매직 스퀘어

매직 스퀘어 중 가장 작은(및 회전과 반사까지 고유) 중요하지 않은 케이스, 순서 3

레크리에이션 수학에서, 각 행, 각 열, 그리고 두 개의 주요 대각선의 숫자의 합계가 ^[1]^[2]같으면, 숫자의 정사각형 배열, 보통 양의 정수를 매직 스퀘어라고 합니다.매직 정사각형의 순서는 한 변(n)을 따르는 정수 개수이며, 상수합을 매직 상수라고 합니다.배열에 양의 $1,2,...,n^{2}$ 1, $1,2,...,n^{2}$ , $1,2,...,n^{2}$ $1,2,...,n^{2}$ ({ $displaystyle$ 1, $2$ , ..., $n^{2$ 만 포함되어 있는 경우 매직스퀘어는 정상이라고 합니다.어떤 작가들은 매직 스퀘어를 평범한 매직 ^[3]스퀘어로 받아들인다.

반복 엔트리를 포함하는 매직스퀘어는 이 정의에 해당하지 않으며 사소한 것으로 간주됩니다.사그라다 파밀리아 매직 스퀘어와 파커 스퀘어를 포함한 잘 알려진 몇 가지 예들은 이런 점에서 사소한 것이다.두 대각선이 아닌 모든 행과 열의 합이 마법 상수에 이르면 반마법의 정사각형(정교 사각형이라고도 함)이 됩니다.

마법 정사각형의 수학적 연구는 전형적으로 구성, 분류, 열거를 다룬다.모든 순서의 모든 매직스퀘어를 만드는 완전히 일반적인 방법은 존재하지 않지만, 역사적으로 세 가지 일반적인 기술이 발견되었습니다: 경계법에 의한 방법, 복합 매직스퀘어를 만드는 방법, 그리고 두 개의 예비 정사각형을 추가하는 방법.또한 특정 패턴을 재현하는 연속 열거법과 같은 보다 구체적인 전략도 있다.매직 제곱은 일반적으로 순서 n에 따라 분류된다: n이 홀수일 경우 홀수, n이 4의 배수일 경우 균등하게 짝수, n이 다른 짝수일 경우 특이하게 짝수('싱글리 짝수'라고도 함).이 분류는 홀수, 균등, 기묘하게 짝수 제곱을 구성하는 데 필요한 다양한 기술을 기반으로 합니다.이 외에도, 추가적인 특성에 따라 마법 정사각형은 연상 마법 정사각형, 범대각 마법 정사각형, 가장 완벽한 마법 정사각형 등으로 분류됩니다.더 어려운 것은 주어진 순서의 모든 매직스퀘어를 더 작은 정사각형 집합의 변환으로 분류하려는 시도도 이루어지고 있다는 것입니다.n 5 5를 제외하고, 고차 매직 스퀘어 열거는 여전히 미해결 과제이다.어떤 주문이든 가장 완벽한 마법의 정사각형을 열거하는 것은 20세기 후반에야 이루어졌다.

마법의 광장은 중국에서 적어도 기원전 190년으로 거슬러 올라가는 긴 역사를 가지고 있다.다양한 시기에 오컬트나 신화적인 의미를 획득하여 예술작품의 상징으로 등장하고 있다.현대에는 추가 또는 다른 제약을 사용하고, 셀을 추가하는 대신 곱하고, 대체 도형 또는 2개 이상의 차원을 사용하며, 숫자를 도형으로 대체하고 기하학적 연산을 추가하는 등 여러 가지 방법이 일반화되었습니다.

뒤러의 멜랑콜리아 I(1514)는 주문 4칸과 마법의 합 34를 포함한다.

역사

중국 원나라(1271~1368년)의 동아랍 숫자로 된 6개의 마법의 정사각형 철판.

3차 마법 광장은 기원전 190년 중국의 수학자들에게 알려졌고, 공통 시대의 1세기에 분명히 주어졌습니다.4차 매직 스퀘어의 첫 번째 날짜 지정 사례는 587년 인도에서 발생했습니다.순결의 형제 백과사전(라사일 이크환 알 사파)인 바그다드 983의 백과사전에 3~9계열의 마법 정사각형 표본이 등장한다.12세기 말까지, 마법의 광장을 만드는 일반적인 방법들이 잘 확립되었다.이 무렵에는 샴 알-마아리프처럼 마법의 문자와 함께 오컬트 ^[4]용도로 사용되기도 했다.인도에서는 1356년 나라야나에 의해 4차 범대각선 마법의 사각형들이 모두 열거되었다.마법의 광장은 르네상스 시대에 아랍어 문헌의 오컬트 오브젝트 번역을 통해 유럽에 알려졌고, 일반 이론은 중국, 인도, 중동의 이전 발전과는 독립적으로 재발견되어야 했다.또한 그리스인, 바빌로니아인, 이집트인, 그리고 콜럼버스 이전의 미국인 등 마법의 사각형을 발견하지 못한 수학과 숫자의 전통을 가진 고대 문화들도 주목할 만하다.

중국

청다웨이의 선파통종(1593년)의 9×9 매직 스퀘어 표시 페이지.

3×3 마법의 정사각형 짝수와 홀수의 패턴에 대한 고대 언급이 이칭에 나오는 반면, 이 마법의 정사각형의 첫 번째 예는 1세기 책 대리지의 명당(明堂)이라는 장에서 나타난다.이 ^[5]숫자들은 또한 기원전 190년에 쓰여진 것으로 알려진 슈슈지이(Sushujii)라고 불리는 이전의 수학 텍스트에서도 나타난다.이것은 기록상 가장 초기의 마법 광장의 출현이며, 주로 점술과 ^[5]점성술에 사용되었다.3×3의 마법 광장은 초기 중국 ^[7]수학자들에 의해 "나인 홀"이라고 불렸다.3×3의 마법 사각형과 전설의 뤄슈 도표가 동일시된 것은 12세기에 이르러서 뤄슈 사각형으로 ^[5]^[7]불리게 되었다.3단계 이상의 마법의 정사각형을 보여주는 현존하는 가장 오래된 중국 논문은 1275년에 ^[5]^[7]쓰여진 양희의 '수구절기수안파'이다.양희의 논문 내용은 국내외를 불문하고 오래된 작품에서 수집되었으며, 그는 단지 더 큰 ^[7]정사각형의 완성된 도표를 전달하면서 3차, 4차 마법 정사각형의 건축을 설명한다.순서 3의 마법 정사각형, 순서 4에서 8의 마법 정사각형 2개, 순서 9의 마법 정사각형 1개, 순서 10의 반 마법 정사각형 1개를 지정합니다.그는 또한 다양하고 ^[9]복잡한 여섯 개의 마법 서클을 제공한다.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2	16	13	3
11	5	8	10
7	9	12	6
14	4	1	15

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

13	22	18	27	11	20
31	4	36	9	29	2
12	21	14	23	16	25
30	3	5	32	34	7
17	26	10	19	15	24
8	35	28	1	6	33

46	8	16	20	29	7	49
3	40	35	36	18	41	2
44	12	33	23	19	38	6
28	26	11	25	39	24	22
5	37	31	27	17	13	45
48	9	15	14	32	10	47
1	43	34	30	21	42	4

61	3	2	64	57	7	6	60
12	54	55	9	16	50	51	13
20	46	47	17	24	42	43	21
37	27	26	40	33	31	30	36
29	35	34	32	25	39	38	28
44	22	23	41	48	18	19	45
52	14	15	49	56	10	11	53
5	59	58	8	1	63	62	4

31	76	13	36	81	18	29	74	11
22	40	58	27	45	63	20	38	56
67	4	49	72	9	54	65	2	47
30	75	12	32	77	14	34	79	16
21	39	57	23	41	59	25	43	61
66	3	48	68	5	50	70	7	52
35	80	17	28	73	10	33	78	15
26	44	62	19	37	55	24	42	60
71	8	53	64	1	46	69	6	51

위의 3차부터 9차까지의 마법의 정사각형은 양희의 논술에서 따온 것인데, 이 글에서 뤄수 원리가)의 원리가 ^[7]^[8]뚜렷하다.오더 5의 정사각형은 뤄수 원리에 따라 중앙 3×3의 정사각형으로 테두리가 있는 매직스퀘어입니다.순서 9의 정사각형은 9개의 3×3의 서브 정사각형도 ^[7]마법인 복합 매직 스퀘어입니다.양 후이 후, 마술 사각형 자주 정 Yidong의Dayan suoyin(C.1300), 청 다웨이의 Suanfatongzong(1593년), 마법의 원과, 입방체와 구체들이 있고, 질서 10이 중국 최초의 마방진을 발표했다 장 차오의 Xinzhai zazu(C.1650년),, 그리고 마지막으로 바오 Qish 포함한다고 팽 씨 Zhongtong의 Shuduyan(1661년)으로 중국 수학에서 발생한다.해석의다양한 3차원 ^[5]^[8]마법을 구사한 c.시나이산팡지(1880).하지만, 마법의 광장을 발견한 첫 번째 사람이고 몇 세기 전에 앞서 출발했음에도 불구하고, 마법 광장의 중국 발전은 인도, 중동, 또는 유럽의 발전에 비해 훨씬 뒤떨어져 있다.마법의 정사각형을 다루는 중국 수학의 정점은 양희의 작품 속에 담겨 있는 것으로 보인다; 그러나 오래된 방법들의 모음으로서, 이 작품은 비잔틴 학자들이 비슷한 시기에 쓴 것에 비해 훨씬 더 원시적이고, 어떤 주문의 마법의 정사각형을 구성하는 일반적인 방법이 부족하다.아르 마누엘 ^[7]모스코풀로스이는 아마도 중국 학자들이 높은 제곱을 풀기 위해 적응하려 했던 노수 원리에 사로잡혀 양회, 원나라 멸망 이후 중국 ^[7]수학에 대한 외국의 영향을 체계적으로 숙청했기 때문일 것이다.

일본.

일본과 중국은 수학의 전통이 비슷하고 마법의 ^[10]사각형 역사에서 여러 번 영향을 끼쳤다.일본의 마법광장에 대한 관심은 17세기 양회(s會)의 수안파(fa安波)와 청다웨이(鄭大')의 수안파통종(an安波通宗)이 보급되면서 시작됐고, 그 결과 거의 모든 와산들이 연구에 전념했다.

