해상도(알지브라)

수학에서, 그리고 보다 구체적으로 말하면, 분해능(또는 좌해상도, dualally coreolution 또는 우해상도^[1])은 이 범주의 특정 모듈이나 물체의 구조를 특징짓는 불변수를 정의하는 데 사용된다.보통처럼 화살표가 오른쪽으로 향할 때, 그 순서는 왼쪽(왼쪽) 해상도를 위해, 오른쪽 해상도를 위해 왼쪽(왼쪽)으로 무한하게 되어 있다.그러나 유한 분해능은 시퀀스에 있는 물체 중 미세하게 많은 물체만 0이 아닌 것으로서, 보통 가장 왼쪽의 물체(해상도) 또는 가장 오른쪽의 물체(핵심해상도)가 영점인 유한한 정확한 시퀀스로 표현된다.^[2]

일반적으로 시퀀스의 객체는 일부 속성 P(예를 들어 자유로워짐)를 가지도록 제한된다.그래서 P 결의안을 말한다.특히 모든 모듈에는 자유 분해능, 투영 분해능, 평탄한 분해능이 있으며, 자유 모듈, 투영 모듈 또는 평탄한 모듈로 각각 구성된 좌 해상도가 있다.마찬가지로 모든 모듈에는 주입 분해능이 있는데, 주입 모듈로 구성된 올바른 분해능이다.

모듈 해상도

정의들

R 링 위에 모듈 M이 있는 경우, M의 왼쪽 분해능(또는 단순한 분해능)은 R-모듈의 정확한 시퀀스(아마도 무한정)이다.

\cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.

동형체 d는_i 경계 지도라고 불린다.지도 ε을 확대지도라고 한다.간결성을 위해 위의 결의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}{{\longrightarrow }}

이중 개념은 올바른 분해능(또는 코어솔루션 또는 단순한 분해능)이다.특히, 링 R에 대한 모듈 M의 경우, 올바른 분해능은 R-모듈의 무한정 정확한 시퀀스일 수 있다.

0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,

여기서 각 C는ⁱ R-모듈이다(해상도 및 그 사이의 지도에 위첨자를 사용하여 그러한 분해능의 이중성을 나타내는 것이 일반적이다.간결성을 위해 위의 결의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon}{\longrightarrow }}C^{\bullet }}

관련된 모듈 중 미세하게 많은 모듈만 0이 아닌 경우 분해능은 유한하다고 한다.유한 분해능의 길이는 유한 분해능에서 0이 아닌 모듈에 라벨을 붙이는 최대 지수 n이다.

자유, 투영, 주입 및 평탄한 해상도

많은 상황에서 주어진 모듈 M을 해결하는 모듈 E에_i 조건이 부과된다.예를 들어 모듈 M의 자유 분해능은 모든 모듈 E가_i 자유 R-모듈인 좌측 분해능이다.마찬가지로 투영적 해상도와 평탄한 해상도는 모두_i E-모듈이 각각 투영적이고 평탄한 R-모듈이 되도록 남은 해상도다.주입 분해능은 C가ⁱ 모두 주입 모듈인 올바른 분해능이다.

모든 R-모듈에는 자유 좌뇌 분해능이 있다.^[3]Fortiori, 모든 모듈들은 또한 투영적이고 평평한 해상도를 인정한다.증명 아이디어는 E를₀ M의 요소에 의해 생성된 자유 R-모듈로 정의한 다음, E는₁ 자연지도 E₀ → M 등의 커널 요소에 의해 생성된 자유 R-모듈로 정의한 것이다.모든 R-모듈에는 주입 분해능이 있다.투영 분해능(및 보다 일반적으로 평탄한 분해능)을 사용하여 Tor functor를 계산할 수 있다.

모듈 M의 투사 분해능은 체인 호모토피까지 고유하다. 즉, 두 개의 투사 분해능₀ P → M, P₁ → M을 고려할 때 이들 사이에 체인 호모토피가 존재한다.

