충동성

Impredicativity
"예비주의"는 여기서 방향을 바꾼다. 약탈주의라고도 알려진 다른 철학 학파의 경우, 초친파주의를 보라.

수학, 논리, 철학에서 귀납적인 것은 자기 참조 정의다. 대략적으로 말하면, 정의되고 있는 집합 또는 (더 일반적으로) 정의되고 있는 사물을 포함하는 다른 집합을 호출(설명 또는 수량화)할 경우 정의는 귀납적이다. 포식적이거나 충동적인 것이 무엇을 의미하는지 일반적으로 받아들여지는 정확한 정의는 없다. 작가들은 다르지만 관련된 정의를 내렸다.

귀납성의 반대는 선행성인데, 이것은 근본적으로 낮은 수준에 대한 계량화가 변수의 범위를 벗어나는 하위 유형과 구별되는 새로운 유형의 변수를 야기하는 계층화(또는 함몰된) 이론을 구축하는 것을 수반한다. 대표적인 예가 직관적 유형 이론으로, 충동성을 버리기 위해 램프를 유지한다.

러셀의 역설은 자기 자신을 포함하지 않는 모든 세트의 집합인 충동구조의 유명한 예다. 역설은 그러한 집합은 존재할 수 없다는 것이다. 만약 그것이 존재한다면, 질문은 그것이 그 자체를 포함하고 있는지 아닌지를 질문 받을 수 있다 - 만약 그것이 정의에 의해 그것이 존재한다면, 그리고 만약 그것이 정의에 의해 존재하지 않는다면 그것은 그렇게 되어야 한다.

집합의 가장 큰 하한인 glb()X는 또한 의 모든 원소가 ,보다 작거나 같거나 의 모든 원소보다 작거나 같은 경우에만 다음과 같은 귀책적 정의를 가지고 있다.X 이 정의는 멤버가 의 하한인 집합(해당 순서에 따라 잠재적으로 무한정)에 대해 수량화하며, 그 중 하나는 glb 그 자체다. 그러므로 약탈주의는 이 정의를 거부할 것이다.[1]

역사

계층을 정의하지 않는 규범(변수 하나 포함)은 내가 비보완적이라 부르도록 제안하며, 계층을 정의한 규범들은 내가 선행적이라 부른다.

(Russell 1907, p.34) (Russell used "norm" to mean a proposition: roughly something that can take the values "true" or "false".)

그 이후 의미가 조금 달라졌지만 러셀(1907)은 '추상적'과 '충상적'이라는 용어를 도입했다.

솔로몬 페퍼만은 선험성에 대한 역사적 리뷰를 제공하며, 그것을 현재의 뛰어난 연구 문제와 연결시킨다.[2]

이 악순환 원리는 헨리 푸앵카레(1905-6, 1908년)[3]와 버트란드 러셀이 역설을 계기로 합법적인 세트 사양에 대한 요구조건으로 제시한 것이다. 요구조건을 충족하지 않는 세트를 충동질이라고 한다.

첫 번째 현대의 역설은 체사레 부랄리-포르티의 1897년에 등장했고, 트랜스피니트 숫자에[4] 대한 질문으로 부랄리-포르티 역설로 알려지게 되었다. 칸토어는 분명히 그의 (칸토르의) "생동적인" 세트 이론에서 같은 역설들을 발견했고 이것은 칸토어의 역설로 알려지게 되었다. 러셀이 이 문제에 대해 알게 된 것은 1901년[5] 6월 프레게의 수학 논리학 논문인 1879 베그리프슈리프트를 읽으면서 비롯되었다. 프레게의 언짢은 문장은 다음과 같다.

다른 한편으로, 논거가 결정되고 기능이 불확실한 것이기도 하다.[6]

즉, 주어진()a 함수는 변수고 불변 부분이다. 그러니 왜 그 a값()을 그 자체로 대체하지 않는가? 러셀은 즉시 프레지에게 다음과 같이 지적하는 편지를 썼다.