케츠기쇼 1660년판에서는 이소무라 키토쿠가 홀수, 짝수 모두 마법의 사각형과 마법의 서클을 주었으며, 같은 책 1684년판에는 마법의 사각형에 관한 큰 섹션이 포함되어 있어 그가 마법의 ^[11]사각형에 관한 일반적인 방법을 가지고 있었음을 알 수 있다.무라마츠 쿠다유 모세이의 진코기(1665)에는 마법의 사각형과 마법의 원이 모두 전시되어 있다.모세이의 가장 큰 정사각형 건축물은 19단이다.도카이쇼(1666년), 사토 세이코(1666년), 호시노 사네노부(1673년)^[12]에 의해서도 다양한 마법의 사각형과 마법의 서클이 출판되었다.세키 다카카즈의 7권 (호진옌산)(1683년) 중 하나는 완전히 마법의 사각형과 원에 전념하고 있다.홀수, 단일 짝수, 이중 테두리 매직 스퀘어를 만드는 알고리즘을 ^[13]명료하게 기술한 일본 최초의 마법 스퀘어를 정리한 책이다.1694년과 1695년에 안도 유에키는 마법의 사각형과 3에서 30까지의 사각형들을 만들기 위한 다른 방법을 주었다.라쿠쇼키칸(1683년)에서 다나카 요시자네(1651~1719년)에 의해 4단 마법 큐브가 만들어졌다.세키의 제자, 특히 이리에 슈케이의 이치겐카포 제4권에 전시된 다케베 가타히로, 호진신주쓰의 마츠나가 요시스케, 이코 규시의 쿠루시마 요시히로( ky島義弘)가 이치겐카포의 이치엔카포의 제4권에 전시된 이치엔카포의 제자에 의해 이치히로, 아그 제작법이 재발견되었다.따라서 18세기 초까지 일본 수학자들은 임의의 순서로 마법의 정사각형을 만드는 방법을 손에 넣었다.그 후, 누시즈미 야마지씨가 ^[16]매직 스퀘어를 열거하는 시도를 개시했다.

인도

다른 방향으로 3×3개의 마법 사각형은 19세기 인도 사본에서 나온 비정상적인 6×6 마법 사각형입니다.

3×3의 마법의 사각형은 9개의 행성(나바그라하)을 진정시키기 위해 사용을 추천한 가르가에 의해 가르가삼히타의 인도에서 처음 등장했습니다.이 문서의 가장 오래된 버전은 100 CE로 거슬러 올라가지만, 행성들의 구절은 400 CE 이전에 쓰여졌을 수 없다.인도의 3×3 매직 스퀘어의 첫 번째 날짜 지정 사례는 ^[17]분만하기 위해 분만 중인 여성들에게 처방된 브르다의 의학 텍스트 Siddhayog (900 CE)에서 나타난다.

세계에서 가장 오래된 4차 마법 광장은 587년 경 바라하미히라가 쓴 브랏 삼히타라는 백과사전 작품에서 발견된다.16가지 물질 중 4가지 물질을 선택하여 향수를 만들 수 있는 매직 스퀘어입니다.정사각형의 각 셀은 특정 성분을 나타내며, 셀 내의 숫자는 관련 성분의 비율을 나타내며, 열, 열, 대각선 등의 4가지 성분 조합의 혼합물이 혼합물의 총 부피를 18로 한다.이 책은 대부분 점괘에 관한 것이지만, 마법의 사각형은 조합적인 디자인으로 주어지고 있으며, 마법적인 성질은 여기에 기인하지 않는다.이 매직 스퀘어의 특별한 특징들은 바토팔라(^[18]^[17]966년 경)에 의해 설명되었다.

2	3	5	8
5	8	2	3
4	1	7	6
7	6	4	1

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

위와 같은 바라하미히라의 제곱합은 18이다.여기 숫자 1에서 8이 정사각형에 두 번 나타납니다.그것은 범대각형의 마법 광장이다.1~8 시퀀스의 두 세트 중 하나에 8을 더하면 4개의 다른 매직 스퀘어를 얻을 수 있습니다.숫자 8이 각 행, 각 열 및 각 주 대각선에 정확히 두 번 추가되도록 시퀀스가 선택됩니다.오른쪽에 표시되는 가능한 마법 정사각형 중 하나입니다.이 마법 광장은 13세기 이슬람권에서 가장 인기 있는 마법 ^[19]광장으로 등장했던 마법 광장을 90도 회전시켰다는 점에서 주목할 만하다.

4계 마법의 광장을 건설한 것은 서기 10세기 무렵의 연금술사 나가르주나가 작곡한 '각사푸타'라는 작품입니다.나가르주나가 준 사각형은 모두 4×4개의 마법의 사각형으로, 그 중 하나는 그의 이름을 따서 나가르주니야라고 불린다.나가르주나는 홀수 또는 짝수 마법의 ^[18]합이 주어졌을 때 1차 골격 정사각형을 사용하여 4×4 마법의 정사각형을 만드는 방법을 제공하였다.나가르주니야 광장의 총합은 100이다.

30	16	18	36
10	44	22	24
32	14	20	34
28	26	40	6

7	1	4	6
2	8	5	3
5	3	2	8
4	6	7	1

나가르주니야 광장은 범대각형의 마법 광장이다.나가르주니야 사각형은 각각 8개의 항을 가진 6과 16에서 시작하는 두 개의 산술 수열로 구성되어 있으며, 연속되는 항들 간의 공통적인 차이는 4이다.이 두 진행이 1에서 8까지의 정상 진행으로 감소하면 인접한 정사각형을 구합니다.

12세기 경 인도 카주라호에 있는 파르슈바나트 사원의 벽에 4×4의 마법의 광장이 새겨져 있었다.몇몇 자인 찬가는 날짜가 ^[17]정해지지 않았지만 마법의 사각형을 만드는 법을 가르친다.

알려진 한, 인도의 마법 광장에 대한 최초의 체계적인 연구는 자인 학자인 타카르 페루가 그의 Ganitasara Kaumudi (1315년경)에서 수행했다.이 작품은 9절의 마법의 정사각형에 관한 작은 부분을 포함하고 있다.여기서 그는 4차 제곱을 부여하고 그 재배열을 암시하며, 마법의 제곱을 순서에 따라 3(홀수, 균등, 기묘한 짝수)으로 분류하고, 6차 제곱을 부여하며, 짝수 제곱과 홀수 제곱을 각각 구성하는 방법을 규정한다.짝수 제곱에 대해 페루는 제곱을 4차 성분 제곱으로 나누고 4차 표준 제곱의 패턴에 따라 셀에 숫자를 넣는다.홀수 정사각형의 경우, 페루는 말의 움직임 또는 기사의 움직임을 사용하여 방법을 제공합니다.알고리즘적으로는 다르지만 De la Loubere의 ^[17]방법과 같은 제곱을 얻을 수 있습니다.

마법의 사각형에 대한 다음 포괄적인 작업은 나라야나 판디트가 맡았다.나라야나는 그의 가니타 카우무디(1356)의 14장에서 이러한 건축을 위한 일반적인 방법과 함께 그러한 건축을 지배하는 원리를 제시한다.그것은 규칙에는 55절, 예에는 17절로 구성되어 있다.나라야나는 기사의 움직임을 사용하여 4차 범마법의 모든 사각형들을 구성하는 방법을 제공한다; 회전과 반사에 의해 만들어진 모든 변화를 포함한 4, 384의 범대각 마법 사각형들의 수를 열거한다; 같은 순서의 표준 사각형과 일정한 합을 가진 사각형들에 대한 세 가지 일반적인 방법;합계가 주어졌을 때 짝수, 홀수, 홀수 제곱을 균등하게 구성하는 두 가지 방법.나라야나는 정사각형의 각 종에 대해 하나의 오래된 방법을 기술하고 있지만, 그는 균등하고 홀수인 정사각형의 중첩 방법과 기묘한 짝수인 정사각형의 교환 방법을 자신의 발명이라고 주장한다.중첩 방법은 나중에 유럽에서 De la Hire에 의해 재발견되었습니다.마지막 섹션에서 그는 숫자가 마법의 ^[18]^[17]정사각형과 유사한 특성을 가지도록 배열될 수 있는 원, 직사각형, 육각형과 같은 다른 도형을 구상한다.나라야나가 ^[18]만든 매직 스퀘어의 일부를 이하에 나타냅니다.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

1	35	4	33	32	6
25	11	9	28	8	30
24	14	18	16	17	22
13	23	19	21	20	15
12	26	27	10	29	7
36	2	34	3	5	31

35	26	17	1	62	53	44
46	37	21	12	3	64	55
57	41	32	23	14	5	66
61	52	43	34	25	16	7
2	63	54	45	36	27	11
13	4	65	56	47	31	22
24	15	6	67	51	42	33

60	53	44	37	4	13	20	29
3	14	19	30	59	54	43	38
58	55	42	39	2	15	18	31
1	16	17	32	57	56	41	40
61	52	45	36	5	12	21	28
6	11	22	27	62	51	46	35
63	50	47	34	7	10	23	26
8	9	24	25	64	49	48	33

가장 완벽한 매직스퀘어의 일례이기 때문에 8스퀘어라는 순서는 그 자체로 흥미롭다.덧붙여서, 나라야나는 마법의 정사각형을 연구하는 목적은 얀트라 건축, 나쁜 수학자들의 자존심 파괴, 그리고 훌륭한 수학자들의 즐거움을 위해서라고 말한다.마법의 사각형은 바드라가니타라고 불리며 나라야나는 이것이 시바 ^[17]신이 인간에게 처음 가르쳤다고 말한다.

중동, 북아프리카, 무슬림 이베리아

Book of Wonder(16세기 필사본)의 6×6 매직 스퀘어.

페르시아와 아라비아의 마법 광장의 초기 역사는 알려지지 않았지만, 이슬람 이전 시대에 ^[20]알려졌을 것으로 추측된다.그러나 중세 이슬람에서 마법의 사각형에 대한 연구가 일반적이었다는 것은 분명하고 체스가 이 ^[21]^[22]^[23]지역에 도입된 이후에 시작된 것으로 생각되었다.주문 3의 마법의 정사각형의 첫 번째 날짜 표시는 마법의 정사각형과 관련된 숫자들이 연금술과 ^[8]연관된 자비르 이븐 헤이얀의 키타브 알-마와진 알-사기르(작은 균형책)에서 나타난다.마법의 사각형에 대한 논문이 9세기에 쓰여진 것으로 알려져 있지만, 현존하는 가장 오래된 조약은 10세기부터이다: 하나는 아부엘-와파 알-부자니(c.998년)에 의해 그리고 다른 하나는 알리 b에 의해.아흐마드 알-안타키(c.987)^[22]^[24]^[25]이러한 초기 논문들은 순전히 수학적인 것이었고, 사용된 마법의 정사각형에 대한 아랍어 명칭은 ^[23]숫자의 조화로운 배치로 번역되는 wafq al-a'dad이다.10세기 말까지, Buzjani와 Antaki에 의한 두 개의 논문은 중동 수학자들이 복합 마법 ^[22]^[24]정사각형을 만드는 데 사용된 작은 주문의 단순한 마법 정사각형을 구성하는 방법을 이해했다는 것을 명확히 한다.중동 수학자들이 고안한 3단계에서 9단계의 마법 사각형 표본이 바그다드 983의 백과사전인 라사일 익환 알 사파에 나온다.^[26]Rasa'il의 순서 3 ~7의 제곱은 ^[26]다음과 같습니다.