결의안은 동질학적 치수를 정의하는 데 사용된다.모듈 M의 유한한 투사 분해능의 최소 길이를 투사 치수라고 하며 pd(M)로 표시한다.예를 들어, 모듈이 투사 모듈인 경우에만 투사 치수가 0이다.M이 유한한 투사 분해능을 인정하지 않는 경우 투사 치수는 무한하다.예를 들어, 역류 국부 링 R의 경우, R이 정규적인 경우에만 투사 치수는 유한하며, 이 경우 R의 Krull 치수와 일치한다.유사하게, 주입 치수 ID(M)와 평면 치수 fd(M)도 모듈에 대해 정의된다.

우측 R 모듈의 범주에 주입 및 투영 치수를 사용하여 R의 우측 글로벌 치수라 불리는 R에 대한 동질적 치수를 정의한다.마찬가지로, 평탄한 치수는 약한 지구 치수를 정의하는데 사용된다.이러한 치수의 동작은 링의 특성을 반영한다.예를 들어 반지는 반 구현 링인 경우만 글로벌 치수 0이 되고, 반지는 폰 노이만 정규 링인 경우에만 글로벌 치수 0이 약하다.

등급이 매겨진 모듈 및 알헤브라스

M을 등급화된 대수보다 등급이 매겨진 모듈로 두자. 이 모듈들은 양도의 요소에 의해 한 분야에 걸쳐 생성된다.그 다음 M은 자유 모듈 E를_i d와_i ε이 선형 지도로 등급이 매겨지는 방식으로 등급을 매길 수 있는 자유 분해능을 갖는다.이러한 등급이 매겨진 자유 결의안 중에서, 최소 자유 결의안은 각_i E의 기본 원소의 수가 최소인 결의안이다.각 E의_i 기본 요소 수와 각 요소의 정도는 등급이 매겨진 모듈의 최소 자유 분해능에 대해 동일하다.

필드가 넘는 다항식 링에서 내가 동질적인 이상이라면, I가 정의한 투영 대수학의 카스텔누오보-Mumford 정규성은 최소 자유 분해능에서 E의_i 기본 원소의 정도가 모두 r-i보다 낮은 최소 정수 r이다.

예

자유 분해능의 고전적인 예는 국소 링의 정규 시퀀스 또는 필드 위에서 정밀하게 생성된 등급별 대수에서 동질 정규 시퀀스의 코즐 콤플렉스에 의해 주어진다.

X를 비구적 공간으로 하자. 즉, X의 보편적 커버 E는 수축할 수 있다.그러면 E의 모든 단수(또는 단순한) 체인 콤플렉스는 링 Z뿐 아니라 그룹 링 Z[1998₁(X)]를 통해서도 모듈 Z의 자유 분해능이다.

아벨 범주 내 해결책

아벨 범주 A에서 사물 M의 해상도의 정의는 위와 동일하지만, E와_iⁱ C는 A에서 대상이며, 관련된 모든 지도는 A에서 형태론이다.

투사형 및 주입형 모듈의 유사한 개념은 투사형 및 주입형 물체로서, 따라서 투사형 및 주입형 해상도.그러나 그러한 결의가 일반 아벨리아 범주 A에 존재할 필요는 없다.A의 모든 물체가 투영적(resp)인 경우.주입) 분해능, 그러면 A는 충분한 투영력(resp)을 가지고 있다고 한다.충분한 주입).그들이 존재한다고 해도, 그러한 결심은 종종 함께 일하기 어렵다.예를 들어 위에서 지적한 바와 같이, 모든 R-모듈은 주입 분해능을 가지고 있지만, 이 분해능은 주입 분해능과 함께 동형성 M → M'로 주어지는 functorial은 아니다.

0\오른쪽 화살표 I_{*}\ \ 오른쪽 화살표 M'\오른쪽 화살표 I'_{*

$I_{*}$ 으로 I $∗{\$ 와 $I_{*}$ $∗{\$ 사이에 지도를 얻는 방법은 없다 $I'_{*}$

일반적으로 투영적 결의가 없는 아벨 범주

One class of examples of Abelian categories without projective resolutions are the categories ${\text{Coh}}(X)$ of coherent sheaves on a scheme $X$ . For example, if $X=\mathbb {P} _{S}^{n}$ is projective space, any coherent sheaf ${\display$ $X$ $X$ 의 ${\mathcal {M}}$ $스타일 {\mathcal{M}$ 에 정확한 시퀀스에 의해 프레젠테이션이 제공됨 $X$

$\bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {O}{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}\mathcal {M}\}~0$

The first two terms are not in general projective since $H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0$ for $s>0$ . But, both terms are locally free, and locally flat.두 등급의 피복은 특정 계산에 사용될 수 있으며, 일부 파생 펑터 계산을 위한 투영 분해능을 대체할 수 있다.

