합계 면적 테이블

합계 영역 테이블은 그리드의 직사각형 서브셋에서 값의 합을 빠르고 효율적으로 생성하기 위한 데이터 구조 및 알고리즘입니다.화상 처리 영역에서는, 적분 화상이라고도 불립니다.그것은 1984년 프랭크 크로우가 맵과 함께 사용하기 위해 컴퓨터 그래픽에 도입되었다.컴퓨터 비전에서는 Lewis에 의해^[1] 널리 보급되어 2001년 Viola-Jones 물체 감지 프레임워크 내에서 "통합 이미지"라는 이름이 붙여졌다.역사적으로, 이 원리는 다차원 확률 분포 함수의 연구, 즉 ^[2]각 누적 분포 함수로부터 2D(또는 ND) 확률(확률 분포 아래의 영역)을 계산하는 연구에서 매우 잘 알려져 있다.

알고리즘

이름에서 알 수 있듯이 합계 영역 테이블의 임의의 점(x, y)에서의 값은 위의 모든 픽셀과 (x, y)의 왼쪽에 있는 모든 픽셀의 합계이며, 다음을 포함합니다.^[3][4]

$\displaystyle I(x,y)=\sum _{\sum {small matrix}x'\leq x\y'\leq y\end {small matrix}i(x',y')}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$i (${\displaystyle }$x ,${\displaystyle y}$) {$displaystyle$ i$(x,y)}$는 (x,y)에서의 픽셀 값입니다.

(x, y)의 합산 영역 테이블 ^[5]값은 다음과 같기 때문에 합산 영역 테이블은 이미지를 한 번에 효율적으로 계산할 수 있습니다.

$(\$$y$$I(x,y-1)+I(x-1,y)-I(x-1,y-1),}($합계 행렬은 왼쪽 위 모서리부터 계산됨)

면적 합계가 계산되면 직사각형 영역의 강도 합계를 평가하려면 면적 크기에 관계없이 정확히 4개의 배열 기준이 필요합니다.즉, A=(x₀, y₀), B=(x₁, y₀), C=(x₀, y₁) 및 D=(x₁₁, y)를 갖는 오른쪽 그림의 표기법은 A, B, C 및 D에 걸쳐 있는 직사각형 위의 i(x,y)의 합은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sum _{\sum {\leq x_{1}\y_{0} <y\leq y_{1}\end {smallmatrix}i(x,y)=I(D)+I(B)-I(C)}$

내선번호

이 메서드는 자연스럽게 연속 ^[2]도메인으로 확장됩니다.

이 방법은 고차원 ^[6]영상으로도 확장할 수 있습니다.직사각형의 모서리가 x$$ {\$displaystyle$ x$^{p}$이고 p$${\$displaystyle$p$}$ in$$ $,1}$ {{$d$인 경우 직사각형에 포함된 이미지 값의 합계는 다음 공식으로 계산됩니다.

${\displaystyle \sum _{p\in \{0,1\}^{d}}(-1)^{d-\p\_{1}I(x^{p}),$

$여기$서 I$x)$ {$displaystyle$ I$(x)}$는$$x{$displaystyle$x}의$통합{\displaystyle }$ $이미지$이고 d{$displaystyle$ d$}$는 이미지 치수입니다.${\displaystyle {표기법}^{}}$ $x$p(\$displaystyle x^{p$})는 d $=$ ${\displaystyle 2}$(\$displaystyle$ $d$$2$$},$ ${\displaystyle {}^{}}$ $=$x${\displaystyle {}^{}}$($0,0$ $B{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle {(1}^{}}$,$0$ C $=$x (${\displaystyle 1^{}}$), $C$$$= 1$style$ 1)에 $대응$하고 있습니다.예를 들어, 시간 제한이 있는 복셀 또는 복셀을 사용하는 경우 영상의 $치수$는 d $=$ ${\displaystyle 3}$ {$displaystyle$ d$=3}$ $또는$ d ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ d$=4$입니다.