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

21	3	4	12	25
15	17	6	19	8
10	24	13	2	16
18	7	20	9	11
1	14	22	23	5

11	22	32	5	23	18
25	16	7	30	13	20
27	6	35	36	4	3
10	31	1	2	33	34
14	19	8	29	26	15
24	17	28	9	12	21

47	11	8	9	6	45	49
4	37	20	17	16	35	46
2	18	26	21	28	32	48
43	19	27	25	23	31	7
38	36	22	29	24	14	12
40	15	30	33	34	13	10
1	39	42	41	44	5	3

11세기에는 홀수와 짝수 순서를 위한 간단한 마법 정사각형을 만드는 여러 가지 방법이 발견되었고, 더 어려운 짝수 케이스(n = 4k + 2)는 이븐 알-헤이삼에 의해 k 짝수(c. 1040)로 해결되었고, 11세기 ^[22]후반이 아니더라도 12세기 초에 완전히 해결되었다.비슷한 시기에 범대각형의 사각형들이 건설되고 있었다.마법의 광장에 대한 조약은 11세기와 12세기에 많았다.이러한 이후의 개발은 기존 방법의 개선 또는 단순화가 되는 경향이 있었다.13세기부터 병동에서 마법의 광장은 점점 더 신비로운 ^[22]용도로 사용되었다.하지만, 비술적인 목적으로 쓰여진 이러한 이후의 많은 문서들은 단지 특정한 마법의 사각형을 묘사하고 그들의 구성 원리를 설명하지 않고 그들의 속성을 언급할 뿐이며, 일부 작가들만이 일반 이론을 살아있게 ^[22]한다.그러한 신비주의자들 중 한 명은 알제리 아마드 알 부니로, 국경의 마법 광장을 건설하는 일반적인 방법을 알려줬고, 다른 몇몇 사람들은 17세기 이집트 샤브라마리시와 18세기 나이지리아 알-키슈나위였다.^[27]

세 번째 순서의 마법 광장은 자비르 이븐 헤이얀 (약 721–c. 815)^[29]^[30]과 알-가잘 (약 1058–111)^[31]의 연금술 작품에서 처음으로 문학적으로 등장한 이후 아이를 낳는^[28]^[29] 부적으로 묘사되었고 행성표의 전통에 보존되었다.일곱 천체의 미덕에 대한 일곱 개의 마법의 정사각형의 연관성의 가장 이른 발생은 안달루시아 학자 이븐 자르칼리의 (유럽에서는 아자르키엘로 알려져 있음) 키타브 타드브랏 알-카와키브 (행성의 ^[32]영향에 관한 책)에 나타난다.한 세기 후, 알제리 학자 아마드 알 부니는 그의 매우 영향력 있는 책 샴 알-마아리프(The Book of the Sun of Gnosis and the Netities of Highed Things)에서 신비로운 속성을 마법의 광장으로 돌렸는데, 이 책 역시 그 건축물을 묘사하고 있다.7개의 행성과 연관된 3번째부터 9번째까지의 일련의 마법의 사각형에 대한 이 전통은 그리스어, 아랍어,^[33] 그리고 라틴어 버전으로 남아 있다.또한 점성술 계산에서 마법의 사각형을 사용하는 것에 대한 언급도 있는데,^[34]^[35] 이 관습은 아랍에서 유래된 것으로 보인다.

라틴 유럽

아타나시우스 키르처의 오이디푸스 아이집트쿠스(1653)의 이 페이지는 마법의 사각형에 관한 논문으로 목성과 관련된 시길룸 이오비스를 보여준다.

페르시아나 아라비아와는 달리, 우리는 마법의 광장이 어떻게 유럽으로 전해졌는지에 대한 더 나은 문서를 가지고 있다.1315년경, 아랍의 자료들에 영향을 받아, 그리스 비잔틴 학자 마누엘 모스코풀로스는 중동의 전임자들의 신비주의를 배제하고, 마법의 사각형에 대한 수학적 논문을 썼다. 그는 그곳에서 홀수 사각형에 대한 두 가지 방법과 고른 사각형에 대한 두 가지 방법을 제시했다.모쇼풀로스는 필립 드 라 히레가 파리 ^[36]왕립 도서관에서 그의 논문을 재발견한 17세기 후반까지 라틴 유럽에는 근본적으로 알려지지 않았다.하지만, 그는 마법의 광장에 글을 쓴 첫 번째 유럽인은 아니었고, 마법의 광장은 신비로운 물건으로 스페인과 이탈리아를 통해 유럽의 나머지 지역으로 전파되었다.광장을 전시한 초기 신비 조약은 어떻게 지어졌는지 설명하지 않았다.따라서 전체 이론은 재발견되어야만 했다.

마법의 광장은 11세기 ^[32]알안달루스의 톨레도의 이븐 자르칼리가 쓴 키타브 타드라트 알-카와키브(행성의 영향에 관한 책)에서 행성으로 처음 등장했다.3의 마법의 사각형은 12세기 초 유대인 학자 톨레도의 아브라함 이븐 에즈라에 의해 수학적인 방식으로 논의되었고, 이것은 후대의 ^[37]카발리스트들에게 영향을 끼쳤다.이븐 자르칼리의 작품은 1280년대에 ^[38]^[39]^[32]카스티유의 알폰소 10세에 의해 리브로 드 아스트로마지아로 번역되었다.알폰신 문자에서, 이슬람 문헌에서와 같이, 다른 순서의 마법의 정사각형들이 각각의 행성에 할당되어 있다; 불행히도, 논의된 모든 정사각형들 중에서, 5번째 순서의 화성 마법의 정사각형은 원고에서 ^[40]^[32]전시된 유일한 정사각형이다.

마법의 광장이 14세기에 이탈리아 플로렌스에서 다시 모습을 드러낸다.파올로 다고마리의 ^[41]^[42]트라타토 다바코 필사본에는 6×6과 9×9의 정사각형이 전시되어 있다.파올로 다고마리는 파치올리와 마찬가지로 수학 문제나 게임을 발명하는 데 유용한 기초로서 정사각형을 언급하고 있으며, 마법의 사용에 대해서는 언급하지 않고 있다는 점이 흥미롭다.하지만 부수적으로, 그는 또한 그것들을 각각 태양과 달의 정사각형이라고 언급하고, 그것들이 더 잘 명시되지 않은 점성술적 계산에 들어간다고 언급한다.앞서 말했듯이, ^[43]^[44]15세기 말까지 그의 작품 De Viribus Quantitatis에서 3×3에서 9×9의 정사각형을 묘사한 동료 플로렌타인 루카 파치올리에게 같은 관점이 동기를 부여하는 것으로 보인다.

15세기 이후의 유럽

시몬 드 라 루베르의 Du Royaume de Siam (1691)의 한 페이지에는 기묘한 마법의 사각형을 만드는 인도의 방법이 소개되어 있습니다.

행성 광장은 15세기 말까지 북유럽으로 퍼져나갔다.예를 들어 폴란드에서 온 Picatrix의 Cracow 필사본에는 3차부터 9차까지의 마법의 정사각형이 표시된다.크라코프 필사본과 같은 정사각형이 나중에 아치독사 마기카(1567)의 파라셀수스의 글에 나타나지만, 매우 왜곡된 형태이다.1514년 Albrecht Dürer는 그의 유명한 판화 Melencolia I에 4×4 정사각형을 영원히 남겼습니다.파라셀수스와 동시대의 하인리히 코르넬리우스 아그리파 폰 네테스하임은 1531년에 그의 유명한 세 권의 책인 데 오컬타 철학을 출판했고,^[37] 그곳에서 그는 제2권의 22장을 아래에 나와 있는 행성 광장에 할애했다.1539년 지롤라모 카르다노의 프랙티카 산술에서 아그리파가 준 것과 같은 정사각형 집합이 다시 나타나며, 그는 나중에 ^[45]바첼트에 의해 재현된 "다이아몬드 방법"을 사용하여 홀수 차수의 정사각형 구성을 설명한다.행성 광장의 전통은 오이디피 이집트 (1653년)의 아타나시우스 키르처(Athanasius Kircher)에 의해 17세기까지 계속되었다.독일에서, 마법의 사각형에 관한 수학 조약은 1544년 테두리 사각형들을 재발견한 산술적 사각형들의 마이클 스티펠과 아그리파가 발행한 홀수 질서 사각형들을 만들기 위한 연속 번호 매기기 방법을 재발견한 아담 리제에 의해 쓰여졌다.하지만, 그 당시의 종교적 격변으로 인해,^[37] 이 작품들은 유럽의 다른 나라들에게 알려지지 않았다.