반복 분해능

많은 경우에 사람들은 결의안에 나타나는 물체들에 정말로 관심이 없고, 주어진 functor에 관한 결의안의 행동에 관심이 있다.따라서, 많은 상황에서, Acyclic 분해능의 개념이 사용된다: 두 아벨리아 범주 사이에 왼쪽 정확한 functor F: A → B가 주어진다, 분해능.

0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }

A의 물체 M은 F-acyclic이라 불리며, 이때 파생된 functor RF_i(E_n)가 모든 i > 0과 n ≥ 0에 대해 소멸된다. 단, 왼쪽 분해능은 분해능의 물체에서 파생된 functic funct functor에 대해 반복된다.

예를 들어, R 모듈 M이 주어진 경우 텐서 제품 $\otimes _{R}M$ $\otimes _{R}M$ $\otimes _{R}M$ $\otimes _{R}M$ 은 정확한 functor Mod(R) → Mod(R)이다 $\otimes _{R}M$ .모든 평탄한 해상도는 이 functor에 대해 반복적이다.평탄한 분해능은 매 M에 의해 텐서 제품에 대해 반복된다.이와 유사하게, 모든 functor Hom(⋅, M)에 대해 반복적인 분해능은 투영적인 분해능이며 functor Hom(M, ⋅ )에 대해 반복적인 분해능은 주입 분해능이다.

모든 주입(투사형) 분해능은 왼쪽 정확한(각각 오른쪽 정확한) 펑터에 대해 F-acclic이다.

악순환 분해능의 중요성은 F-악순환 분해능의 동질학으로서 파생된 funct functor RF_i(왼쪽 정확한 functor, 마찬가지로 오른쪽 정확한 functor의 LF_i)를 얻을 수 있다는 사실에 있다: 악순환 분해능 $∗{\$ 를 부여하면 우리는 물체 M을 갖게 $E_{*}$ 된다.

R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),

여기서 오른쪽은 복합 $F(E_{*}).$ $F(E_{*}).$ )의 i번째 호몰로지 대상이다 $.$ {\ $displaystyle F(E_{*}).$ $}$

이런 상황은 여러 가지 상황에 적용된다.예를 들어, 다른 다지관 M의 상수 피복 R은 부드러운 미분 형태의 ${\mathcal C}^{*}(M)$ ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ ( ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ $){\displaystyle {\c}^{**}(M)}$ 을(를) 잘라낼 수 있다.

0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.

The sheaves ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ are fine sheaves, which are known to be acyclic with respect to the global section functor $\Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)$ . Therefore, the sheaf cohomology, which is the derived functor of the global section functor γ은 $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ ( $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ , $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ ) $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ = $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ ( C $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ ( $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ ) $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$ . ${\displaystyle \mathrmat {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrmatrm {H} ^{\mathc}^{*}(M$ )로 계산된다 $.$

유사하게 Godement 결의안은 글로벌 섹션 functor와 관련하여 반복적이다.

참고 항목

메모들

^ Jacobson 2009, §6.5는 코어솔루션을 사용하지만, Weibel 1994, Chap. 2에서와 같이 올바른 분해능이 더 일반적이다.
^ 투영 분해능(nLab), 분해능(nLab)
^ 제이콥슨 2009, §6.5

참조

Iain T. Adamson (1972), Elementary rings and modules, University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960, Zbl 0819.13001
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra II (Second ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.

[1] Jacobson 2009, §6.5는 코어솔루션을 사용하지만, Weibel 1994, Chap. 2에서와 같이 올바른 분해능이 더 일반적이다.

[2] 투영 분해능(nLab), 분해능(nLab)

[3] 제이콥슨 2009, §6.5

[1]

[2]

[3]

Search