독립친화적 논리

고전 일차 논리(시설 운영 허가)의 V{V\displaystyle}은 지느러미 형태(∃ v/V){\displaystyle(\exists v/V)}과(∀ v/V){\displaystyle(\forall v/V)}의 삭감된 기호적으로 표현을 허락하는 방법으로 Independence-friendly 논리(만약 논리, Jaakko Hintikka와 가브리엘 Sandu[fr]에 의해 1989년에 제안한)[1]연장이다.ite변수 집합(${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle v}$/ $){\displaystyle (\exists$v/$V)}$의 의도된 판독치는 "$V{\displaystyle }${\displaystyle $v}$이(가) 있으며, V$$ {\$displaystyle$ V$}$의 변수와 기능적으로 독립적인 v ${\displaystystyle$ v}"이다$$.$$ IF 논리로 인해 1차 논리에 내재된 변수보다 변수 사이의 일반적인 의존 패턴을 더 많이 표현할 수 있다.이렇게 일반성이 높아지면 표현력이 실제로 증가하게 된다; IF 문장의 집합은 실존적인 2차 논리(Exceptional ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 논리(${\displaystyle {EX1\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 1 ${\$와 동일한 종류의 구조를 특징 지을 수 있다.$$For example, it can express branching quantifier sentences, such as the formula ${\displaystyle \exists c\forall x\exists y\forall z(\exists w/\{x,y\})((x=z\leftrightarrow y=w)\land y\neq c)}$ which expresses infinity in the empty signature; this cannot be done in FOL.따라서 일반적으로 1차 논리에서는 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) x ${\displaystyle x}$ $및$ c ${\displaystyle c}$에만 의존하고$$$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는) $z{\displaystyle }$ ${\displaysty z}$와$c{\displaystyle }${\$displaystystyc$}에만 의존성을$$ 나타낼 수 없다$.$ If 로직이 분기보다 일반적이라면예를 들어, y {\$displaystyle$ y$}$이(가${\displaystyle \mathrm{)}}$ $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mathrm{}y}$ y${\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$z${\displaystyle }$/ { $}$ )에서와 같이 전이적이지 않은 종속성을 표현할 수 있다는 점에서, $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ y}이($가)$ x$$${\displaystyle x}$및 $z{\displaystyle }$ ${\di$}에 의존한다고$$ 표현한다$.$$splaystyle y$ 그러나 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 종속되지 않는다$$$.$

IF 로직의 도입은 1차 로직의 게임 의미론을 불완전한 정보의 게임으로 확대하려는 시도에서 부분적으로 동기부여가 되었다.실제로 IF 문장에 대한 의미론은 이러한 종류의 게임(또는 그 대안으로 실존적인 2차 논리로의 번역 절차에 의해)의 측면에서 주어질 수 있다.개방형 공식에 대한 의미론은 타르스키안 의미론의 형태로 주어질 수 없다;^[2] 적절한 의미론은 단일 과제에 의한 만족보다는 공통 변수 영역(팀)의 할당에 의해 공식이 충족되는 것이 무엇을 의미하는지 명시해야 한다.그러한 팀 의미론은 호지스에 의해 개발되었다.^[3]

독립 친화적 논리는 팀 의미론, 의존성 논리, 배제 논리, 독립성 논리 등 팀 의미론에 기초한 여러 다른 논리 체계와 문장 수준에서 번역에 상당하는 것으로, IF 논리는 후자를 제외하고, IF 논리가 이러한 로직과 동등하다고 알려져 있다. o의 수준에서도.펜 공식그러나, IF 논리가 지역성이 결여되어 있다는 점에서 위에서 언급한 모든 시스템과 다른 경우: 개방된 공식의 의미는 공식의 자유 변수에 의해서만 설명될 수 없으며, 그 대신 공식은 공식의 발생 상황에 따라 달라진다.

독립 친화적 논리는 1차 논리와 다수의 금속학적 특성을 공유하지만, (클래식적이고 모순된) 부정에 따른 폐쇄성 결여, 공식의 유효성을 결정하기 위한 복잡성 증가 등 일부 차이가 있다.확장 IF 논리는 폐쇄 문제를 다루지만 게임 이론적 의미론은 더 복잡하며, 그러한 논리는 2차 논리 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$의 적절한 부분 집합체인 Δ$$2$1$의 더 큰 부분 집합에 해당한다$.$^[4]

힌티크카는 IF와 확장 IF 논리가 수학의 기초가 되는 근거로 사용되어야 한다고 주장해^[5] 왔으며, 이 제안은 일부 경우에 회의적으로 받아들여졌다.^[6]

구문

독립 친화적 논리에 대한 많은 약간 다른 발표가 문헌에 나타났다; 여기서 우리는 Mann 외 연구진(2011년)을 따른다.^[7]

항 및 원자 공식

고정 서명 σ의 경우, 용어 및 원자 공식은 균등성을 가진 1차 논리학에서와 정확히 동일하게 정의된다.

IF 공식

IF 논리의 공식은 다음과 같이 정의된다.

1. 모든 원자 공식 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은 IF 공식이다$$.
2. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) IF 공식이라면 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \lnot \varphi }$은 IF 공식이다$$.
3. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $}$과($와{\displaystyle }$)$display$ {\$displaystyle$ \$psi$ $\$psi $}$이(가) IF 공식이라면 $\varphi {\displaystyle }$${\displaystyle \wedge }$ ∧ $\$ \ $\$ \$psi$}은 IF$$ 공식이다.
4. If ${\displaystyle \varphi }$ is a formula, ${\displaystyle v}$ is a variable, and ${\displaystyle V}$ is a finite set of variables, then ${\displaystyle (\exists v/V)\varphi }$ and ${\displaystyle (\forall v/V)\varphi }$ are also IF formulas.

자유 변수

IF 공식 ${\displaystyle \varphi }$의 자유 변수 중 set ${\displaystyle \text{Free}}$ ($){\mbox{Free}(\varphi )}$은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다$$.

1. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(${\displaystyle 가}$) 원자 공식이라면$$ ${\displaystyle \text{Free}}$ (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mbox{Free}}(\varphi )}$은 그 안에서 발생하는 모든 변수의 집합이다$$.
2. ${\displaystyle \text{Free}}$( ${\displaystyle \mathrm{\neg }\phi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Free}}$ (${\displaystyle \phi }$) = ${\displaystyle {\mbox{Free}(\lnot \varphi )={\mbox{Free}(\varphi )}$;
3. ${\displaystyle \text{Free}}$( ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \vee \psi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Free}}$ ( ${\displaystyle (}$ )${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{Free}}$ ${\displaystyle (}$ ) )$${\$displaystyle {\mbox{Free}(\varphi \psi )={\mbox{Free}}}\\mbox{Free$
4. ${\displaystyle {\mbox{Free}}((\exists v/V)\varphi )={\mbox{Free}}((\forall v/V)\varphi )=({\mbox{Free}}(\varphi )\backslash \{v\})\cup V}$.

마지막 절은 1차 논리학의 절과 다른 유일한 절이며, 그 차이점은 슬래시 집합 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 변수들도 자유 변수로 계산된다는$$ 것이다.

IF 문장

IF 공식 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \varphi$ ${\displaystyle \}}$과 같은$$ IF 공식 φ$displaystyle {\mbox{Free}}(\phi )=\$emptyset }은 IF 문장이다$.$

의미론

IF 논리의 의미론적 정의를 위해 세 가지 주요 접근법이 제안되었다.각각 불완전한 정보의 게임과 스콜레마이징에 근거한 앞의 두 가지는 IF 문장의 정의에만 주로 사용된다.전자도 이와 유사한 접근방식을 일반화하는데, 이는 완벽한 정보의 게임을 기반으로 한 1차 로직이다.세 번째 접근방식인 팀 의미론(team semantics)은 타르스키안 의미론(tarskian semantics)의 정신에 따른 구성 의미론이다.그러나, 이 의미론에서는 공식이 할당에 의해 충족된다는 것이 무엇을 의미하는지 정의하지 않는다(여러 가지, 할당 집합에 의해).첫 번째 두 가지 접근방식은 논리의 여부에 관한 이전의 출판물에서 개발되었다.^[8][9] 세 번째 접근방식은 1997년 호지스에 의해 개발되었다.^[10][11]

이 절에서는 $\models {\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle T_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$⊨ S k , ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle \models _{GTS},\models _{Sk},\models }$에서와 같이 뚜렷한 페디션을 작성하여 세 가지 접근법을 구분한다$.$ 세 가지 접근법이 근본적으로 동등하기 때문에 기사의 나머지 부분에서는 기호 {${\displaysty \models }$만 사용될 것이다$$.

게임-이론적 의미론

게임-이론적 의미론은 불완전한 정보의 일부 2인 게임의 특성에 따라 IF 문장에 진실 값을 할당한다.프레젠테이션의 용이성을 위해 게임을 문장뿐 아니라 공식에도 연결시키는 것이 편리하다.More precisely, one defines games ${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal {M}},s)}$ for each triple formed by an IF formula ${\displaystyle \varphi }$, a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, and an assignment ${\displaystyle s:$$U\supseteq {\mbox{Free}(\varphi )\오른쪽$ 화살표 ${\mathcal{M$

플레이어스

의미 게임 $G{\displaystyle (}$ ( ,${\displaystyle M}$, s )${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal{M},s)}$에는 엘로이즈(또는 Verifier)와 아벨라드(또는 Forsifier)라는 두 명의 플레이어가 있다$$.

게임 규칙

의미 게임 $G{\displaystyle }$ (${\displaystyle \phi }$, M${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal{M},s)}$에서 허용되는 움직임은 고려 중인 공식의 구문 구조에 의해 결정된다$$.단순성을 위해 먼저 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 부정 정규 형태이며$$, 부정 기호는 원자 보조양식 앞에서만 발생한다고 가정한다.

1. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$이(가) 리터럴이면 게임이$$ 끝나고, M ${\displaystyle \varphi }$이(가) $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$일차적 의미로는)이면 엘로이즈가 승리하고, 그렇지 않으면 아벨라드가 승리한다.
2. If ${\displaystyle \varphi =\psi _{1}\land \psi _{2}}$, then Abelard chooses one of the subformulas ${\displaystyle \psi _{i}}$, and the corresponding game ${\displaystyle G(\psi _{i},{\mathcal {M}},s)}$ is played.
3. If ${\displaystyle \varphi =\psi _{1}\lor \psi _{2}}$, then Eloises chooses one of the subformulas ${\displaystyle \psi _{i}}$, and the corresponding game ${\displaystyle G(\psi _{i},{\mathcal {M}},s)}$ is played.
4. If ${\displaystyle \varphi =(\forall v/V)\psi }$, then Abelard chooses an element ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, and game ${\displaystyle G(\psi ,{\mathcal {M}},s(a/v))}$ is played.
5. If ${\displaystyle \varphi =(\exists v/V)\psi }$, then Eloise chooses an element ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, and game ${\displaystyle G(\psi ,{\mathcal {M}},s(a/v))}$ is played.

More generally, if ${\displaystyle \varphi }$ is not in negation normal form, we can state, as a rule for negation, that, when a game ${\displaystyle G(\lnot \varphi ,{\mathcal {M}},s)}$ is reached, the players begin playing a dual game ${\displaystyle G^{*}(\varphi ,{\mathcal {M}},$$s)}($검증자 및 위조자의 역할이 전환되는 경우$$.