새턴=15

4	9	2
3	5	7
8	1	6

목성=34

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

Mars=65

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Sol=솔루팅

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

금성=175

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

수은=260

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

Luna=369

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

1624년 프랑스에서, 클로드 가스파르 바첼트는 그의 책 Problémes Plaisants에서 아그리파의 홀수 질서 있는 정사각형을 건설하는 "다이아몬드 방법"을 묘사했다.1640년 동안 베르나르 프레니클 드 베시와 피에르 페르마는 마법의 정사각형과 큐브에 편지를 주고받았고, 페르마는 그의 방법으로 ^[45]8단계의 1,004,144,995,344개의 마법 정사각형을 만들 수 있다고 자랑했다.국경 광장의 건설에 대한 초기 설명은 앙투안 아르놀드가 그의 누보 éométrie (1667)^[46]에서 설명했습니다.베르나르 프레니클 드 베시는 1693년에 사후에 출판된 두 개의 논문 데 쿼트르 드 코트레와 두 개의 테이블에서 정확히 880개의 뚜렷한 주문 4개의 마법 사각형들이 있다는 것을 증명했다.프레니클은 홀수하고 짝수인 정사각형을 만들 수 있는 방법을 제공했고, 짝수인 정사각형을 테두리를 사용하여 만들었다.그는 또한 마법의 사각형의 행과 열을 서로 바꿔 새로운 마법의 ^[45]사각형을 만들어 낸다는 것을 보여주었다.1691년 시몬 드 라 루베르는 외교 사절단을 마치고 시암으로 돌아오면서 배운 그의 저서 'Du Royaume de Siam'에서 인도의 연속적인 질서 있는 마술 광장 건설 방법을 설명했는데, 이것은 바첼의 방법보다 더 빨랐다.그 기능을 설명하기 위해 de la Loubere는 1차 번호와 루트 번호를 사용하여 2개의 예비 정사각형을 추가하는 방법을 재발견했습니다.이 방법은 Abbe Poignard(1704년), Philippe de La Hire(1705년), Joseph Sauveur(1710년)에 의해 추가로 조사되었다.동심원 테두리 정사각형은 1705년 De la Hire에 의해서도 연구되었고, Sauveur는 마법의 큐브와 글자 있는 정사각형을 소개했는데, 나중에 그것들을 고안한 것으로 오일러에 의해 1776년에 소개되었다.1750년 d'Ons-le-Bray는 경계 기술을 사용하여 이중 짝수 및 단일 짝수 정사각형을 만드는 방법을 재발견했고, 반면 1767년 벤자민 프랭클린은 프랭클린 ^[47]정사각형의 특성을 가진 반마법의 정사각형을 발표했다.이때쯤에는 마법의 사각형에 붙어 있던 이전의 신비주의가 완전히 사라졌고, 그 주제는 레크리에이션 ^[37]^[48]수학의 일부로 취급되었다.

19세기에, 베르나르 비올레는 마법 큐브, 평행사변형, 평행사변형, 그리고 원을 묘사한 그의 세 권의 카레스 마기크(1837–1838)에서 마법의 사각형을 포괄적으로 다루었습니다.판다각형 사각형은 Andrew Hollingworth Frost에 의해 광범위하게 연구되었는데, 그는 인도의 Nasik 마을에 있을 때 이것을 배웠다(따라서 Nasik 사각형이라고 부른다).기사의 길(1877년), 나식광장의 일반 특성(1878년), 나식입방체의 일반 특성(1878년), 나식광장의 건축(1896년)이다.그는 범대각선 마법을 쓰는 것조차 정상적인 단독으로는 불가능하다는 것을 보여주었다.Frederick A.P. Barnard는 마법의 정사각형 이론과 마법의 큐브 이론 (1888년)^[48]에서 상감된 마법의 정사각형과 마법의 원통 같은 다른 3차원 마법의 형상을 만들었다.1897년, Emroy McClintock은 범대각 사각형과 가장 완벽한 사각형이라는 단어들을 조합한 가장 완벽한 형태의 마법 사각형에 대해 출판했는데, 이것은 이전에는 완벽하거나 다이아볼릭 또는 나식이라고 불렸습니다.

몇몇 유명한 마법의 광장들

'천문현상'(천원화위)의 노수.13세기에 바오윈룽에 의해 편찬된 명나라(1457~1463년) 때 출판되었다.

뤄수마법광장

기원전 650년부터 전해 내려오는 전설은 로슈(洛 ") 또는 ^[8]"로강의 두루마리"에 대한 이야기를 전한다.전설에 따르면 고대 중국에는 한때 큰 홍수가 있었다고 한다.유왕이 물을 바다로 흘려보내는 동안 거북이가 등껍데기에 특이한 무늬를 그리며 나타났다. 즉, 3×3 격자 안에 원형 점들이 배열되어 있고, 각 줄과 기둥, 대각선의 숫자의 합이 15개이다.전설에 따르면, 그 이후 사람들은 강을 통제하고 홍수로부터 자신을 보호하기 위해 특정한 방법으로 이 패턴을 사용할 수 있었다고 한다.로슈 광장은 거북 등딱지 위의 마법의 정사각형이라고 불리며, 1이 아래, 2가 오른쪽 위에 있는 3계열의 독특한 일반 마법 정사각형입니다.세 번째 주문의 모든 정상적인 마법 사각형은 회전 또는 반사에 의해 로슈에서 얻습니다.

파르샤브나트 사원의 마법 광장

인도 카주라호에 있는 파르슈바나타 사원의 마법 광장

인도 ^[18]^[17]^[49]카주라호에 있는 파르슈바나트 사원 벽에는 잘 알려진 12세기 4×4의 평범한 마법 광장이 새겨져 있습니다.

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

이것은 Chautisa Yantra로 알려져 있다."디바이스")의 매직 합계가 34이기 때문입니다.4×4 범대각선 매직 스퀘어 3개 중 하나이며, 가장 완벽한 매직 스퀘어이기도 합니다.이 광장에 대한 연구는 19세기 후반 유럽 수학자들에 의한 판다각형에 대한 감상으로 이어졌다.판디악 사각형은 오래된 영국 문학에서 나식 사각형 또는 자인 사각형으로 언급되었다.

알브레히트 뒤러의 마법 광장

멜렌콜리아 1세 세부 사항

위에서 언급한 멜렌콜리아 1세를 조각한 1514년 알브레히트 뒤러가 불멸시킨 네 개의 평범한 마법의 사각형은 유럽 미술에서 처음 볼 수 있는 것으로 여겨진다.목성과 관련된 사각형은 우울함을 쫓는 데 사용되는 부적처럼 보인다.뒤러보다 약 250년 전에 중국에서 만들어진 양후이 광장과 매우 흡사하다.매 오더 4개의 일반 매직 스퀘어와 마찬가지로 매직 합계는 34입니다.그러나 Durer square에서는 이 합계가 각 사분원, 중앙 사분원 및 모서리 사분원(4×4 및 3×3 그리드를 포함한 4개)에서도 발견된다.이 금액 또한 모퉁이에서 4개의 외 숫자 시계 방향으로(3+8+14+9)고, 4대칭 수가 두세트,(2+8+9+15과 3+5+12+14)두 외부 기둥의 중간 두 항목과 줄의 합(5+9도 4정(4의 여왕 중 4은 일개미들 puzzle[50]의 2가지 해결의 위치)에서 발견될 수 있다.+8+12 및 3+2+15+14) 및 4개의 연 또는 십자형 쿼텟(3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15, 2+6+12+14)으로 구성됩니다.맨 아래 줄 가운데에 있는 두 개의 숫자는 조각 날짜인 1514를 나타냅니다.날짜의 양쪽에 있는 숫자 1과 4는 각각 작가의 이니셜인 "A"와 "D"에 대응합니다.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

뒤러의 마법 사각형은 마법 ^[51]큐브로도 확장될 수 있습니다.

사그라다 파밀리아 마법 광장

사그라다 파밀리아 교회 정면의 마법 광장

바르셀로나의 사그라다 파밀리아 교회의 패션 파사드는 안토니 가우디에 의해 개념화되고 조각가 호세프 수비라크스에 의해 디자인되었습니다.이 파사드는 간단한 주문 4개의 매직 스퀘어입니다.광장의 마법 상수는 33세로,^[52] 수난 당시 예수의 나이입니다.구조적으로는 멜랑콜리아 마법의 사각형과 매우 유사하지만, 4개의 세포에서 숫자가 1개씩 줄었습니다.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

이와 같은 사각형은 일반적으로 수학적으로 흥미롭지 않고 역사적 의미만 있다.Lee Sallows는 Subirachs의 마법의 정사각형 이론에 대한 무지함 때문에 유명한 조각가가 불필요한 실수를 저질렀다고 지적하고, 원하는 마법의 상수인 ^[53]33을 보여주는 사소하지 않은 4×4 마법의 정사각형의 예를 몇 가지 들어 이 주장을 뒷받침한다.

뒤러의 마법 광장과 마찬가지로, 사그라다 파밀리아의 마법 광장도 마법 ^[54]큐브까지 확장할 수 있습니다.

파커 광장

레크리에이션 수학자 맷 ^[55]파커의 이름을 딴 파커 광장은 3×3의 마법의 정사각형을 만들려는 시도입니다.이것은 ^[56]오일러 이후 귀중한 미해결 문제입니다.Parker Square는 몇 가지 숫자를 두 번 이상 사용하기 때문에 단순한 반마법의 정사각형이며, $대각 2$ 23 $+ 37 2$ + $47$ 의² 합은 다른 모든 행, 열 또는 대각선 3051이 아니라 4107이 됩니다.파커 광장은 "도전하는 사람들의 마스크코트"가 되었다.그것은 또한 거의 맞지만 ^[55]^[57]약간 어긋나는 무언가에 대한 은유이기도 하다.

스물아홉²	1개²	47²
41²	37²	1개²
스물세² 살	41²	스물아홉²

매직 스퀘어 속성

매직 상수

행 또는 열 또는 대각선의 합인 상수를 매직 상수 또는 매직 합이라고 합니다. 모든 정규 매직 제곱에는 순서 $n$ 에 $M=n(n^{2}+1)/2$ 상수가 있으며, 공식 $M=n(n^{2}+1)/2$ $=$ ( $M=n(n^{2}+1)/2$ 2 + $M=n(n^{2}+1)/2$ ) $M=n(n^{2}+1)/2$ / $M=n(n^{2}+1)/2$ ({ $display style$ M $M=n(n^{2}+1)/2$ = n ( n $M=n(n^{2}+1)/2$ ^ { $2 }$ + 1) / $2$ $1,2,...,n^{2}$ $M=n(n^{2}+1)/2$ 에 따라 계산됩니다 $1,2,...,n^{2}$ 1 $1,2,...,n^{2}$ , $1,2,...,n^{2}$ . $1,2,...,n^{2}$ {{ $displaystyle$ 1, $2,...n^{2}}$ 은 $1,2,...,n^{2}$ n $n^{2}(n^{2}+1)/2$ ( $n$ + $n^{2}(n^{2}+1)/2$ 1 $n^{2}(n^{2}+1)/2$ ) / $n^{2}(n^{2}+1)/2$ ({ $displaystyle$ n $^2$ } (n $^{2}+$ 1)/2 입니다 $n^{2}(n^{2}+1)/2$ 각 행의 $M$ 는M({ $displaystyle$ M})이므로 n $({displaystyle$ n $n$ $nM=n^{2}(n^{2}+1)/2$ $n$ 의 $nM=n^{2}(n^{2}+1)/2$ 는 n $= n2$ + $nM=n^{2}(n^{2}+1)/2$ / $nM=n^{2}(n^{2}+1)/2$ / $displaystyle N)$ 입니다 $.$ tant. n = 3, 4, 5, 6, 7, 8의 정규 매직 제곱의 경우 매직 상수는 각각 15, 34, 65, 111, 175, 260(OEIS의 시퀀스 A006003)입니다.

