부랄리-포르티 역설

수학의 한 분야인 세트 이론에서, 부랄리-포르티 역설은 "모든 서수적 숫자의 집합"을 구성하는 것이 모순으로 이어지며, 따라서 그 구성을 허용하는 시스템에서의 반절제를 나타낸다는 것을 보여준다. 그것은 1897년 칸토르가 이전에 증명했던 결과와 모순되는 정리를 증명하는 논문을 발표한 Cesare Burali-Forti의 이름을 따서 명명되었다. 이후 베르트랑 러셀은 모순을 알아차렸고, 1903년 저서 수학 원리(Principles of Mathematics)에서 이를 발표하면서 부랄리-포르티의 논문에 의해 그것이 자신에게 제안되었다고 진술했고, 그 결과는 부랄리-포르티의 이름으로 알려지게 되었다.

폰 노이만 서수로 표기함

우리는 이것을 터무니없는 환원법으로 증명할 것이다.

1. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 모든 서수 번호를 포함하는 집합으로 설정하십시오$$.
2. ${\displaystyle }$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle$ $\Oomega}$의 모든 원소 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ x$}($$$서수 번호로 임의의 순서 번호일 수 있음) 및 x ${\displaystyle$ x$}$의 모든 $원소{\displaystyle }$ y ${\displaysty y}($$$즉, 모든 순서 번호에 대해 Von Neumann 서수 정의에 따라)에 대해 transferentive가 된다$$.r < ${\displaystyle y<x}),$ 이 순서형 구조의 정의에 따르면 모든 순서형 번호는 순서형 번호만 포함하기 $때문$에 y ${\displaystyle \Oomega}$의 $요소$가 된다는$$ 것을 알 수 있다.
3. ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 모든 요소도 이 관계에 의해 잘 정렬되기 때문에 멤버십 관계에 의해 잘 정렬된다.
4. 따라서 2단계와 3단계에서는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}이$($가) 서수 등급이며$$, 또한 1단계에서는 서수 번호라는 것을 알 수 있는데, 이는 집합된 모든 서수 등급도 서수 번호이기 때문이다.
5. 이는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 요소임을$$ 의미한다$.$
6. Von Neumann 서수 정의에 따르면 < > ${\displaystyle \Oomega }$은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 요소인$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$과 동일하다$.$ 이 후자 진술은 5단계에서 입증된다.
7. 그러나 $4단계{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 서수 클래스, 즉 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {${\displaystyle }$≮$$≮ ${\displaystyle \mathrm{display}}$ display display $display$ omega omega $\nless \Oomega$}) $때문$에 Ω {\displaystyle \nless \Oomega$}}$을(으)를 포함하여 그 자체보다 작은 서수 클래스는 없다$.$

We have deduced two contradictory propositions (${\displaystyle \Omega <\Omega }$ and ${\displaystyle \Omega \nless \Omega }$) from the sethood of ${\displaystyle \Omega }$ and, therefore, disproved that ${\displaystyle \Omega }$ is a set.

보다 일반적으로 언급됨

위의 역설의 버전은 존 폰 노이만 때문에 서수의 정의를 전제로 하기 때문에 시대착오적인데, 그 아래 각 서수들은 이전의 모든 서수들의 집합인데, 그 역설은 부랄리-포르티에 의해 틀이 잡혔을 당시에는 알 수 없었다. 여기에 전제가 적은 계정이 있다. 우리가 각각의 잘 정돈된 개체(순서 종류는 순서형 번호)를 불특정화된 방식으로 연결한다고 가정하자. 순서 유형(순번) 자체는 자연적인 방식으로 잘 정렬되어 있으며, 이 순번에는 순서 유형 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 있어야 한다$.$ 모든 순서 번호의 순서 유형이 고정된 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$보다 작다는 것은 순호형 집합 이론(ZFC에서는 사실이며 New Foundation에서는 사실이 아님)에서 쉽게 알 수 있다.$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 그 자체다$$. 따라서 Ω ${\displaystyle \Oomega}$보다 작은 모든 서수 번호의 순서 유형은$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega}$ 그 자체다$$. 그러나 이는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이$($가) 서수의 적절한 초기 세그먼트의 순서 유형으로, 모든 서수의 순서 유형보다 엄격히 작지만, 정의상으로는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 그 자체라는$$ 것을 의미한다. 이것은 모순이다.

만약 우리가 각 서수가 이전의 모든 서수들의 집합으로 식별되는 폰 노이만 정의를 사용한다면, 역설은 피할 수 없다: 모든 서수 번호의 순서 유형이 $고정{\displaystyle }$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}보다$$ 작다는 위반 명제는 그 자체가$$ 사실이어야 한다. 폰 노이만 서수들의 모음은 러셀 역설의 모음집과 마찬가지로 고전적 논리로 어떤 세트 이론의 집합체가 될 수 없다. 그러나 뉴 파운데이션(유사성 하의 웰 오더들의 등가 등급으로 정의됨)에서 순서 유형의 집합은 실제로 집합이며, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$보다 작은 서수의 $순서{\displaystyle \mathrm{}}$ 유형이$Ω$ {\displaystyle $\Oomega}$이(가$$) 아닌 것으로 밝혀지기 때문에 역설은 피할 수 있다$.$

역설의 결심

ZF와 ZFC와 같은 공식 집합 이론에 대한 현대 공리는 "산술"에서 "속성 $[\displaystyle P}$가 있는 모든 집합$"$과 같은 용어를 사용하는 집합의 건설을 가능한 순진한 집합 이론에서 그리고 특히 Gottlob Frege의 공리 - 특히 기본 법칙 V"와 같은 용어를 사용하는 것을 허용하지 않음으로써 이 반론을 회피한다. Quine의 시스템 New Foundation(NF)은 다른 솔루션을 사용한다. 로서(1942)는 뉴 파운데이션의 연장선인 콰인(Quine)의 시스템 '수학적 논리'(ML)의 오리지널 버전에서 부랄리-포르티 역설의 도출이 가능하다는 것을 보여주면서 이 시스템이 모순적이었음을 보여주었다. 로서의 발견에 따른 Quine의 ML 개정은 이러한 결함을 겪지 않으며, 실제로 Hao Wang에 의해 NF와 동일하다는 것이 증명되었다.

참고 항목

• 절대 인피니트

참조

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11: 154–164, doi:10.1007/BF03015911
• 어빙 코피(1958) "부랄리-포르티 역설", 과학철학 25(4): 281–286, 도이:10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "Burali-Forti's paradox: A reappraisal of its origins", Historia Mathematica, 8 (3): 319–350, doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic, 7 (1): 1–17, doi:10.2307/2267550, JSTOR 2267550, MR 0006327

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전: 안드레아 칸티니의 "파라독스와 현대 논리"