역사

비공식적으로, $게임{\displaystyle }$ G (${\displaystyle \phi \mathcal{}}$, M${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ G$(\varphi ,{\mathcal{M},s)}$의 일련의 동작은 하나의 역사다$$.At the end of each history ${\displaystyle h}$, some subgame ${\displaystyle G(\psi _{h},{\mathcal {M}},s_{h})}$ is played; we call ${\displaystyle s_{h}}$ the assignment associated to ${\displaystyle h}$, and ${\displaystyle \psi _{h}}$ the subformula occurrence ass$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$에 맞춰졌다$.$$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$과(와) ${\displaystyle {연관}_{}}$된 플레이어는 $\$ h {\displaystyle $\psi$ _${h}$에서 가장 외부 논리 연산자가 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lor$$}$ 또는$$$$$\exists {\displaystyle }$ ${\displaysty \land$} 또는$$${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaysty }$인 경우 Abellard이다$.$

The set ${\displaystyle h}$ of allowed moves in a history ${\displaystyle h}$ is ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ if the most external operator of ${\displaystyle \psi _{h}}$ is ${\displaystyle \exists }$ or ${\displaystyle \forall }$; it is ${\displaystyle \{L,R\}}$ (${\displaystyle L,}$${\displaystyle }$$\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 외부 연산자가 is$$${\displaystyle \lor }$ 또는 or$$ ${\displaystyle$ \$land }$인 경우 R ${\displaystyle$ $\$$land$ $\}$인 경우 '왼쪽'과 '$오른쪽$'을 상징하는 두 개의 구별되는 물체$$$.$

Given two assignments ${\displaystyle s,t}$ of same domain, and ${\displaystyle V\subseteq dom(s)}$ we write ${\displaystyle s\sim _{V}t}$ if ${\displaystyle s(w)=t(w)}$ on any variable ${\displaystyle w\in dom(s)\setminus V}$.

불완전한 정보는 관련 플레이어가 특정 이력을 구별할 수 없도록 규정함으로써 게임에 도입되며, 구별할 수 없는 이력은 '정보 세트'를 형성한다고 한다.직관적으로 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 정보 집합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 있는$$ 경우$$h ${\displaystyle h}$과(와) 관련된 플레이어는 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h$$}$ 또는$$ I ${\displaysty$ I}의 일부 다른 역사에 있는지 알$$ 수 없다$.$ 두 개의 $히스토리{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {\prime }^{}}$ {\d ${\$ h$$, h, h$.$at the associated ${\displaystyle \psi _{h},\psi _{h'}}$ are identical subformula occurrences of the form ${\displaystyle (Qv/V)\chi }$ (${\displaystyle Q=\exists }$ or ${\displaystyle \forall }$); if furthermore ${\displaystyle s_{h}\sim _{V}s_{h$$'}}$, we write ${\displaystyle h\sim _{\exists }h'}$ (in case ${\displaystyle Q=\exists }$) or ${\displaystyle h\sim _{\forall }h'}$ (in case ${\displaystyle Q=\forall }$), in order to specify that the two histories are indistinguishable for Eloise, resp.아벨라르를 위해We also stipulate, in general, reflexivity of this relation: if ${\displaystyle \psi =\chi _{1}\lor \chi _{2}}$, then ${\displaystyle h\sim _{\exists }h'}$; and if ${\displaystyle \psi =\chi _{1}\land \chi _{2}}$, then ${\displaystyle h\sim _{\forall$$}}h$

전략들

For a fixed game ${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal {M}},s)}$, write ${\displaystyle H_{\exists }}$ for the set of histories to which Eloise is associated, and similarly ${\displaystyle H_{\forall }}$ for the set of histories of Abelard.

A strategy for Eloise in the game ${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal {M}},s)}$ is any function that assigns, to any possible history in which it is Eloise's turn to play, a legal move; more precisely, any function ${\displaystyle \sigma :$$H_{\exists }\rightarrow \prod _{h\in H_{\exists }}A(h)}$ such that ${\displaystyle \sigma (h)\in A(h)}$ for every history ${\displaystyle h\in H_{\exists }}$. One can define dually the strategies of Abelard.

A strategy for Eloise is uniform if, whenever ${\displaystyle h\sim _{\exists }h'}$, ${\displaystyle \sigma (h)=\sigma (h')}$; for Abelard, if ${\displaystyle h\sim _{\forall }h'}$ implies ${\displaystyle \sigma (h)=\sigma (h')}$.

엘로이즈의 전략 $strategy$ ${\$$displaystyle \$$sigma}$이(가) can {\displaystyle $\sigma }$에 따라 플레이하여 도달할 수 있는 각 터미널 역사에서 엘로이즈가 승리할 경우 아벨라르드에게도 이와 유사하게 이기고 있다$.$

진실, 거짓, 불결함

An IF sentence ${\displaystyle \varphi }$ is true in a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ (${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{+}\varphi }$) if Eloise has a uniform winning strategy in the game ${\displaystyle G(\varphi ,{\mathcal {M}},\emptyset )}$. It is false (${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \models {}_{}^{}}$ ${\displaystyle G_{}^{}}$ ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\M}\models _{GTS}^{-}\varphi$}$$) 만약 아벨라르가 승리 전략을 가지고 있다면.엘로이즈도 아벨라르도 승리 전략을 갖고 있지 않은지는 아직 결정되지 않았다.

보수성

IF 논리의 의미론은 다음과 같은 의미에서 1차 의미론의 보수적인 확장이다.▼ ${\displaystyle \$$varphi$ $}$이(가) 슬래시 집합이 비어 있는 IF$$ 문장이면$$, 각 IF $정량기{\displaystyle {}^{}}$$({\displaystyle Q}$ ${\displaystyle v}$ /${\displaystyle \varnothing \mathrm{}}$) ${\displaystyle (Qv/\emptyeset )}$이 해당하는$$ 1차 정량기 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{vs}}$ $vs$$.$$tyle Qv}$. Then ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{+}\varphi }$ iff ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi '}$ in the Tarskian sense; and ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{-}\varphi }$ iff ${\displaystyle {\mathcal {M}}\$타르스키아의 의미로는$$ $\models \varphi '}$이 $아니다$.