순서 1의 매직 제곱은 사소합니다.

숫자 1을 포함하는 1×1 매직스퀘어는 보통 매직스퀘어에 대해 논할 때 고려되지 않기 때문에 사소한 것으로 불립니다.단일 셀을 순서 1의 제곱으로 간주하면 정의상 매직스퀘어라고 할 수 있습니다.

주문 2의 마법 제곱을 구성할 수 없습니다.

2×2(즉, 순서 n = ^[58]2)를 제외한 모든 크기의 정규 매직 제곱을 구성할 수 있습니다.

질량 중심

만약 우리가 마법 사각형에 있는 숫자들을 다양한 셀에 위치한 질량으로 생각한다면, 마법 사각형에 있는 질량 중심은 기하학적 중심과 일치합니다.

관성 모멘트

마방진의 관성는 순간 세포번 숫자가 세포의 중심이 광장의 중심에 이르는 모눈 거리;세포 중 하나 여기서 단위를 너비의 모든 세포에 합으로 정의되고 있다.[59](따라서 예를 들어 3×3광장 한 구석 2셀의 거리,{\displaystyle{\sqrt다. ${2}},}$ 비결정 ${\sqrt {2}},$ 에지 셀의 거리는 1이고 중앙 셀의 거리는 0입니다.그러면 주어진 차수의 모든 매직 정사각형은 서로 같은 관성 모멘트를 가집니다.순서 3의 경우 관성 모멘트는 항상 60이고, 순서 4의 경우 관성 모멘트는 항상 340입니다.일반적으로 n×n의 경우 관성모멘트는 $n^{2}(n^{4}-1)/12.$ 4 - $n^{2}(n^{4}-1)/12.$ ) $n^{2}(n^{4}-1)/12.$ $.\displaystyle$ n $^{2}(n^{4}-1)/12이다.$ $}$ ^[59]

Birkhoff-von Neumann 분해

매직 정사각형의 각 수를 매직 상수로 나누면 행 합계와 열 합계가 합계와 동일한 이중 확률 행렬이 생성됩니다.그러나 이중 확률 행렬과는 달리, 그러한 행렬의 대각합은 또한 통일성과 같을 것이다.따라서, 그러한 행렬은 이중 확률 행렬의 하위 집합을 구성한다.Birkhoff-von Neumann 정리에 따르면, 어떤 $이중$ 확률 $행렬$ A(\ $displaystyle$ A $A$ 에 대하여, $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0$ $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0$ $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0$ , …, $display$ 0 $(\display$ \ $theta$ _ ${1$ },\ $ldots$ ,\ $theta$ $_$ ${k$ }\ $geq$ 0 $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0$ 이 존재하며, $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ 서 $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ = 1 \ $sumstyle$ i $\sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1$ $1이다.$ $P_{1},\ldots ,P_{k}$ $P_{1},\ldots ,P_{k}$ (\ $displaystyle P_{1},\ldots,P_{k})$ 는 $P_{1},\ldots ,P_{k}$ 다음과 같습니다.

A=\theta _{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.

이 표현은 일반적으로 고유하지 않을 수 있습니다.단, Marcus-Ree 정리에 따르면 어떤 ^[60]분해에서도 k $k\leq n^{2}-2n+2$ n $k\leq n^{2}-2n+2$ - $k\leq n^{2}-2n+2$ + $k\leq n^{2}-2n+2$ { $style$ k $\leq$ n $^{2}-2n+2}$ $k\leq n^{2}-2n+2$ 보다 $k\leq n^{2}-2n+2$ 클 필요는 없다.분명히 이 분해는 마법의 정사각형으로도 이어집니다. 왜냐하면 우리는 마법의 상수를 곱함으로써 이중 확률행렬로부터 마법의 정사각형을 회복할 수 있기 때문입니다.

매직 스퀘어 분류

일부 유형의 4×4 매직 정사각형 요구 사항에 대한 오일러 다이어그램.같은 색의 셀이 합하면 마법의 상수가 됩니다.* 4×4의 가장 완벽한 매직 정사각형에서는 대각선으로 2셀 떨어져 있는 임의의 2셀(랩어라운드 포함)의 합이 매직 상수의 절반에 해당하므로 이러한 2쌍도 매직 상수의 합이 됩니다.

매직 스퀘어 분류는 여러 가지 방법으로 수행될 수 있지만, 몇 가지 유용한 범주가 아래에 제시되어 있습니다.정수 1, 2, ..., n의² n×n 제곱 배열을 다음과 같이 부릅니다.

행과 열의 합계가 마법 상수를 제공하는 반 마법 정사각형입니다.
행, 열 및 대각선 두 개가 합산되어 마법 상수만 얻을 수 있는 단순한 마법 정사각형입니다.그것들은 보통 마법의 정사각형 또는 일반 마법의 정사각형으로도 알려져 있다.
자기 보완 마법 정사각형은 보완될 때(즉, n + 1에서² 각 숫자를 뺀) 원래 마법 정사각형의 회전 또는 반사 버전을 제공합니다.
매직스퀘어 연상 매직스퀘어(magic square)는 중앙에서 직선으로 등거리에 있는 숫자에 추가되는 모든 숫자가 n + 1을 갖는² 추가 특성을 가집니다.그것들은 대칭 매직 스퀘어라고도 불린다.단일 짝수 차수의 제곱에는 연관 매직 제곱이 존재하지 않습니다.모든 연상 매직 스퀘어 역시 자기 보완 매직 스퀘어입니다.
깨진 대각선이 마법 상수에 합산되는 특성이 더 큰 마법 정사각형일 때 범대각선 마법 정사각형입니다.그것들은 또한 범마법의 정사각형, 완벽한 정사각형, 다이아볼릭 정사각형, 자인 정사각형 또는 나식 정사각형이라고도 불린다.단일 짝수 차수에 대한 범마법 사각형은 존재하지 않습니다.그러나 비정규 정사각형도 하나면 충분할 수 있습니다.
연상적이면서도 범대각선적인 매직 스퀘어인 울트라 매직 스퀘어.울트라 매직 스퀘어는 주문 n n 5에 대해서만 존재합니다.
매직 스퀘어인 경우 테두리 매직 스퀘어이며 바깥쪽 모서리의 행과 열이 제거되어도 매직 스퀘어인 상태로 유지됩니다.정사각형의 테두리를 연속적으로 제거하면 다른 작은 테두리 매직스퀘어가 생기는 것을 동심원 테두리 매직스퀘어라고도 합니다.순서 4에 대한 테두리 매직 사각형이 없습니다.
복합 매직 정사각형은 작은 매직 정사각형의 순서가 작은 정사각형의 배수가 되도록 작은 매직 정사각형을 "곱셈"하여 만든 매직 정사각형의 복합 매직 정사각형의 순서는 작은 정사각형의 배수가 됩니다.이러한 사각형은 일반적으로 겹치지 않는 작은 매직 하위 제곱으로 분할할 수 있습니다.
매직 스퀘어 안에 매직 서브 스퀘어가 박혀 있는 매직 스퀘어일 때 시공 공법에 관계없이 상감하는 매직 스퀘어.포함된 매직 하위 제곱은 그 자체를 인레이라고 합니다.
(i) 각각 2×2 하위 특성을 가진 판대각선 마법 정사각형일 때, 가장 완벽한 마법 정사각형은 마법 상수의 1/k에 추가된다. 여기서 n = 4k 및 (ii) 대각선(큰 것 또는 끊어진 것)을 따라 n/2 거리에 있는 정수 쌍은 모두 상호 보완적이다(즉, n + 1로² 합함).첫 번째 속성은 콤팩트함, 두 번째 속성은 완전성이라고 합니다.가장 완벽한 매직 사각형은 두 배 짝수 차수의 정사각형에 대해서만 존재합니다.차수 4의 모든 범대각선 사각형도 가장 완벽합니다.
프랭클린 매직스퀘어는 3개의 성질을 더하는 이중 짝수 매직스퀘어일 때(i) 구부러진 대각선마다 매직상수를 더하고(ii) 바깥쪽 가장자리에서 시작하는 반열 반열 반열마다 매직상수를 더하며(iii) 매직스퀘어는 콤팩트하다.
매직 스퀘어일 경우 모든 숫자가 1µk µP의 k제곱으로 대체되어도 마법으로 남는 멀티매직 스퀘어.P-다원적 정사각형 또는 사탄적 정사각형이라고도 합니다.P 값이 각각 2, 3, 4, 5인 경우 바이매직 정사각형, 삼매직 정사각형, 4매직 정사각형, 펜타매직 정사각형이라고도 합니다.

매직 스퀘어 열거

수학의 미해결 문제:

$n$ $n>5$ > $n>5$ $n>5$ $5에 대해$ n $n>5$ × n $n>5$ $매직스퀘어$ 및 $n\times n$ n $순서$ 의 매직토리가 몇 개 $n\times n$ ?

(수학에서 풀리지 않은 문제가 더 많다)

낮은 차수의 정사각형

주문 1의 마법 사각형은 1개뿐이고 주문 2의 마법 사각형은 없습니다.위에서 설명한 바와 같이, 3차 정규 제곱 집합은 모두 로슈 제곱에 해당하는 단일 등가 클래스를 구성한다.따라서 기본적으로 3차 주문의 일반 매직 정사각형은 하나뿐입니다.

회전과 반사를 계산하지 않고 1~5까지의 n x n 매직 제곱의 수는 다음과 같다.

1, 0, 1, 880, 275305224(OEIS의 시퀀스 A006052)

n = 6에 대한 숫자는 (1.7745 ± 0.0016) ×^[61]^[62]^[59] 10으로¹⁹ 추정되었다.

마법의 토리

위의 시퀀스와 상호 참조된 새로운 분류에서는 이러한 매직스퀘어를 표시하는 매직토리가 열거됩니다.순서 n의 매직토리의 수는 1~5 입니다.

1, 0, 1, 255, 251449712(OEIS의 시퀀스 A270876)

고차 사각형과 토리

Pn의 반로그 그림, 차원 n의 매직 제곱 확률

고유 정규 매직 정사각형의 수는 높은 ^[63]차수에 따라 빠르게 증가합니다.

주문 4의 880개의 매직스퀘어는 주문 4의 255개의 매직토리에 표시되고 주문 5의 275,305,224개의 매직스퀘어는 주문 5의 251,449,712개의 매직토리에 표시됩니다.마법의 토리와 구별되는 법선 제곱의 수는 더 높은 ^[64]차수에 대해서는 아직 알려져 있지 않습니다.