당신들은... 함수 또한 불확실한 요소로 작용할 수 있다. 이것은 내가 이전에 믿었던 것이지만, 지금 이 견해는 다음과 같은 모순 때문에 나에게 의심스러운 것 같다. 술어가 되어라: 스스로 단정할 수 없는 술어가 되어라. 자신으로 추정될 수 있는가? 각각의 대답에서 그 반대는 다음과 같다. 거기서 우리는 그것이 술어가 아니라고 결론지어야 한다. 마찬가지로, 각각 총체적으로 수강하는 클래스는 자신에게 속하지 않는 클래스가 없다. 이로부터 나는 특정 상황에서 확정 가능한 수집이 총체성을 형성하지 않는다고 결론지었다.[7]

프레지는 즉시 러셀에게 이 문제를 인정하는 답장을 보냈다.

네가 모순을 발견한 것은 나에게 가장 큰 놀라움을 안겨 주었고, 그것이 내가 산수를 만들려고 했던 기초를 흔들었기 때문에, 나는 거의 경악했다고 말할 수 있다.[8]

반 헤이제노르트는 이 문제가 두 남성 모두에게 악영향을 끼쳤지만(두 남성 모두 에뮬레이션해야 하는 프린터에서 작업을 했다) "역설이 논리학자들의 세계를 뒤흔들었고, 소란스러움은 오늘날까지도 감지되고 있다"고 관측한다. 세트와 요소의 맨발 개념을 사용하는 러셀의 역설은 논리학 분야에서 정면으로 떨어진다. 그 역설은 러셀에 의해 <수학의 원리>(1903)에 처음 발표되어 거기서 아주 자세하게 논의되고 있다..."[9] 러셀은 6년간의 거짓 출발을 한 후, 결국 1908년 자신의 유형 이론으로 "축소성의 공리를 제시한다"고 답하곤 했다. 그것은 어떤 기능도 그가 서술함수라고 부르는 것, 즉 겉보기 변수의 유형이 변수의 유형보다 높지 않게 실행되는 함수와 함께 확장성이 있다고 말한다."[10] 그러나 이 "axiom"은 각 방면의 저항에 부딪혔다.

충동적으로 정의된 수학적 사물에 대한 거부(자연수를 고전적으로 이해한 것으로 받아들이면서)는 그의 다스 쿤틴진공에서 앙리 푸앵카레와 헤르만 바일이 주창하는 선험주의로 알려진 수학 철학에 있어서의 입장으로 이어진다. 푸앵카레와 웨일은 하나 이상의 기초 집합이 무한할 때만 충동적 정의가 문제가 된다고 주장했다.

에른스트 제르멜로는 1908년 자신의 "잘 주문할 수 있는 가능성에 대한 새로운 증거"[full citation needed]에서 전체 섹션 "b"를 제시한다. "Poincaré(1906, 페이지 307)[정의는 'predicative'이며, 정의된 개념에 의존하는 모든 개체, 즉 어떤 식으로든 그것에 의해 결정될 수 있는 모든 개체를 제외하는 경우에만 논리적으로 인정된다"[11]고 그가 주장한 비predicative 정의에 관한 이의제기. 그는 (i) 데데킨트 체인의 개념과 (ii) 이전에 정의된 "완료된" 숫자의 최대 또는 최소가 추가 추론을 위해 사용되는 모든 분석에서 충동적인 정의의 두 가지 예를 제시한다. 예를 들어 잘 알려진 카우치 교정에서 이런 일이..."[12] 그는 다음과 같은 관찰로 자신의 부문을 끝맺는다: "정의는 정의되는 개념과 동등한 개념에 의존할 수 있다. 실제로 모든 정의에서 정의와 정의는 동등한 개념이며, 푸앵카레의 요구를 엄격하게 준수하면 모든 정의가 불가능할 것이다."[13]

이전에 정의한 "완료된" 숫자 집합의 최소와 최대에 대한 제르멜로의 예는 클레네 1952:42-42에서 다시 나타난다. 클레네는 충동적인 정의에 대한 그의 논의에서 최소 상한의 예를 사용한다. 클레네는 이 문제를 해결하지 못한다. 다음 단락에서 그는 1918년 Das Kontinuum(The Continuum)에서 Weyl이 충동적인 정의를 제거하려는 시도와 "상한을 가진 실제 숫자의 임의 비빈 집합 M이 최소 상한(cf. 또한 Weyl 1919)"[14]을 유지하지 못한 점에 대해 논한다.

