사이의 연관성을 확립한다.그만큼 삐뚤어진 단을 소개하는 계기가 됐다.

기하표현 이론

D-모듈은 기하학적 표현 이론에도 적용된다.이 분야의 주요 결과는 베일린슨-번스타인의 현지화다.그것은 국기 변종 ${\mathfrak {g}}$ /B에 대한 D-모듈을 Rie 대수 g ${\$ 의 ${\mathfrak {g}}$ 표현과 연관시킨다. G. D-modules는 기하학적 랭글랜드 프로그램의 형성에 있어서도 중요하다.

참조

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Björk, J.-E. (1979), Rings of differential operators, North-Holland Mathematical Library, vol. 21, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85292-2, MR 0549189
Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan–Lusztig conjecture and holonomic systems", Inventiones Mathematicae, 64 (3): 387–410, doi:10.1007/BF01389272, ISSN 0020-9910, MR 0632980
Coutinho, S. C. (1995), A primer of algebraic D-modules, London Mathematical Society Student Texts, vol. 33, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55119-9, MR 1356713
Borel, Armand, ed. (1987), Algebraic D-Modules, Perspectives in Mathematics, vol. 2, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117740-9
M.G.M. van Doorn (2001) [1994], "D-module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory (PDF), Progress in Mathematics, vol. 236, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, archived from the original (PDF) on 2016-03-03, retrieved 2009-12-10

외부 링크

Bernstein, Joseph, Algebraic theory of D-modules (PDF)
Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF), archived from the original (PDF) on 2015-03-26, retrieved 2011-12-14
Milicic, Dragan, Lectures on the Algebraic Theory of D-Modules

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