알고리즘은 특정 유형 또는 분류의 마법 정사각형만 생성하는 경향이 있으므로 가능한 모든 마법 정사각형을 계산하는 것이 매우 어렵습니다.전통적인 계수 방법이 성공하지 못한 것으로 입증되었기 때문에 몬테카를로 방법을 이용한 통계 분석이 적용되었다.마법 정사각형에 적용되는 기본 원리는 1~n 요소의² n × n 행렬을 무작위로 생성하고 결과가 마법 정사각형인지 확인하는 것이다.랜덤하게 생성된 숫자의 행렬이 매직 정사각형일 확률은 매직 ^[65]정사각형 수를 근사하는 데 사용됩니다.

교환 몬테카를로 및 몬테카를로 역추적과 같은 더 복잡한 버전의 몬테카를로 방법은 훨씬 더 정확한 추정을 만들어냈다.이러한 방법을 사용하면 n이 증가할수록 마법 제곱의 확률이 빠르게 감소하는 것으로 나타났습니다.피팅 기능을 사용하면 오른쪽에 보이는 곡선이 표시됩니다.

마법의 속성을 보존하는 변환

어떤 마법의 광장에도

행렬 덧셈에 의한 같은 차수의 두 매직 정사각형의 합은 매직 정사각형이 됩니다.
매직 스퀘어는 모든 숫자가 동일한 선형 변환(즉, f $(x)$ = $m x$ + $b$ $형태$ 의 함수)을 거치면 마법으로 남는다.예를 들어, 매직 스퀘어는 그 숫자에 ^[66]상수를 곱하면 마법으로 남습니다.게다가, 마법의 사각형은 상수가 그 숫자에 추가 또는 감산될 때, 또는 그 숫자들이 상수에서 감산될 때 마법으로 남는다.특히 순서 $n^{2}+1$ $n$ 의 $매직스퀘어$ 내의 $n$ 모든 $n^{2}+1$ 를 $n2$ + $1에서$ 원래의 ^[66]제곱의 $n^{2}+1$ 보수를 구한다 $n^{2}+1$ 아래 예에서는 왼쪽의 마법 정사각형의 각 요소를 17에서 빼서 오른쪽의 보완 마법 정사각형을 구한다.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3
2	11	5	16

매직 스퀘어는 정사각형의 대칭군인 $D$ 의₄ 원소에 의해 변환될 때 마법으로 남는다. (8의 이면체군 the 정사각형의 대칭군: 8의 이면체군 참조)90도 회전 및/또는 반사를 하나 이상 조합할 때마다 일반적으로 동등하다고 간주되는 3차적으로 구별되는 8개의 정사각형이 생성됩니다.이러한 8개의 정사각형은 단일 동등성 ^[67]^[66]클래스를 구성한다고 합니다.3×3 매직 사각형에 해당하는 8개의 매직 사각형은 다음과 같습니다.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

6	1	8
7	5	3
2	9	4

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	3	8
9	5	1
2	7	6

2	9	4
7	5	3
6	1	8

4	9	2
3	5	7
8	1	6

8	3	4
1	5	9
6	7	2

6	7	2
1	5	9
8	3	4

순서 ${displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 매직스퀘어는 $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ 행과 열이 $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ p $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ + $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ + $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ - $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ i $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ n + $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ ( $1\leq i\leq n$ + $1-i)$ $1\leq i\leq n$ n $+$ 이 $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ $1\leq i\leq n$ { $displaystyle$ $p(i)+p(n+1-i)=n+1$ 1 $\leq\q$ 에 $p$ 의해 대칭으로 배열될 때 마법으로 남습니다.ow와 컬럼의 합계는 일반적으로 두 개의 대각선 합계는 아닙니다.행과 열에 동일한 $치환$ p { $displaystyle$ p $}$ 가 $p$ 적용되면 행 $i$ { $display$ i $}$ 와 $i$ 열i { $display$ $i$ $}$ 의 $i$ $p(i)$ 대각 요소가 행 $i)$ 와 $p(i)$ p $(i)$ 에 $p(i)$ 매핑되며, 따라서 sam이 적용됩니다.e 행 및 열에 대한 순열은 주(왼쪽 위에서 오른쪽 아래) 대각 합계를 유지합니다.순열이 설명과 같이 대칭인 경우 행 $(\displaystyle$ i) 및 $i$ 열 $n+1-i$ + $n+1-i$ - $n+1-i$ i(\ $displaystyle$ $n+1-i$ n+ $1$ - i)의 $n+1-i$ 대각 요소가 행 $i$ 및 열 $p(n+1-i)=n+1-p(i)$ + $p(n+1-i)=n+1-p(i)$ - $)$ 에 매핑됩니다(\ $displaystyle$ p $(n+1-i)=n+1-p(i$ 행과 열에 대한 동일한 대칭 순열은 대각 합계를 모두 보존합니다. $(\displaystyle$ n $n$ 이라도 $2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!$ 2 $)!(\displaystyle$ 2 $^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)$ 가 $2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!$ . $}$ 개의 $2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!$ 대칭 $2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!$ 과 $2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!$ ( $)!$ ({ $displaystyle$ 2 $^{\frac {n-1}{2}}\$ left $flac$ { $n-1}{2$ }}\right $)$ }( $n$ \displaystylen $n$ ) 홀수일 경우 $).$ 다음 예제에서는 왼쪽의 원래 매직스퀘어의 행과 $(4,6,5,2,1,3)$ 이 $(4,6,5,2,1,3)$ ( $(4,6,5,2,1,3)$ , $(4,6,5,2,1,3)$ , $(4,6,5,2,1,3)$ , 2, 1, $(4,6,5,2,1,3)$ $)(표시 스타일$ (4, $(4,6,5,2,1,3)$ 6 $,$ 5, $2, 1$ , 3 $)$ 로 $(4,6,5,2,1,3)$ 대칭 배열되어 오른쪽에 매직스퀘어가 됩니다.

1	32	33	4	35	6
30	8	27	28	11	7
13	23	22	21	14	18
24	17	16	15	20	19
12	26	10	9	29	25
31	5	3	34	2	36

29	9	25	12	10	26
20	15	19	24	16	17
2	34	36	31	3	5
35	4	6	1	33	32
14	21	18	13	22	23
11	28	7	30	27	8

n $($ $displaystyle$ i $)$ 및 $i$ $(n+1-i)$ ( $(n+1-i)$ 1-i $)$ $행$ 과 i $($ $(n+1-i)$ $1-i$ $(n+1-i)$ (n $+1-i$ 을 $교환$ 하면 n $(n+1-i)$ displaystyle $n$ $)$ 의 $n$ 매직스퀘어는 마법으로 남습니다.^[66]^[48] 이는 위에서 설명한 형식의 대칭 배열이기 때문입니다.아래 예제에서 오른쪽 정사각형은 왼쪽의 원래 정사각형의 첫 번째 행과 네 번째 행과 열을 바꿔 구합니다.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

$j$ 과 $j행$ ( $(n+1-i)$ $(n+1-i)$ 1 $(n+1-i)$ - $)$ { $displaystyle(n+1-i)}$ 및 $(n+1-i)$ $(n+1-j)$ ( $(n+1-j)$ $(n+1-j)$ - $)$ { $displaystyle(n+1-j)}$ {displaystyle(n+1-j)} {displaystyle $(n$ +1-j)} { $displaystyle$ ( $j$ $+$ 1-j)} { $displaystyle$ j $}$ $i$ (n}) 교환 시 매직스퀘어n{ $displaystyle$ j $}$ 의 $j$ 매직스테이le j}은 $n$ 교환 시 마법으로 유지됩니다.열 $(n+1-i)$ $(n+1-i)$ + $1$ - $(n+1-i)$ i $){style ($ n + 1 - $(n+1-i)$ )및 $(n+1-i)$ $(n+1-j)$ + $(n+1-j)$ - $(n+1-j)$ j $){$ $display$ style ( $n$ + 1 - $(n+1-j)$ ){ $display style$ ( n + 1 $-$ j )는 $(n+1-j)$ , $j$ 로 $i<j<{\frac {n+1}{2}}$ 교환됩니다.다음 예에서는 왼쪽 정사각형이 원래 정사각형인 반면 오른쪽 정사각형이 이 변환을 통해 얻은 새 정사각형입니다.가운데 사각형에서는 1행과 2행, 3행과 4행이 서로 바뀌었습니다.오른쪽의 마지막 정사각형은 가운데 정사각형의 열 1과 2와 열 3과 4를 바꿔서 구합니다.이 예에서는 이 변환이 사분원을 180도 회전시킵니다.원래 정사각형은 연관성이 있기 때문에 가운데 정사각형도 마법입니다.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

6	12	9	7
15	1	4	14
3	13	16	2
10	8	5	11

매직 스퀘어는 사분원이 대각선으로 교환되어도 마법으로 남습니다.이는 위에서 설명한 형태의 대칭 배열이기 때문입니다.even-order n{n\displaystyle} 들어, 순열 p에 의해{p\displaystyle}은 행과 열 permute이 p(나는)=나는 + n2{\displaystyle p(나는)=i+{\frac{n}{2}}}에 나는 ≤ n2{\displaystyle i\leq{\frac{n}{2}}}, 및 p(나는))나는 − n2{\displaystyle p(나는)=i-{\frac{n}{2}}}에 나는입니다.;n2{.\dIsplaystyle i>,{\frac{n}{2}}}. 예를 들면, 순열 p에 의해odd-order n{n\displaystyle}, 순열로 배치하다 행과 열{p\displaystyle}이 p(나는)=나는 + n+12{\displaystyle p(나는)=i+{\frac{n+1}{2}}}에 나는 <, n+12{\displaystyle i<,{\frac{n+1}{2}}}, 및 p(나는))나는 n −+12{\displayst.yle p(나는)= $i$ $i>{\frac {n+1}{2}}$ > $i>{\frac {n+1}{2}}$ + $i>{\frac {n+1}{2}}$ $i>{\frac {n+1}{2}}$ { $displaystyle$ i > {\ $frac {n+1}$ {2 $}$ $i>{\frac {n+1}{2}}$ 의 $i>{\frac {n+1}{2}}$ i- ${\frac$ {n $+$ $1$ }{ $2$ $}}.$ 홀수 사각형에서는 중앙 행과 열의 절반도 교환됩니다.^[66]순서 4 및 5의 매직스퀘어 예는 다음과 같습니다.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

11	5	8	10
2	16	13	3
14	4	1	15
7	9	12	6

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

21	3	19	10	12
2	9	25	11	18
20	22	13	4	6
8	15	1	17	24
14	16	7	23	5

연관 매직 사각형의 경우

연관 매직 정사각형은 중심에서 등거리에 있는 두 행 또는 열이 서로 ^[68]^[69]교환될 때 연관성을 유지합니다.짝수 제곱의 경우, 교환할 수 있는 행 또는 열의 n/2 쌍이 있으므로, 이러한 교환을 결합하면 2 × 2^n/2 = 2ⁿ 등가 매직 제곱을 얻을^n/2 수 있다.홀수 정사각형의 경우 교환할 수 있는 행 또는 열의 쌍이 (n - 1)/2개이고 이러한^n-1 교호작용을 결합하여 얻은 동등한 매직 정사각형이 2개 있습니다.모든 행을 바꾸면 사각형은 수직으로 플립되고(즉, 수평축을 따라 반사됨), 모든 열을 바꾸면 사각형은 수평으로 플립됩니다(즉, 수직축을 따라 반사됨).아래 예에서는 왼쪽의 4×4 연상 매직 정사각형이 두 번째 줄과 세 번째 줄을 바꾸면 오른쪽 정사각형이 되어 유명한 두레르의 매직 정사각형이 탄생합니다.

