주입 피복

수학에서, 주입된 아벨리아 그룹들은 sheaf cohomology(및 sheaf Ext와 같은 다른 파생된 functors)를 정의하는 데 필요한 분해능을 구성하기 위해 사용된다.

셰이브에 적용되는 관련 개념의 다른 그룹이 있다: 플랑비(프랑스어로 플라스크), 미세한, 부드러운(프랑스어로 마우), 반복적인.그들은 주제의 역사에서 1957년 알렉산더 그로텐디크의 "토호쿠 논문" 이전에 소개되었는데, 이것은 주입 물체의 아벨 범주 개념이 이론을 발견하기에 충분하다는 것을 보여주었다.다른 계급의 셰이브는 역사적으로 오래된 개념이다.코호몰로지 및 파생 펑터를 정의하기 위한 추상적인 프레임워크는 그것들이 필요하지 않다.그러나, 대부분의 구체적인 상황에서, 반복적인 피복에 의한 결심은 종종 구성하기가 더 쉽다.따라서 Acyclic sheaves는 예를 들어 Leray 스펙트럼 시퀀스와 같은 계산 목적으로 사용된다.

주입 피복

An injective sheaf ${\mathcal {F}}$ is a sheaf that is an injective object of the category of abelian sheaves; in other words, homomorphisms from ${\mathcal {A}}$ to ${\mathcal {F}}$ can always be extended to any sheaf ${\mathcal {B}}$ co ${\mathcal {A}}.$ . ${\mathcal {A$ 을(를) 연결. $}$

아벨리우스 껍질의 범주는 충분한 주입 물체를 가지고 있다: 이것은 모든 피복이 주입 피복의 하위 피복이라는 것을 의미한다.그로텐디크의 이 결과는 범주의 생성자의 존재로부터 따르게 된다(명시적으로 기록할 수 있으며, 하위 객체 분류기와 관련이 있다).이것은 어떤 좌뇌정확한 좌뇌정합체의 오른쪽 파생된 펑터가 존재하며 표준 이형성에 따라 독특하다는 것을 보여주기에 충분하다.

기술적 목적을 위해, 주입식 피복은 대개 위에서 언급한 피복의 다른 부류보다 우수하다: 그들은 다른 부류가 할 수 있는 거의 모든 것을 할 수 있고, 그들의 이론은 더 단순하고 일반적이다.사실 주입식 피복은 얇고 부드러우며 반복적이다.그러나, 다른 등급의 피복은 자연적으로 발생하는 상황도 있으며, 특히 구체적인 계산 상황에서는 더욱 그러하다.

이중 개념인 투사형 피복은 많이 사용되지 않는다. 왜냐하면 일반적인 피복 범주에서는 그것들 중 충분하지 않기 때문이다. 모든 피복이 투사형 피복의 지표가 되는 것은 아니며, 특히 투사형 피복은 항상 존재하는 것은 아니다.예를 들어 자리스키 위상에서의 투사적 공간에 대한 피복의 범주를 볼 때 그렇다.이는 오른쪽 정확한 펑터(Tor 등)의 왼쪽 파생 펑터를 정의할 때 문제를 일으킨다.이것은 때때로 임시방편으로 이루어질 수 있다: 예를 들어, 토르의 왼쪽 파생 펑터는 투사적인 것이 아니라 평탄한 해상도를 사용하여 정의할 수 있지만, 이것이 해상도와 무관하다는 것을 보여주기 위해서는 약간의 작업이 필요하다.예를 들어, 서류철에 있는 서류철들의 카테고리가 충분한 투영물을 포함하고 있는 것은 아니다.

아크리클릭 쉬브스

X에 대한 ${\mathcal {F}}$ 반복적인 sheaf ${\mathcal {F}}$ ${\$ 은(는) 모든 상위 sheaf cohomology 그룹이 사라지는 것과 같은 것이다.

모든 피복의 동종학 그룹은 그것의 어떤 반복적인 분해능으로부터 계산될 수 있다(이는 De Rham-Weil 정리라는 이름으로 통한다).