수식 열기

보다 일반적인 게임을 사용하여 IF 공식에 의미를 부여할 수 있다. 더 정확히 말하면, 구조 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 팀 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}($공통 변수 $doma$의 할당 집합)에 의해 IF 공식 $\phi {\displaystyle }${\$displaystystyle \varphi}$이 충족되는$$ 것을 정의할 수 있다.$d{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle o}$ m${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle dom(X)}$ 및$$ codomain M ${\$연관된 게임 $G{\displaystyle }$ (${\displaystyle \phi }$, M${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ G$(\varphi ,M,X)$는 할당 s $s{\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\\in$ X$}$의 무작위 선택으로 시작한다$.$ 이 초기 이동 후에는 G(${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle$ G$(\varphi ,M$,M$,s)$가 재생된다$$.The existence of a winning strategy for Eloise defines positive satisfaction (${\displaystyle M,X\models _{GTS}^{+}\varphi }$), and existence of a winning strategy for Abelard defines negative satisfaction (${\displaystyle M,X\models _{GTS}^{-}\varphi }$).이러한 일반성의 수준에서 게임 이론적 의미론은 대수학적 접근방식, 팀 의미론(아래 정의)으로 대체될 수 있다.

스콜렘 셈틱스

IF 문장에 대한 진리의 정의는 실존적 2차 논리로의 변환을 통해 대안으로 주어질 수 있다.번역은 1차 로직의 스콜레마이징 절차를 일반화한다.위조는 Kreiselization이라 불리는 이중 절차에 의해 정의된다.

스콜레마이징

IF 공식 ${\displaystyle \varphi }$을$($를) 지정하면 먼저 유한$$ 집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle \text{Free}}$ (${\displaystyle \phi }$ $){\displaystyle U\supseteq${\$mbox{Free}}(\varphi )}$ 변수에 상대화된 스몰레마이징을 정의한다.$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에서 발생하는$$ 모든 실존적 정량자$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ v${\displaystyle }$/ V${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\exist v/V)}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle f_{}}$ ${\$를 새로운 함수 기호("Skolem 함수")로$$ 설정하십시오.$대체$되는 수식에 $대해$ S ${\displaystyle u}$ b ${\displaystyle t(u}$ b ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle Substit(\varphi,v,t)}$을(를) write ${\displaystyle \varphi$ $\}$에 t ${\displaystyty t}$라는 용어와 함께$$ 변수 $v{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ v$}$의 모든 자유 발생 횟수를 기입한다$.$${\displaystyle U_{}}$${\displaystyle U$${\displaystyle \}}$에 ${\displaystyle \mathrm{상대적}}$인 relative$$ $\{\backslash$$displaystyle \varphi$$}$의 스콜레마이징은 다음과 같은 $유도$ 조항에 의해 정의된다$.$

1. ${\displaystyle {Sk}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}(}$ ( ${\displaystyle )}$ ) =${\displaystyle \phi }${\$displaystyle \operatorname {Sk} _{U}(\varphi )=\varphi$}. 만약$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi }$이(${\displaystyle 가}$) 문자라면$$.
2. ${\displaystyle \operatorname {Sk} _{U}(\psi \lor \chi )=\operatorname {Sk} _{U}(\psi )\lor \operatorname {Sk} _{U}(\chi )}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {Sk} _{U}(\psi \land \chi )=\operatorname {Sk} _{U}(\psi )\land \operatorname {Sk} _{U}(\chi )}$.
4. ${\displaystyle {\mathrm{Sk}}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( (${\displaystyle \mathrm{\forall }V}$/${\displaystyle }$V )${\displaystyle \psi }$) =${\displaystyle \mathrm{}v}$ v ${\displaystyle {SK}_{}}$ U${\displaystyle {\{}_{}}$ { ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$⁡ ${\displaystyle (}$) ${\displaystyle \operatorname {Sk} _{U}(\forall v/V)\psi )=\all v\operatorname {Sk} \{V\cuperpi$
5. ${\displaystyle \operatorname {Sk} _{U}((\exists v/V)\psi )=Subst(\operatorname {Sk} _{U\cup \{v\}}(\psi ),v,f_{v}(y_{1},...,y_{n}))}$, where ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$ is a list of the var$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\setminus$ V$}$의 iables$.$

${\displaystyle \varphi }$이 IF 문장이면$$, 그 (비relativized) Scolemization은 ${\displaystyle \text{sk}}$(${\displaystyle =}$ ) = ${\displaystyle {\text{sk}}_{}}$($){\mbox{Ski}={\mbox{Sk}_{\varnothy$로 정의된다.

크라이셀라이제

$IF{\displaystyle }$ 공식$$each$${\$displaystyle \$${\displaystyle varphi}$ $},$associate,${\displaystyle \mathrm{associate}\mathrm{}}$v /${\displaystyle }$V${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\forall v/V)}$에 발생하는 각 범용 정량자에 대해 새로운 함수 기호 ${\displaystyle g_{}}$ ${\$Reisel 함수)가 주어진다.Then, the Kreiselization ${\displaystyle {\mbox{Kr}}_{U}(\varphi )}$ of ${\displaystyle \varphi }$ relative to a finite set of variables ${\displaystyle U\supseteq {\mbox{Free}}(\varphi )}$, is defined by the following inductive clauses:

1. ${\displaystyle {}_{}}$$Kr{\displaystyle }$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \phi }$ ) =${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ \${\displaystyle$ \$operatorname {Kr} _{U$}(\$varphi$)=\$lnot \varphi }$ 만약$$ ${\displaysty$ \$varphi }$이(가) 문자라면$$.
2. ${\displaystyle \operatorname {Kr} _{U}(\psi \land \chi )=\operatorname {Kr} _{U}(\psi )\lor \operatorname {Kr} _{U}(\chi )}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {Kr} _{U}(\psi \lor \chi )=\operatorname {Kr} _{U}(\psi )\land \operatorname {Kr} _{U}(\chi )}$.
4. ${\displaystyle \operatorname {Kr} _{U}((\forall v/V)\psi )=Subst(\operatorname {Kr} _{U\cup \{v\}}(\psi ),v,g_{v}(y_{1},...,y_{n}))}$, where ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$is a list of the vari$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\setminus V}$의 에블스$.$
5. ${\displaystyle \operatorname {Kr} _{U}(\exists v/V)\psi )=\all v\operatorname {Kr} _{U\cup \}}\{v\}(\psi )}$

${\displaystyle \varphi }$이 IF 문장이면$$, 그 (비자유화) Kreiselization은 ${\displaystyle \text{Kr}}$($$) = ${\displaystyle {\text{Kr}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \phi }$ $){\mbox{Kr}={\mbox{Kr}}}{\varpi$ $\}\}$로 정의된다.

진실, 거짓, 불결함

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 실존적$$ 정량자가 포함된$$ IF 문장 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi},$ $구조{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$ 목록 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle 적절한\stackrel{}{}}$ $아리티$의 n ${\displaystystyle n}$ 함수$$$$ ${\\\vec$${\$$f}$을${\displaystyle 지정}$하면$displaystystystystystystystyleveloplease$이 된다$.$$\mathcal{M},{\vec{f}}}}}$ {{\$displaystyle{\vec{f}}}$ 함수를${\displaystyle \stackrel{}{}}$$\phi {\displaystyle }${\$displaystyle$의 스콜렘 함수에 대한 $해석$으로 $할당$하는 M$${\$displaystyle$ ${\varphi$$}}}$의 확장$$.

An IF sentence is true on a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, written ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{\mbox{Sk}}^{+}\varphi }$, if there is a tuple ${\displaystyle {\vec {f}}}$ of functions such that ${\displaystyle ({\mathcal {M}},{$$\vec {f}})\models {\mbox{Sk}}(\varphi )}$. Similarly, ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{\mbox{Sk}}^{-}\varphi }$ if there is a tuple ${\displaystyle {\vec {f}}}$ of functions such that ${\displaystyle ({\mathcal {M}},{\vec {f}})\models {\mbox{Kr}}(\varphi$$)}$; 및 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \models {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{Sk}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{{M}\mbox{{0}\varphi }만약$ 이전 조건들이 유지되지 않는다면.

IF 문장의 경우, Scolem Semantics는 게임 이론 Semantics와 동일한 값을 반환한다.^{[citation needed]}

팀 의미론

팀 의미론을 통해 IF 논리의 의미론에 대한 구성적 설명을 할 수 있다.진실과 거짓은 '팀에 의한 공식의 만족도'라는 개념에 근거를 두고 있다.

팀

M ${\$을(를) 구조로 하고 $V{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {vn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ V$=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}}}$을(를) 유한 변수 집합으로 한다$$.Then a team over ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ with domain ${\displaystyle V}$ is a set of assignments over ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ with domain ${\displaystyle V}$, that is, a set of functions ${\displaystyle s}$ from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle {\mathcal {M}$$}}$.

팀 복제 및 보완

중복과 보완은 보편적 및 실존적 정량화의 의미론과 관련된 두 개의 팀 운영이다.

1. Given a team ${\displaystyle X}$ over a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ and a variable ${\displaystyle v}$, the duplicating team ${\displaystyle X[{\mathcal {M}}/v]}$ is the team ${\displaystyle \{s(a/v) s\in X,a\in {\mathcal {M}}\}}$.^[12]

1. Given a team ${\displaystyle X}$ over a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, a function ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {M}}}$ and a variable ${\displaystyle v}$, the supplementing team ${\displaystyle X[F/v]}$ is the team ${\d$$isplaystyle \{s(F)/v) s\in$ X$\backslash \}\}.$

$X$[${\displaystyle M}$/$$${\displaystyle u}$${\displaystyle ])}$[${\displaystyle F}$/ ${\displaystyle v}$]에 $대한$ X${\displaystyle }$[${\displaystyle M}$ / ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$ $X[{\$$mathcal$$${$M$$}F/$$uv$$]}$과 같이 이 두 작업의 반복적인 응용을 보다 간결한 개념으로 대체하는 것이 관례다$.$$[F/v]}$.

팀에 대한 통일된 기능

As above, given two assignments ${\displaystyle s,t}$ with same variable domain, we write ${\displaystyle s\sim _{V}t}$ if ${\displaystyle s(w)=t(w)}$ for every variable ${\displaystyle w\in dom(s)\setminus V}$.

Given a team ${\displaystyle X}$ on a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ and a finite set ${\displaystyle V}$ of variables, we say that a function ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {M}}}$ is ${\displaystyle V}$-uniform if ${\displaystyle F(s)=F(t)}$ whenever $s{\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s\sim _{V}t}$.

의미절

팀 의미론은 공식이 주어진 구조에서 팀에 의해 긍정적으로 만족되거나, 그것에 의해 부정적으로 만족되거나, 또는 둘 다 충족되지 않을 수 있다는 의미에서 세 가지 가치로 평가된다.긍정적 및 부정적 만족을 위한 의미론적 조항은 IF 공식의 구문 구조에 대한 동시 유도에 의해 정의된다.

긍정적 만족도:

1. ${\$${\mathcal{M},X\models ^{+}Rt_{1$}\1$}\ldots t_{n}}$ 만일 모든$$ 할당에 $대해{\displaystyle \mathrm{for}}$ X ${\displaysty s\in X$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle R}$ t ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$… t ${\$${\mathcal {M}},s\models Rt_{1}\ldots t_{n}}$ in the sense of first-order logic (that is, the tuple ${\displaystyle \!(s(t_{1})\ldots s(t_{n}))}$ is in the interpretation ${\displaystyle R^{\mathcal {M}}}$ of ${\displaystyle R}$).
2. ${\$${\mathcal{M},X\models ^{+}t_{1$$}}=t_{2}}:$ 모든$$ 할당에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle s\in$ X$},$${\displaystyle M\mathcal{}}$, s${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$${\mathcal$${M},s\models t_{1}=t_{2$}}: 1차 논리($s{\displaystyle }$ (, ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$) = ${\displaystyle s}$( ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaysty s(t_{1}}=s(t_{2})}).$
3. ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{+}\lnot \phi }$만 해당${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{-}\phi$ $\}.$
4. ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{+}\varphi \wedge \psi }$만(M$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$\!)!${\mathcal{M},X\models ^{+}\varphi }$ 및$$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{+}\psi$ $\}.$
5. ${\displaystyle \!$${\$$mathcal {M},X\models ^{+}\varphi \ve \$$psi$ $}$ 팀이 ${\displaystyle 있는}$ 경우에만$!$${\displaystyle Y}$$}$ 및 Z ${\디스플레이$ 스타일 $\!$$X$$$=${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \cup }$ Z ${\displaystyle X=Y\컵 Z}$ 및 ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ + ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},Y\models ^{+}\varphi }$ 및$$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, Z ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},Z\models ^{+}\psi$ $\}.$
6. ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{+}(\all v/V)\varphi }$만 해당하면, X${\displaystyle }$[ ${\displaystyle M}$/${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X[M/v]\models ^{+}\varphi$ $\}.$
7. ${\displaystyle \!$${\mathcal {M}},X\models ^{+}(\exists v/V)\varphi }$ if and only if there exists a ${\displaystyle V}$-uniform function ${\displaystyle F:X\rightarrow M}$such that ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X[F/v]\models ^{+}\phi$ $\}.$