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

두 개의 동일한 변 행(또는 열)이 해당하는 다른 변 행(또는 열)^[68]^[69]과 교환될 때 연관성이 유지됩니다.짝수 정사각형의 경우, 같은 변 행(또는 열)이 n/2개 있으므로 서로 바꿀 수 있는 n(n - 2)/8개 쌍이 있습니다.따라서, 우리는 이러한 교환을 결합함으로써 2 × 2^n(n-2)/8 = 2^n(n-2)/4 등가 매직 제곱을 얻을^n(n-2)/8 수 있다.홀수 정사각형의 경우, (n - 1)/2개의 같은 변 행 또는 열이 있으므로 교환할 수 있는 (n - 1)(n - 3)/8개의 행 또는 열 쌍이 있습니다.따라서, 이러한 교호작용을 결합하여 얻은 2 × 2^{(n - 1)(n - 3)/8} = 2^{(n - 1)(n - 3)/4} 등가 매직 제곱이 있다^{(n - 1)(n - 3)/8}.같은 변의 모든 행을 바꾸면 정사각형의 각 사분면이 수직으로 뒤집히고, 같은 변의 모든 열을 바꾸면 정사각형의 각 사분면이 수평으로 뒤집힙니다.다음 예제에서는 원래 정사각형이 왼쪽에 있으며, 이 정사각형의 행 1과 2는 행 3과 4와 함께 서로 교환되어 오른쪽에 변환된 정사각형을 얻습니다.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

연관 매직 제곱은 r × s = n과² 같이 r 항 사이에 동일한 공통 차이를 가지며 또한 초기 항이 산술적 연속인 일련의 s 산술적 수열에서 대응하는 숫자로 대체될 때 비정규 매직 제곱을 얻기 위해 연관성을 유지한다.여기서 s 또는 r은 n의 배수여야 합니다.에 의해 주어지는 산술 수열로 하자.

\displaystyle {lll}{ll}a&a+c&a+2cdots&a+(r-1)c\a+d&a+2cdots&a+2cdots&a+2cdots&a+(r-1)cdots&a+2cdots&a+cdots

여기서 a는 초기항, c는 산술수열의 공통차, d는 각 수열의 초기항 간의 공통차이다.새로운 마법 상수는

M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d(big)}}.

s = r = n이면 다음과 같은 단순화를 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d)}.

a = c = 1 및 d = n을 더 가지면 일반적인 M = n(n²+1)/2를 구한다.주어진 M에 대하여 우리는 선형 디오판틴 방정식을 풀어서 필요한 a, c, d를 찾을 수 있다.아래 예시는 왼쪽 끝에 4개의 일반 매직 스퀘어 오더가 있습니다.두 번째 사각형은 r = 8, s = 2, a = 1, c = 1, d = 10인 해당 비정규 매직 정사각형이므로 새 매직 상수는 M = 38입니다.세 번째 사각형은 5차 일반 매직 사각형으로, De la Loubere법에 의해 생성된 사각형 시계 방향으로 90도 회전된 버전입니다.오른쪽 끝에는 a = 4, c = 1, d = 6인 대응하는 비정규 매직 정사각형이 표시되므로 새 매직 상수는 M = 90이 됩니다.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

1	17	16	4
14	6	7	11
8	12	13	5
15	3	2	18

11	10	4	23	17
18	12	6	5	24
25	19	13	7	1
2	21	20	14	8
9	3	22	16	15

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

범대각선 매직 스퀘어용

범대각선 마법 사각형은 행이나 기둥 또는 둘 ^[66]다 순환 이동 시 범대각선 마법 사각형으로 남습니다.이를 통해 n개의 차수 정사각형의 n개의² 셀 중 하나에 소정의 숫자를 배치할 수 있습니다.따라서 특정 범마법의 정사각형에 대해 n개의 동등한 범마법의 정사각형들이 있습니다².아래 예에서는 왼쪽의 원래 정사각형이 첫 번째 행을 맨 아래로 이동하여 가운데에 새로운 범마법의 정사각형을 얻음으로써 변환됩니다.다음으로 중간 범마법의 정사각형의 제1열과 제2열을 순환적으로 오른쪽으로 이동시켜 새로운 범마법의 정사각형을 오른쪽에 얻는다.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1
10	3	13	8

2	11	5	16
7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3

테두리 매직 사각형의 경우

경계 매직 사각형은 행 또는 열의 경계 셀과 대응하는 보완 용어를 허용한 후에도 경계 매직 사각형으로 남아 모서리 셀을 고정합니다.각 동심원 테두리의 각 행과 열의 셀은 독립적으로 배열될 수 있으므로, 순서 n 5 5가 홀수일 때, (n-2)! × (n-4)가 있다!× · · × 3!)² 등가 테두리 정사각형.n is 6이 짝수일 때, (n-2) × (n-4)가 있다!× · · × 4!)² 등가 테두리 정사각형.다음 예제에서는 테두리 행이 정렬된 순서 5의 제곱이 지정됩니다.우리는 (3!)² = 36개의 그와 같은 제곱을 얻을 수 있다.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

1	16	23	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	10	3	22	25

테두리 매직 스퀘어는 각각의 동심 테두리가 중앙 코어 매직 스퀘어에 대해 독립적으로 회전하거나 반사된 후에도 테두리 매직 스퀘어로 남습니다.b개의 테두리가 있는 경우 이 변환은 8개의 동등한 제곱을 생성합니다^b.아래의 5×5 매직 사각형의 예에서는 테두리가 시계 반대 방향으로 90도 회전했습니다.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

21	11	2	6	25
4	14	7	18	22
16	17	13	9	10
23	8	19	12	3
1	15	24	20	5

복합 매직 사각형의 경우

내장된 매직스퀘어가 마법의 속성을 방해하지 않는 변환(회전, 반사, 행 및 열의 이동 등)을 거치면 복합 매직스퀘어는 복합 매직스퀘어로 남습니다.

특수 공법

천년에 걸쳐 마법의 사각형들을 건설하는 많은 방법들이 발견되었다.이 방법들은 일반적인 방법들과 특별한 방법들로 분류될 수 있는데, 일반적인 방법들은 우리가 주어진 순서의 하나 이상의 마법 정사각형을 만들 수 있는 반면, 특별한 방법들은 우리가 주어진 순서의 하나의 마법 정사각형을 만들 수 있게 해준다.특수한 방법은 특정 알고리즘이지만 일반적인 방법은 시행착오가 필요할 수 있습니다.

특별한 방법은 매직 스퀘어를 만드는 표준적이고 가장 간단한 방법입니다.이는 정사각형에 규칙적인 숫자 패턴을 생성하는 특정 구성/수식/알고리즘을 따릅니다.이러한 특수한 방법의 정확성은 후술하는 일반적인 방법 중 하나를 사용하여 입증할 수 있습니다.특별한 방법을 사용하여 매직스퀘어를 구축한 후 이전 섹션에서 설명한 변환을 적용하여 더 많은 매직스퀘어를 생성할 수 있습니다.특별한 방법은 보통 방법을 설명한 작성자(알고 있는 경우)의 이름을 사용하여 참조됩니다.데라 루베르의 방법, 스타체이의 방법, 바첼의 방법 등

순서 2를 제외한 n의 모든 값에 대해 매직 제곱이 존재합니다.매직 스퀘어는 그 순서에 따라 홀수, 2배 짝수(4로 나눌 수 없음) 및 단일 짝수(4로 나눌 수 없음)로 분류할 수 있습니다.이 분류는 이러한 다른 종류의 정사각형을 구성하기 위해 완전히 다른 기술을 사용해야 한다는 사실에 기초한다.홀수 및 2배 짝수 매직스퀘어는 생성하기 쉽습니다.단일 짝수 매직스퀘어의 구축은 더 어렵지만 매직스퀘어의 LUX 방식(John Horton Conway에 의한)과 매직스퀘어의 Stracey 방식 등 몇 가지 방법이 존재합니다.

3차 마법의 정사각형을 만드는 방법

19세기에 에두아르 루카스는 3개의 마법 정사각형 순서를 위한 일반 공식을 고안했다.다음 표는 양의 정수 a, b 및 c로 구성되어 있습니다.

c − b	c + (a + b)	c − a
c - ( a - b )	c	c + (a − b)
c + a	c − (a + b)	c + b

이 9개의 숫자는 0 < a < b < c - a 및 b 2 2a인 한 매직 상수 3c를 갖는 매직 정사각형을 형성하는 별개의 양의 정수입니다.게다가, 각각의 3×3 매직 정사각형은 서로 다른 양의 정수이다.

1997년에 Lee Sallows는 회전과 반사는 차치하고 아간드 다이어그램에 그려진 모든 뚜렷한 평행사변형이 이전에는 전혀 ^[67]주목받지 못했던 독특한 3×3 매직 스퀘어를 정의한다는 것을 발견했다.

홀수 차수의 마법 정사각형을 만드는 방법

양희의 공법

프랑스 외교관 드 라 루베르가 인도인에 ^[70]따르면 마법 광장의 문제라는 제목의 장에서 그의 책, 시암 왕국의 새로운 역사적 관계에서 이상한 순서로 마법 광장을 건설하는 방법을 발표했습니다.이 메서드는 다음과 같이 동작합니다.

