레비 계층 구조

세트 이론과 수학 논리학에서 아즈릴 레비가 1965년에 도입한 레비 계층 구조는 제르멜로-프렌켈 세트 이론의 공식 언어의 계층 구조로, 전형적으로 세트 이론의 언어라고만 불린다.이것은 산술 언어의 문장에 대해 유사한 분류를 제공하는 산술적 계층 구조와 유사하다.

정의들

집합 이론의 언어에서 원자 공식은 각각 x = y 또는 x y y 형식이며, 평등을 나타내며 멤버쉽 술어를 설정한다.

레비 계층의 첫 번째 수준은 무한정 계량자가 없는 공식만을 포함하는 것으로 정의되며, ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ = { ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 표시된다$.$^[1]다음 수준은 혼전 정규 형태에서 동등한 공식을 찾아내고 정량자의 변화 수를 계산함으로써 주어진다.

ZFC 이론에서 공식 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(^[1]를) 다음과 같이 부른다$$.

${\displaystyle {\mathrm{\sigma }}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\Sigma _{i+1}$$A가$$\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1.${\displaystyle {}_{}}$. .${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \exists x_{1$}와 같으면$$$$$...$$\exists x_{n}B$}, 여기서$$B ${\displaystyle B}$은(는) ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i ${\$}}}이다$.$

${\displaystyle {\mathrm{\pi }}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$+ 1 ${\$$displaystyle$ $\Pi _{i+1}$$}$이$({\displaystyle \mathrm{}{가\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle .}$ x 1 . . . ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ B ${\displaystyle \forall x_{$1}인 경우$$$...$$\all x_{n}B}$의 ZFC에서$$ 여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$은(는) ${\displaystyle {is}_{}}$ i ${\$이다.

공식이 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $_$${i}$와 π ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 모두인 경우,$$$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$라고 한다$.$ 공식이 혼전 정규 형태로 여러 가지 다른 수준의 공식을 가질 수 있기 때문에 몇 가지 다른 계층에 속할 수 있다.이 경우 가능한 최저 수준은 공식의 수준이다.

또는 레비는 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{F}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}^{}}$ ${\$}을(를) 사용하기도 했다.$FC}}($resp).${\$${\displaystyle {\sigma }_{}}$$$i$$${\$resp).${\displaystyle {\mathrm{\pi }}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및 Pohlers는 특히$$ 의미론적으로 ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${$1}를 정의했는데, 이 공식은 구조 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle M}$에서 "${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$\1$}$이다.$$^[2]

레비 계층 구조는 때때로 다른 이론 S에 대해 정의된다.In this case ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ and ${\displaystyle \Pi _{i}}$ by themselves refer only to formulas that start with a sequence of quantifiers with at most i−1 alternations, and ${\displaystyle \Sigma _{i}^{S}}$ and ${\displaystyle \Pi _{i}^{S}}$ refer to formulas equivalent to σ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및$$ π ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 공식은$$ 이론 S의 언어로 제공된다.따라서 위에서 정의한 ZFC용 Lévy 계층 구조의$$ σ i ${\$ 및$$ π ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}^{}}$ $_{i}}$을(를) 엄격히 말하면 σ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\$로 표시되어야 한다.$FC}$ 및$$ π ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle F_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\$$FC}$ $.$

예

σ₀=π₀=Δ₀ 공식과 개념

• x = {y, z}
• x ⊆ y.^[3]
• x는 transitive 집합이다.^[3]
• x는 서수, x는 한계 서수, x는 후속 서수^[3]
• x는 유한 서수형이다^[3].
• 첫 번째 카운트 가능한 서수 Ω.^[3]
• f는 함수다.x는 함수의 범위 또는 도메인이다. y는 x에 대한 f의 값이다.
• x는 두 세트의 제품이다.
• x는 y의 결합이다.^[3]

Δ-공식₁ 및 개념

• x는 y에 대한 근거가 충분한 관계다.
• x는 유한하다.
• 순서형 덧셈과 곱셈과 지수
• 집합의^[4] 순위(괴델의 구성 가능한 우주에 관한 것)
• 세트의 전이성 폐쇄

σ-공식₁ 및 개념

• x는 셀 수 있다.
• X ≤ Y , X = Y
• x는 구성 가능하다.

π-공식₁ 및 개념

• x는 추기경이다.
• x는 일반 추기경이다.
• x는 한계 추기경이다.
• x는 접근하기 어려운 추기경이다.
• x는 y의 힘이다.

Δ-공식₂ 및 개념

• κ은 초소형이다.

σ-공식₂ 및 개념

• 연속 가설
• 접근하기 어려운 추기경이 있다.
• 측정할 수 있는 추기경이 있다.
• κ은 n자 추기경이다.

π-공식₂ 및 개념

• 구성성 공리: V = L

Δ-공식₃ 및 개념

σ-공식₃ 및 개념

• 초소형 추기경이 있다.

π-공식₃ 및 개념

• κ은 확장 가능한 추기경이다.

σ-공식₄ 및 개념

• 확장 가능한 추기경이 있다.

특성.

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참고 항목

• 산술 계층 구조
• 절대성

참조

• Devlin, Keith J. (1984). Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic. Berlin: Springer-Verlag. pp. 27–30. Zbl 0542.03029.
• Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 183. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
• Kanamori, Akihiro (2006). "Levy and set theory". Annals of Pure and Applied Logic. 140 (1–3): 233–252. doi:10.1016/j.apal.2005.09.009. Zbl 1089.03004.
• Levy, Azriel (1965). A hierarchy of formulas in set theory. Mem. Am. Math. Soc. Vol. 57. Zbl 0202.30502.