행렬의 스펙트럼

수학에서 행렬의 스펙트럼은 그 고유값의 집합이다.^[1][2][3] 보다 일반적으로 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T\colon V\to V}$이(가) 모든 유한차원 벡터 공간에 대한 선형 연산자라면$$ 그 스펙트럼은 스칼라 $집합{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \lambda }$이며, $T$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystystyle T-\\lambda I}$은(수치)이)이(수치)이(수치)이다. 행렬의 결정요인은 고유값의 산물과 동일하다. 마찬가지로 행렬의 추적은 고유값의 합과 같다.^[4][5][6] 이러한 관점에서, 우리는 단수 행렬이 0이 아닌 고유값의 산물이 되는 사이비-결정요인을 정의할 수 있다(다변수 정규 분포의 밀도는 이 수량을 필요로 할 것이다).

PageLrank와 같은 많은 애플리케이션에서 사람들은 지배적인 고유값, 즉 절대값에서 가장 큰 값에 관심이 있다. 다른 애플리케이션에서는 가장 작은 고유값이 중요하지만, 일반적으로 전체 스펙트럼은 행렬에 대한 귀중한 정보를 제공한다.

정의

V를 어떤 필드 K 위에 있는 유한차원 벡터 공간이 되게 하고 T: V → V가 선형 지도라고 가정한다. σ로_T 표시된 T의 스펙트럼은 T의 특성 다항식의 뿌리의 다항이다. 따라서 스펙트럼의 원소는 정확히 T의 고유값이며, 스펙트럼에서 고유값 λ의 다중성은 λ에 대한 T의 일반화된 고유공간의 치수와 같다( equals의 대수적 다중성이라고도 한다).

이제 K에 V의 기본 B를 고정하고 M∈Mat_K(V)이 행렬이라고 가정해 보자. Tx=Mx로 선형 지도 T: V→V를 점으로 정의하십시오. 여기서 오른쪽의 x는 열 벡터로 해석되고 M은 행렬 곱셈에 의해 x에 작용한다. 우리는 x가 T의 고유 벡터라면 xvV는 M의 고유 벡터라고 말한다. 마찬가지로 λ∈K는 T의 고유값이고, 같은 다수를 갖는 경우 M의 고유값이며, σ라고_M 쓰여진 M의 스펙트럼은 그러한 모든 고유값의 다중값이다.

관련 개념

대각선 가능 행렬의 아이겐데구성(또는 스펙트럼 분해)은 대각선 가능 행렬을 특정 표준 형태로 분해하는 것으로, 매트릭스는 고유값과 고유 벡터 단위로 표현된다.

사각 행렬의 스펙트럼 반경은 고유값 중 가장 큰 절대값이다. 스펙트럼 이론에서 경계 선형 연산자의 스펙트럼 반경은 해당 연산자의 스펙트럼 내 원소 절대값의 우월성이다.

메모들

참조

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646