부정적인 만족도:

1. ${\$${\mathcal {M}},X\models ^{-}Rt_{1}\ldots t_{n}}$ if and only if, for every assignment ${\displaystyle s\in X}$, the tuple ${\displaystyle \!(s(t_{1})\ldots s(t_{n}))}$ is not in the interpretation ${\displaystyle R^{\mathcal {M}}}$ of ${\displaystyle R}$.
2. ${\$${\mathcal {M},X\models ^{-}t_{1}=t_{2}}:$ 모든$$ $할당$에 대해 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle s}$$\in$ X$\},$ s${\displaystyle }$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \ne }$ s${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaysty s(t_{1})\neq$ s$(t_{2$
3. ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{-}\lnot \pi }$만 해당, ${\displaystyle X{}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{+}\phi$ $\}.$
4. ${\displaystyle$$$${\$$mathcal {M},X\models ^{-}\varphi \wedge \$$psi$ $}$ 팀이 ${\displaystyle 있는}$ 경우에만$!$${\displaystyle Y}$$}$ 및 Z ${\디스플레이$ 스타일 $\!$$X$$$=${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X=Y\cup Z}$ 및$$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$\!${\mathcal{M},Y\models ^{-}\varphi }$ 및$$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, Z ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},Z\models ^{-}\psi$ $\}.$
5. ${\displaystyle$$$${\mathcal {M},X\models ^{-}\varphi \ve \psi }$만 해당, X${\displaystyle {}^{}x}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{-}\varphi }$ 및$$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X\models ^{-}\psi$ $\}.$
6. ${\displaystyle \!$${\mathcal {M}},X\models ^{-}(\forall v/V)\varphi }$ if and only if there exists a ${\displaystyle V}$-uniform function ${\displaystyle F:X\rightarrow M}$such that ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X[F/v]\models ^{-}\phi$ $\}.$
7. ${\displaystyle \!$${\mathcal {M},X\models ^{-}(\exists v/V)\varphi }$만 해당, X${\displaystyle }$[${\displaystyle M}$/ v ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \!$${\mathcal{M},X[M/v]\models ^{-}\varphi$ $\}.$

진실, 거짓, 불결함

According to team semantics, an IF sentence ${\displaystyle \varphi }$ is said to be true (${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{+}\varphi }$) on a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ if it is satisfied on ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ by the singleton team ${\displaystyle$$\{\emptyset \}}$, in symbols: ${\displaystyle {\mathcal {M}},\{\emptyset \}\models ^{+}\varphi }$. Similarly, ${\displaystyle \varphi }$ is said to be false (${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{-}\varphi }$) on ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ if ${\displaystyle \mathcal{M},\{\mathrm{\varnothing }\}{\models }^{-}}$${\displaystyle {\mathcal {M}},\{\emptyset \}\models ^{-}\varphi }$; it is said to be undetermined (${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{0}\varphi }$) if ${\displaystyle {\mathcal {M}},\{\emptyset \}\not \models ^{+}\varphi }$ and ${\displaystyle {\mathcal {M}$$}},\{{\emptyset$\}\$not$\not \$beat ^{-}\varphi$ $\}.$

게임-이론적 의미론과의 관계

For any team ${\displaystyle X}$ on a structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, and any IF formula ${\displaystyle \varphi }$, we have: ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{+}\varphi }$ iff ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models _{GTS}^{+}\varphi }$ and${\displaystyle \mathcal{M}}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M},X\models ^{-}\varphi }$$iff$ M${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ G ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M},X\models _{GTS}^{-}\varphi$ $\}\}.$

From this it immediately follows that, for sentences ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{+}\varphi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{+}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{-}\varphi \Leftr$$ightarrow {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{-}\varphi }$ and ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models ^{0}\varphi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{0}\varphi }$.

등가 개념

IF 논리는 통상적인 가속도에서는 3가치로 계산되므로, 여러 개념의 공식 등가성이 관심 대상이다.

수식의 등가성

$\phi {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi }$을(를) IF 공식 2개로 한다$$.

${\displaystyle \varphi \models ^{+}\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ truth entails ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{+}\varphi \Rightarrow {\mathcal {M}},X\models ^{+}\psi }$ for any structure ${\displaystyle {\mathcal$${$${\displaystyle M}$$}}$과(와) $모든$ $팀{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}($${\displaystyle 와)}$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle \text{Free}}$( display ) {\$displaystyle dom(X)\supseteq$ {\$mbox{Free}}(\varphi )\cup{\mbox}}}\\$mbox{$pi$

${\displaystyle \varphi \equiv ^{+}\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ is truth equivalent to ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle \varphi \models ^{+}\psi }$ and ${\displaystyle \psi \models ^{+}\varphi }$.

${\displaystyle \varphi \models ^{-}\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ falsity entails ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{-}\psi \Rightarrow {\mathcal {M}},X\models ^{-}\varphi }$ for any structure ${\displaystyle {\mathc$${\displaystyle \mathrm{al}}$${M$${\displaystyle \}\}}$과(와${\displaystyle )}$ $같은{\displaystyle }$$$모든 팀 X {\displaystyle $X}$와${\displaystyle (\mathrm{와<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="785">}}$) $displaystyle dom(X$displaystyle $dom$(X$)\$supseteq${\mbox{Free}}\mbox{pi$

${\displaystyle \varphi \equiv ^{-}\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ is falsity equivalent to ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle \varphi \models ^{-}\psi }$ and ${\displaystyle \psi \models ^{-}\varphi }$.