램지는 "충격적인" 정의는 해롭지 않을 수 있다고 주장했다. 예를 들어, "방 안에서 가장 키가 큰 사람"의 정의는 그것이 요소인 것들의 집합, 즉 방에 있는 모든 사람들의 집합에 의존하기 때문에 충동적이다. 수학에 관하여, 귀납적 정의의 예는 집합에서 가장 작은 숫자로, 의 모든 원소가 ,보다 작거나 같은 경우 그리고 에 있는 경우에만 공식적으로 다음과 같이 정의된다.X

버지스(2005)는 프레게의 논리, 페아노 산술, 2차 산술, 자명 세트 이론의 맥락에서 어느 정도 서술적이고 충동적인 이론을 논한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 클레인 1952:42–43
  2. ^ 솔로몬 페퍼만, "예비성"(2002)
  3. ^ 클레인 1952:42에서 파생된 날짜
  4. ^ 부랄리-포르티 (1897년) 반 헤이제노르트의 (1897년) 반 헤이제노르트의 트랜스피니트 수 (1967:104년); 반 헤이제노르트의 게오르크 칸토르 (1899년) 레터 (1967년) 드데킨트 (1973년) 이전의 그의 논평도 참조하라.
  5. ^ 베르트랑 러셀의 레턴 투 프레지(Lettern to Frege in van Heijenoort의 해설
  6. ^ 고틀롭 프레게 (1879) 베그리프슈리프트 (Van Heijenoort 1967:23)
  7. ^ 베르트랑 러셀의 1902년 판 헤이제노르트에서 프레게에게 보낸 편지:124-125
  8. ^ 고틀롭 프레지의 (1902) 판 히에에에노르트에서 러셀에게 보내는 편지 1967:127
  9. ^ 베르트랑 러셀(1902)이 프레게에게 보내는 편지(1967:124)에 앞서 반 헤이제노르트의 논평
  10. ^ 윌러드 5세 타입 이론에 근거한 1908년 베르트랑 러셀의 수학 논리 이전의 Quine의 해설
  11. ^ 반 헤이제노르트 1967:190
  12. ^ 반 헤이제노르트 1967:190–191
  13. ^ 반 헤이제노르트 1967:191
  14. ^ 클레인 1952:43

참조

  • "Predicative and Impredicative Definitions". Internet Encyclopedia of Philosophy.
  • 플래닛매트릭스 사전주의 기사
  • 존 버지스, 2005년 프레지 고치기. 프린스턴 유니브 누르다
  • 2005년, 솔로몬 페퍼만, 옥스포드 수학과 논리학 핸드북의 "예언성" 옥스퍼드 대학 출판부: 590–624.
  • Russell, B. (1907), "On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types", Proc. London Math. Soc., s2–4 (1): 29–53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29
  • 스티븐 C. 1952년(1971년판), 암스테르담 NY 노스홀랜드 출판사 메타매틱스 소개, ISBN 0-7204-2133-9. 특히 cf. 그의 §11 패러독스 (pp. 36–40)와 §12 역설 IMFREDICATICATICATION (p. 42)로부터의 첫 번째 추론. 그는 역설(안티노미즈)의 6가지(유명한) 예시들이 모두 충동적 정의의 예라고 말하고, 푸앵카레(1905–6, 1908년)와 러셀(1906, 1910년)은 "이러한 충동적 정의에 놓여 있는 역설의 원인을 밝혀냈다"고 말하지만, "특히 우리가 유지하고 싶은 수학의 일부, 특히 분석 또한, 충동적인 정의를 포함하고 있다."(아이비드). 그의 1918년("Das Kontinuum")에서 Weyl은 "상한을 갖는 실수의 임의 비빈 집합 M이 최소 상한(CF. 또한 Weyl 1919)"을 갖는 정리는 사용하지 않고 가능한 한 많은 분석을 도출하려고 시도했다(p.43).
  • 한스 라이헨바흐 1947, Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5. Cf. his §40. 반물질과 유형 이론(pp. 218 - 여기서 그는 반물질을 만드는 방법을 증명한다. 여기에는 귀책할 수 없는 그 자체의 정의("불가능"의 정의는 귀책할 수 없는 것인가?")이 포함된다. 그는 "구문학의 패러독스" ("논리적 역설")와 "의미론의 역설" ("그의 언어 수준의 이론")을 사용하는 "구문학의 패러독스"를 제거하는 방법을 보여준다고 주장한다. 그는 이 개념의 제안을 러셀에게, 그리고 더 구체적으로 램지에게 돌린다.
  • 장 반 헤이제노르트 1967, 3쇄 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, 하버드 대학 출판부, 캠브리지 MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk)