이하라제타 함수

수학에서 이하라 제타함수는 유한 그래프와 연관된 제타함수다.셀버그 제타 기능과 매우 유사하며 닫힌 보행을 인접 행렬의 스펙트럼과 연관시키는 데 사용된다.이하라 제타 함수는 2x2 p-adic 특수 선형 집단의 이산 하위집단의 맥락에서 1960년대에 이하라 야스타카에 의해 처음 정의되었다.장-피에르 세레는 자신의 저서 '나무들'에서 이하라의 독창적인 정의를 그래프 이론적으로 재해석할 수 있다고 제안했다.1985년 이 제안을 실행에 옮긴 사람은 스나다 도시카즈였다.수나다가 관측한 바와 같이, 정규 그래프는 이하라 제타 함수가 리만 가설의 아날로그를 만족하는 경우에만 라마누잔 그래프다.^[1]

정의

이하라 제타 함수는 무한 제품의 분석적 지속으로 정의된다.

${\displaystyle \jeta _{G}\왼쪽(u\오른쪽)=\pod _{p}{p}{\frac {1}{1-u^{\mathrm{L}(p)}}}}}}}}}}}}$

정의에 있는 제품은 $그래프{\displaystyle }$G${\displaystyle }$= (${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle G=(V,E)}$의 모든 주요 닫힌 지오다이오드 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 인수하며, 여기서 주기 회전에 의해 차이가 나는 지오디지오드는 동등하다고 간주된다$.$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}($그래프 이론에서 "close walk"로 알려져 있음)$$의$$ 닫힌 $지오데틱{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $p$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, , , v ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaysty$ p$=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})$의 유한$$ 시퀀스다.

${\displaystyle(v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}\in E,}$

${\displaystyle v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod{k}}.}$

정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 $길이{\displaystyle }$ L$(p)$이다$.$ $지오데틱{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$은(는) $({\$displaystyle m > 1displaystyle m >$1)$에 대해 닫힌 지오데틱 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m$$}$을(를$)$ 반복하여 얻을 수 없는 경우 p {\displaysty.

이 그래프-이론적 공식은 수나다 때문이다.

이하라의 공식

이하라(그리고 그래프-이론적 설정의 수나다)는 일반 그래프의 경우 제타 함수가 합리적인 함수임을 보여주었다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $q{\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle q+1}$- 인접 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 있는 일반$$ 그래프인 경우$$^[2]

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{{1}{{1-u^{2}^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2)}}}}\ }$

여기서 $r{\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle r(G)}$은 G {\$displaystyle G}$의 회로 $등급$이다. G $\{\backslash$$displaystyle{\displaystyle }$ G$}$이(${\displaystyle 가}$$)$ 연결되어$$ 있고 정점이$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이면 $r{\displaystyle }$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{q}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle r(G$)-$1=(q-n/2$

이하라 제타 함수는 사실상 항상 그래프 다항식의 역수다.

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}},}$

여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은 하시모토 기이치로의 에지 인접 연산자다.Hyman Bass는 인접 연산자를 포함하는 결정 공식을 제공했다.

적용들

이하라 제타 함수는 프리 그룹, 스펙트럼 그래프 이론, 특히 기호 역학 등의 연구에 중요한 역할을 하는데, 여기서 이하라 제타 함수는 루엘 제타 함수의 예다.^[3]

참조

• Ihara, Yasutaka (1966). "On discrete subgroups of the two by two projective linear group over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adic fields". Journal of the Mathematical Society of Japan. 18: 219–235. doi:10.2969/jmsj/01830219. MR 0223463. Zbl 0158.27702.
• Sunada, Toshikazu (1986). "L-functions in geometry and some applications". Curvature and Topology of Riemannian Manifolds. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1201. pp. 266–284. doi:10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046.
• Bass, Hyman (1992). "The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice". International Journal of Mathematics. 3 (6): 717–797. doi:10.1142/S0129167X92000357. MR 1194071. Zbl 0767.11025.
• Stark, Harold M. (1999). "Multipath zeta functions of graphs". In Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. (eds.). Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109. Springer. pp. 601–615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040.
• Terras, Audrey (1999). "A survey of discrete trace formulas". In Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. (eds.). Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109. Springer. pp. 643–681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031.
• Terras, Audrey (2010). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003.