이 방법은 Phan ^[7]등의 연구에서와 같이 고차 적분 이미지로 확장되었으며, Phan 등은 영상에서 표준 편차(분산), 왜도 및 국소 블록의 첨도를 빠르고 효율적으로 계산하기 위해 2개, 3개 또는 4개의 적분 이미지를 제공했다.자세한 내용은 다음과 같습니다.

블록의 분산 또는 표준 편차를 계산하려면 다음 두 개의 적분 이미지가 필요합니다.

$\displaystyle I(x,y)=\sum _{\sum {small matrix}x'\leq x\y'\leq y\end {small matrix}i(x',y')}}}$

$\displaystyle I^{2}(x,y)=\sum _{\leq x\y'\leq y\end{small matrix}i^{2}(x',y')}$

분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=sum frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^2}$

${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 1$(\$과 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$2(\$displaystyle S_{2})$는 각각 I$(\displaystyle$ I$)$와 $(\$ I$^{2$의 $블록{\displaystyle }$ A ${\displaystyle C}$ $(\displaystyle$ ABCD$)$의 합계를 나타냅니다.$(\$ $및$ $(\$는 통합 이미지로 빠르게 계산됩니다.이제 분산 방정식을 다음과 같이 조작합니다.

$({displaystyle \operatorname {Var}(X)=sum frac {1}{n})\sum _{i}^{n}(x_{i}^2}-2\cdot \mu \cdot x_{i}+\mu ^{2}=sum frac {1}{n}_{n}(x}-{i})_2}^{i})=sumfrac {1}{n}(\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}-2\cdot \sum _{i=1}^n}(\mu \cdot x_{i})+n\cdot (\mu ^{2})}}$

${\displaystyle = specfrac {1}{n}(\sum _ {i=1}^{n}(x_{i})^{2}-2\cdot \sum _{i}(x_{i})+n\cdot (\mu^{2})=paramfrac {1}{n}(S_{2}-2\cdot S_{1}/n\cdot S_{1}+n\cdot ((S_{1}/n)^2})=paramfrac {1}{n}}(S_{2}-(S_{1})^{2}/n)}$

$여기$서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$1/${\displaystyle n}$ ${displaystyle \mu$=$S_{1}/n}$ $및$ ${\displaystyle {S2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2)${\displaystyle {}_{}^{}}${$displaystyle S_{2$} = \$sum$_ {$i$}^{$n}(x_{i}^2}$ 。

평균($μ$ {\displaystyle $\mu$ 및 분산(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ r$${\$displaystyle$Var})$$의 추정과 유사하며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {각각\mathrm{}}^{}}$ 영상의 1승과 2승(\$displaystyle$ I$, I^{2}})$의 통합 이미지를 필요로 하며, 위와 유사한 조작을 3승과 4승까지 수행할 수 있다.이미지의 파워(${\displaystyle {즉\mathrm{}}^{}}$, I 3${\displaystyle {}^{}x}$ ${\displaystyle ,y}$), ${\displaystyle {I\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}x}$,${\displaystyle y}$)(\$displaystyle I^{3}(x,$ y)),$I^{4}(x,y)}$ .)의 왜도 ^[7]및 첨도를 구한다.그러나 F Shafait 등이 ^[8]언급한 바와 같이 상기 방법에 대해 유의해야 할 중요한 구현 세부사항 중 하나는 32비트 정수를 사용하는 경우 고차 적분 이미지에 대해 정수 오버플로가 발생한다는 것입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 프리픽스 합계

레퍼런스

외부 링크

• 객체 검출에서의 테이블 구현 합계

강의 비디오

• 통합 이미지 알고리즘의 이면에 있는 이론 소개
• Wolfram 시연 프로젝트에서 적분 이미지 알고리즘의 연속 버전에 대한 시연