${\displaystyle \varphi \models \psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ strongly entails to ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle \varphi \models ^{+}\psi }$ and ${\displaystyle \varphi \models ^{-}\psi }$.

${\displaystyle \varphi \equiv \psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ is strongly equivalent to ${\displaystyle \psi }$) if ${\displaystyle \varphi \equiv ^{+}\psi }$ and ${\displaystyle \varphi \equiv ^{-}\psi }$.

문장의 등가성

위의 정의는 IF 문장에 대해 다음과 같이 전문화한다.2 IF 문장 $sentences{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi }$은 동일한 구조에서 참이면 진실에 준하는 것이며$$, 동일한 구조에서 거짓이면 거짓에 준하는 것이며, 진실에 준하는 것과 거짓에 모두 해당하는 경우에는 강력하게 동등하다.

직관적으로 강한 동등성을 사용하는 것은 IF 논리를 3-값(참/미확정/거짓)으로 간주하는 것과 같은 반면, 진리 동등성은 IF 문장을 2-값(참/불합격)인 것처럼 취급한다.

컨텍스트에 대한 동등성

IF 논리의 많은 논리적 규칙은 공식이 나타날 수 있는 맥락을 고려하는 등가성의 보다 제한된 개념의 관점에서만 적절하게 표현될 수 있다.

For example, if ${\displaystyle U}$ is a finite set of variables and ${\displaystyle U\supseteq {\mbox{Free}}(\varphi )\cup {\mbox{Free}}(\psi )}$, one can state that ${\displaystyle \varphi }$ is truth equivalent to ${\displaystyle \psi }$ relative to ${\displaystyle U}$ ($$${\displaystyle \varphi \equiv _{U}\psi }$) in case ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{+}\psi \Leftrightarrow {\mathcal {M}},X\models ^{+}\varphi }$ for any structure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ and any team ${\displaystyle X}$ of domain ${\displa$$ystyle$ U$\}.$

모형-이론적 특성

문장 수준

IF 문장은 스콜레마이징 절차(위 참조)를 통해 (기능적)실존적 2차 논리(${\displaystyle {EX1\mathrm{}}_{}^{}}$.1 ${\$의 문장으로 번역될 수 있다.반대로 모든 ${\displaystyle {\sigma 1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}{1$}}$는 부분 순서가 지정된 정량자()에 대한 Walkoe-Enderton 번역 절차의 변형을 이용하여 IF 문장으로 번역할$$ 수 있다.^[13][14]$즉{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ IF ${\displaystyle {논리\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\$1}는 문장$$ 수준에서 표현적으로 동등하다.이 동등성은 follow ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}1$}:{$1}에서 상속되며$$ 많은 경우 FOL의 특성과 유사한 특성을 증명하는 데 사용될 수 있다.

$우리$는 T ${\displaystyle T}$을 IF 문장의 집합으로 나타낸다.

• Löwenheim-Skolem 속성: $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 무한 모델 또는 임의로 큰 유한 모델을 가지고$$ 있는 경우, 모든 무한 카디널리티의 모델을 가지고 있는 경우.
• 실존적 컴팩트: ${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ $유한{\displaystyle {}_{}}$ T 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}\subseteq$ T$}$에 모델이 있으면$$ T ${\displaystyle$ T$}$에도 $모델$이 있다$$.
• Failure of deductive compactness: there are ${\displaystyle T,\varphi }$ such that ${\displaystyle T\models \varphi }$, but ${\displaystyle T_{0}\not \models \varphi }$ for any finite ${\displaystyle T_{0}\subset T}$. This is a difference from FOL.
• Separation theorem: if ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ are mutually inconsistent IF sentences, then there is a FOL sentence ${\displaystyle \theta }$ such that ${\displaystyle \varphi \models ^{+}\theta }$ and ${\displaystyle \psi \models ^{+}\lnot \theta }$. This is a consequence of Craig's FOL에 대한 보간 정리.
• 버지스의 정리:[15]만약 φ,ψ{\displaystyle \varphi ,\psi}은 상호 일관성 없는 만약 문장, 다음은 만약 문장 θ{\theta\displaystyle}가 φ ≡+θ{\displaystyle \varphi\equiv ^{+}\theta}과ψ ≡+¬θ{\displaystyle \psi\equiv ^{+}\lnot \theta}(제외하고 도대체 one-element.공백이쿡쿡 찌르다특히 이 정리는 IF 논리의 부정은 진리 등가성에 관한 준법적 연산(진리 등가문장은 비등가 부정이 있을 수 있음)이 아님을 드러낸다.
• 진실의 Definability:[16]가 만약 문장 TRUE(c){TRUE(c)\displaystyle}, 페아노 산술의 언어에 그러한, 어떤 IF로, φ{\displaystyle \varphi,}, N⊨φ⇔ N⊨ TRUE\Leftrightarrow \varphi{\displaystyle \mathbb{N}\models(⌜ φ ⌝)\mathbb{N}\models 진짠(\ulcorner \varphi \ur 있다.옥수수$er )}($여기서 $⌜{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⌝}$ ⌝ ${\displaystyle \ulcorner$ \$urcorner }$은(는) 괴델 번호 매기기(Gödel 번호 매기기)를 의미한다$$.약한 진술은 또한 Peano Matculation()의 비표준 모델을 나타낸다.^[17]

수식레벨

팀에 의한 만족의 개념은 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• Downward closure: if ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{\pm }\varphi }$ and ${\displaystyle Y\subseteq X}$, then ${\displaystyle {\mathcal {M}},Y\models ^{\pm }\varphi }$.
• Consistency: ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{+}\varphi }$ and ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models ^{-}\varphi }$ if and only if ${\displaystyle X=\emptyset }$.
• Non-locality: there are ${\displaystyle {\mathcal {M}},X,\varphi }$ such that ${\displaystyle {\mathcal {M}},X\models \varphi \not \Leftrightarrow M,X_{\upharpoonright {\mbox{Free}}(\varphi )}\models \varphi }$.