고운 자루

X에 대한 미세한 피복은 "통합의 일부"를 가진 피복이다; 더 정확히 말하자면, X 공간의 어떤 열린 피복에 대해 우리는 각각의 동형성이 열린 피복의 일부 요소 바깥에 0이 되도록 1의 합을 가진 피복으로부터 그 자체로 동형체들의 가족을 찾을 수 있다.

미세한 조각은 보통 파라콤팩트 하우스도르프 공간 X에서만 사용된다.대표적인 예가 그러한 공간에 걸쳐 연속적인 실질 가치 함수의 세균 덩어리, 또는 매끄러운 (기생성 하우스도르프) 다지관의 부드러운 기능, 또는 이러한 고리 덩어리 위의 모듈들이다.또한, 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위로 가는 칼집은 부드럽고 매끈매끈하다.

알렉산더-스페인어 해상도를 이용하여 가는 칼집에 의해 매끄러운 다지관에서 칼집의 분해능을 찾을 수 있다.^[1]

응용 프로그램으로 실제 다지관 X를 고려하십시오.(매끄러운) 차동 형태의 미세한 조각에 의한 $\mathbb {R}$ 상수 $\mathbb {R}$ R ${\$ { $R}$ 의 분해능은 다음과 같다.

0\to \mathb {R}\to C_{X}^{0}\to C_{X}^{1}\cdots \to C_{X}^{X}^{\dim X}\to 0.

이것은 해결책이다. 즉 푸앵카레 보조정리기가 만든 정확한 칼집이다. $\mathbb {R}$ R ${\$ 의 값을 갖는 X의 동종학은 전지구적으로 정의된 미분형 복합체의 동종학으로 계산할 수 있다 $\mathbb {R}$ .

H^{i}(X,\mathb {R} )=H^{i}(C_{X}^{\bullet }(X)).

소프트 셰이브

X 위에 ${\mathcal {F}}$ 있는 부드러운 조각 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 은(는) X의 닫힌 부분 집합 위에 있는 모든 부분을 전역 섹션으로 확장할 수 있는 하나의 부분이다.

부드러운 피복은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 순환한다.

플라스크나 플랑크기

플라스크 쉬프(flashby sheaf라고도 함)는 다음 속성을 가진 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ F ${\$ { $F}}$ 이다. $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 이 $X$ (가) 셰프가 정의되고 있는 기본 위상학적 공간인 경우

U\subseteq V\subseteq X}

열린 하위 집합, 그 다음 제한 맵

r_{U\subseteq V}\감마(V, {\mathcal {F})\감마(U, {\mathcal {F})로

그룹(링, 모듈 등)의 지도로서 처절하다.

플라스크 피복은 (정의상) 그 부분이 확장되기 때문에 유용하다.이것은 그들이 동역학 대수학의 관점에서 다루어야 할 가장 단순한 덩어리들 중 일부라는 것을 의미한다.어떤 칼집이든 에탈레 공간의 모든 불연속 섹션의 플라스크 칼집에 표준적으로 내장되어 있고, 이것을 반복함으로써 우리는 어떤 칼집에 대한 표준 플라스크 해상도를 찾을 수 있다.플라스크 결의, 즉 플라스크 피복에 의한 결의는 피복 코호몰로지 정의에 대한 하나의 접근법이다.

플라스크 덮개는 부드럽고 매끈매끈하다.

플라스크는 프랑스어로 가끔 영어로 엉성하게 번역되기도 했다.

참조

^ Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - Springer. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 94. pp. 186, 181, 178, 170. doi:10.1007/978-1-4757-1799-0. ISBN 978-1-4419-2820-7.

Godement, Roger (1998), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8, MR 0345092
Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 9 (2): 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537
MathOverflow의 "Shaf 코호몰로지 및 주입 해상도"

[1] Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - Springer. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 94. pp. 186, 181, 178, 170. doi:10.1007/978-1-4757-1799-0. ISBN 978-1-4419-2820-7.

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