IF 공식은 팀에 의해 충족되고 고전적 로직의 공식은 할당에 의해 충족되기 때문에 IF 공식과 일부 고전적 로직 시스템의 공식 사이에는 명확한 상호 번역이 없다.하지만, IF공식의 관계적인 Σ 11{\displaystyle \Sigma_{1}^{1}}( 그렇게 뚜렷한 번역 τ U, R{\displaystyle \tau_{U,R}}을 위해 각각의 유한 U⊇ 자유(φ){\displaystyle U\supseteq{\mbox{자유}}(\varphi)}의 문장과는 predi의 각 선택에 번역 procedure[18] 있다.고양이e $arity{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle U}$)$$${\$$displaystyle$ card($U)}$의 $기호{\displaystyle }$ R {\$displaystyle R}.$$$In this kind of translation, an extra n-ary predicate symbol ${\displaystyle R}$ is used to represent an n-variable team ${\displaystyle X}$. This is motivated by the fact that, once an ordering ${\displaystyle v_{1}\dots v_{n}}$ of the variables of ${\displaystyle dom(X)}$ has been fixed,it is possible to associate a relation ${\displaystyle Rel_{v_{1}\dots v_{n}}(X)=\{(s(v_{1}),\dots ,s(v_{n})) s\in X\}}$ to the team ${\displaystyle X}$. With this conventions, an IF formula is related to its translation thus:

${\displaystyle {\mathcal{M},X\models \varphi \Leftrightarrow({M},Rel_{v_{1}}\dots v_{n}}(X)\models \tau _{dom(X),R}(\varphi )}}}}}}}$

where ${\displaystyle (M,Rel_{v_{1}\dots v_{n}}(X))}$ is the expansion of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ that assigns ${\displaystyle Rel_{v_{1}\dots v_{n}}(X)}$ as interpretation for the predicate ${\displaystyle R}$.

이러한 상관관계를 통해$,$ $구조{\displaystyle \mathcal{}}$ M$${\$displaystyle${\$mathcal{M}$에서, $IF{\displaystyle }$ 공식 $\$ {\$displaystyle$ \$varphi }$ n-ary관계의 $패밀리$가 M {\$displaystystyle {\mathcal{M}}($${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle {ve{}_{}}_{}}$ v ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$…$v$ n$)$을 정의한다고 말할 수 있다.$yle Rel_{v_{1}\dots v_{n}}(X)}($${\displaystyle \mathrm{M<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; Rel\_\{v\_\{1\}\backslash dots\; v\_\{n\}\}(X)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3b4a5646160fa1d4d4755e28b2ff74c7f2d94720"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:12.879ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="946">}}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle {\mathcal {\mathcal {M$},X$\models \$varphi }).$$

2009년 Kontinen과 Väänänen,[19]의 일부를 역 번역 절차에 의해서, 된 것은 관계의 가족들 만약 논리 이들은, 아래쪽 문을 닫고 정의할 수 있는 관계 Σ 11{\displaystyle \Sigma_{1}^{1}에}비공은 여분의 조건자와 함께 R{R\displaystyle}에 의해 정의할 수 있는 있는(혹은, e.quiv$\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1} 문장으로$$ 정의 가능하며, 이 문장은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 부정적으로만 발생한다$$.

확장 IF 논리

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다.(2012년 10월)

만약 논리가 고전적인 부정 하에서 닫히지 않는다면.IF 논리의 부울 폐쇄는 확장 IF 논리로 알려져 있으며 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 적절한 파편과 동등하다($$그림에라 외. 2011).힌티크카(1996, 페이지 196)는 "사실상 모든 고전 수학은 IF 1차 순서의 확장 논리로 할 수 있다"고 주장했다.

속성 및 비평

IF 로직의 많은 속성은 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\$}:{1$}}$와의 논리적 동등성에서 따르며$$, 콤팩트성 정리, 뢰웬하임-스콜렘 정리, 크레이그 보간 정리 등 1차 논리에 더 가깝게 한다.(Vénenen, 2007, 페이지 86).그러나 Vénénen(2001)은 적어도 하나의 이진 술어 기호(Val이_IF 나타내는 세트)를 가진 IF 논리의 유효한 문장 집합이 하나의 이진 술어 기호(Val이² 나타내는 세트)를 포함하는 어휘에서 유효한 (전체) 2차 문장의 해당 집합과 반복적으로 이형화됨을 증명하였다.더욱이 Vénénen은 Val이² 완전한 π 정의₂ 정수 집합이며, 어떠한 유한한 m과 n에 대해서도$$ ${\displaystyle {\sigma n}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 Val이² 없음을 보여주었다.베네넨(2007, 페이지 136–139)은 복잡성 결과를 다음과 같이 요약한다.

문제	일차 논리학	IF/의존성/ESO 논리
결정	${\displaystyle {\mathrm{\sigma }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$예:	${\displaystyle \Pi _{2}}$
비유효성	${\displaystyle {\mathrm{\pi }}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$co-r.e)	${\displaystyle \Sigma _{2}}$
일관성	${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$	${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$
불일치	${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$	${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$

페퍼만(2006)은 베네넨의 2001년 결과를 인용하여 만족도가 1차적인 문제일 수도 있지만, 일반적으로 모든 구조물에 대해 "완전한 2차 순서의 논리(empressis Feferman's)"에 대해 Verifier의 승리 전략이 있는지 여부에 대한 질문(Contra Quintikka)을 제기한다.Feferman은 또한 확장 IF 논리의 주장된 유용성을 공격했는데, 이는 because ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}1}1$}$의 문장들이 게임 이데올로기 해석을 인정하지 않기$$ 때문이다.

참고 항목

• 게임 의미론
• 분기 정량자
• 의존 논리

메모들

참조

외부 링크

• Tulenheimo, Tero. "Independence friendly logic". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Hodges, Wilfrid. "Logic and Games". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• IF 로직 on Planet Math