첫 번째 행의 중앙 열부터 숫자 1로 시작하는 방법이고, 그 후 정사각형을 채우기 위한 기본 이동은 대각선으로 위, 오른쪽으로 한 번에 한 단계씩 이루어집니다.정사각형에 순서 n의 배수가 채워지면 대신 한 정사각형 아래로 수직으로 이동한 다음 이전과 같이 계속합니다."위쪽"과 "오른쪽" 이동이 정사각형을 벗어날 경우, 각각 마지막 행 또는 첫 번째 열로 감겨집니다.

순서 1
	1

순서 2
	1

		2

순서 3
	1
3
		2

순서 4
	1
3
4		2

순서 5
	1
3	5
4		2

순서 6
	1	6
3	5
4		2

순서 7
	1	6
3	5	7
4		2

순서 8
8	1	6
3	5	7
4		2

순서 9
8	1	6
3	5	7
4	9	2

첫 번째 행의 중앙 열이 아닌 다른 정사각형에서 시작할 수 있지만 행과 열의 합만 동일하고 매직 합계가 생성되지만 대각 합계는 다릅니다.따라서 그 결과는 진정한 마법의 사각형이 아니라 반마법의 사각형이 될 것이다.북동쪽이 아닌 다른 방향으로 이동하면 마법의 사각형이 생길 수 있습니다.

주문 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

주문 5
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

주문 9
47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

이중 짝수 차수의 매직 스퀘어를 만드는 방법

이중 짝수는 n이 짝수 정수 또는 4p(예를 들어 4, 8, 12)의 짝수라는 것을 의미합니다. 여기서 p는 정수입니다.

일반 패턴 모든 숫자는 왼쪽 상단 모서리부터 시작하여 각 행에 걸쳐 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 쓰여집니다.그런 다음 숫자는 같은 장소에 유지되거나 일정한 규칙적인 패턴으로 정반대의 숫자와 교환됩니다.4차 매직스퀘어에서는 4개의 중앙 정사각형과 각 모서리의 1개의 정사각형의 숫자가 같은 장소에 유지되고 나머지 숫자는 서로 반대되는 숫자와 교환된다.

순서 4의 매직 스퀘어 구성 왼쪽 위에서 시작하여 정사각형의 각 행을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하고 각 셀을 1에서 16까지 세고 대각선을 따라 셀을 해당 번호로 채웁니다.오른쪽 하단 셀에 도달하면 테이블의 오른쪽 하단부터 각 행까지 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하여 1에서 16까지 셀 수 있는 비대각 셀을 해당 번호로 채웁니다.아래와 같이

M = 주문 4

1			4
	6	7
	10	11
13			16

M = 주문 4

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

위의 예를 확장한 순서 8, 12 First에 대해 패턴 테이블을 생성한다.여기서 '1'은 1~n²(좌우, 위에서 아래로)의 순서로 숫자가 쓰여진 정사각형에서 선택하는 것을 나타내고, '0'은 n~1의 역순으로² 숫자가 쓰여진 정사각형에서 선택하는 것을 나타낸다.M = 4의 경우 패턴 표는 아래와 같습니다(왼쪽에서 세 번째 행렬).변경되지 않은 셀('1'이 있는 셀)을 음영 처리하면 십자형 패턴이 나타납니다.

M = 주문 4

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

M = 주문 4

16	15	14	13
12	11	10	9
8	7	6	5
4	3	2	1

M = 주문 4

1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

M = 주문 4

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

패턴은 a) 각 행과 열에 동일한 수의 '1'과 '0'이 있으며 b) 각 행과 각 열은 '팔린드로믹', c) 왼쪽과 오른쪽 절반은 거울 이미지, d) 위쪽과 아래쪽 절반은 거울 이미지입니다(c 및 d는 b를 의미합니다).패턴 테이블은 단순성을 위해 (9, 6, 6, 9)로 16진수를 사용하여 나타낼 수 있습니다(행당1 니블, 4행).고차 2배 짝수 제곱에 필요한 패턴을 생성하는 가장 간단한 방법은 4차 제곱의 일반 패턴을 각 4x4 하위 제곱에 복사하는 것입니다.

M = 8의 경우 패턴에 대해 가능한 선택 항목은 (99, 66, 99, 66, 66, 66, 99, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, 3C, 3C), (A5, 5A, 5A, 5A, 5A)입니다.

M = 주문 8

1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1

M = 주문 8

1			4	5			8
	10	11			14	15
	18	19			22	23
25			28	29			32
33			36	37			40
	42	43			46	47
	50	51			54	55
57			60	61			64

M = 주문 8

1	63	62	4	5	59	58	8
56	10	11	53	52	14	15	49
48	18	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	30	36	37	27	26	40
24	42	43	21	20	46	47	17
16	50	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

M = 12의 경우 패턴 테이블(E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07)은 매직 정사각형(행당 3개씩, 12개 행)을 생성합니다.패턴 테이블을 기반으로 회전 대칭을 고려하여 선택 가능한 수를 셀 수 있습니다.

중첩법

중첩법의 가장 이른 발견은 14세기 인도 수학자 나라야나에 의해 이루어졌다.같은 방법은 나중에 18세기 초 유럽에서 de la Loubere, Poignard, de La Hire 및 Sauveur에 의해 재발견되고 연구되었습니다.이 방법은 보통 de la Hire의 방법이라고 불립니다.비록 오일러의 마법의 정사각형에 대한 연구는 독창적이지 않았지만, 오일러는 홀수 순서로 서로 직교하는 그라에코-라틴 정사각형을 구성하는 것의 불가능을 추측한 것으로 유명하다.이 추측은 20세기 중반에 반증되었다.설명의 명확성을 위해 이 방법의 두 가지 중요한 변형을 구별했다.

오일러의 방법

이 방법은 두 개의 예비 정사각형을 구성하는 것으로 구성되어 있으며, 이 정사각형을 합산하면 매직 정사각형이 됩니다.실행 예시로 3×3 매직 스퀘어를 생각해 보겠습니다.3×3 자연 정사각형의 각 숫자를 한 쌍의 숫자로 고유하게 표시할 수 있습니다.

1	2	3
4	5	6
7	8	9

알파	αb	αc
βa	βb	βc
a	§	§

여기서 그리스어와 라틴어 알파벳의 모든 쌍(예: αa)은 함께 추가되어야 한다. 즉, αa = α + a이다.단, (α, β, θ) = (0, 3, 6) 및 (a, b, c) = (1, 2, 3)이다.숫자 0, 3, 6은 루트 번호이며 숫자 1, 2, 3은 프라이머리 번호입니다.여기서 중요한 일반적인 제약사항은 다음과 같습니다.

그리스 문자는 라틴 문자와 단 한 번만 짝을 이룬다.

따라서 원래 정사각형을 두 개의 간단한 정사각형으로 분할할 수 있습니다.

α	α	α
β	β	β
γ	γ	γ

a	b	c
a	b	c
a	b	c

글자가 새겨진 사각형은 그리스어 또는 라틴어로 각각 채워진 경우 그리스어 정사각형 또는 라틴어 정사각형이라고 합니다.그리스와 라틴의 정사각형이 마법의 정사각형이 되도록 함으로써 마법의 정사각형을 만들 수 있습니다.이 문장의 반대도 종종 사실이지만 항상 그렇지는 않다(예: 테두리 있는 매직 스퀘어).마법의 사각형은 그리스와 라틴의 사각형으로 분해될 수 있는데, 그 자체가 마법의 사각형이다.따라서 이 방법은 합성뿐만 아니라 매직 스퀘어 분석에도 유용합니다.마지막으로 숫자가 완성된 정사각형에 배치되는 패턴을 검토함으로써 그리스어와 라틴어의 예비 정사각형을 만들 필요 없이 주어진 패턴을 복제하는 고차 정사각형을 만드는 더 빠른 알고리즘을 고안할 수 있습니다.

3×3 매직 스퀘어를 건설하는 동안, 9개의 다른 용어가 있는 원래의 스퀘어에 비해 그리스어와 라틴어의 스퀘어는 3개의 고유한 용어가 있는 스퀘어를 다루기가 훨씬 쉽습니다.행 합계와 그리스 정사각형의 열 합계는 동일할 것이다. α + β + θ는 다음과 같다.

각 문자는 특정 열 또는 행에 정확히 한 번 표시됩니다.

이는 α, β 및 β의 주기적 치환에 의해 달성될 수 있다.이 두 조건을 만족시키면 결과 정사각형이 반마법의 정사각형이 됩니다.그리고 이러한 그리스어와 라틴어의 정사각형이 서로 직교한다고 합니다.주어진 순서 n에 대해 상호 직교 정사각형 집합에는 기호의 순열로 인한 변동을 세지 않고 최대 n - 1개의 정사각형 집합이 있습니다.이 상한은 n이 소수일 때 정확합니다.

매직 스퀘어를 만들기 위해서는 대각선의 합이 매직 상수가 되도록 해야 합니다.이를 위해 세 번째 조건이 있습니다.

모든 문자는 양쪽 대각선에 정확히 한 번 나타나야 합니다.또는 홀수 정사각형의 경우 대각선 중 하나는 모두 중간항으로 구성되어야 하며 다른 대각선은 모든 문자를 정확히 한 번 가져야 합니다.

세 번째 조건의 첫 번째 부분(모든 문자가 대각선에 표시됨)을 충족하는 상호 직교 그리스어와 라틴어의 정사각형은 상호 직교하는 이중 대각선 그라에코-라틴어 정사각형이라고 합니다.

홀수 정사각형:3×3 홀수 제곱은 α, β, β가 산술적 수열이므로 그 합은 제곱의 차수와 중간항의 곱, 즉 α + β + β = 3β와 같다.따라서 대각선에 βs가 있고 스큐 대각선에 α, β, θ가 있으면 대각합이 같아진다.비슷하게, 라틴 광장에도요.그리스어와 라틴어의 정사각형과 그 조합은 다음과 같습니다.라틴 사각형은 그리스 사각형에서 시계 반대 방향으로 90도 회전하는 것(또는 이와 동등하게 수직 축을 중심으로 회전하는 것)으로, 대응하는 문자가 서로 교환됩니다.그리스 문자와 라틴 문자의 값을 대입하면 3×3 매직 사각형이 됩니다.

β	α	γ
γ	β	α
α	γ	β

c	a	b
a	b	c
b	c	a

βc	알파	§
a	βb	αc
αb	§	βa

6	1	8
7	5	3
2	9	4

홀수 제곱의 경우, 이 방법은 샴법(De la Loubere의 방법)과 그 변형이 작동하는 이유를 설명합니다.이 기본 방법을 사용하여 더 높은 차수의 홀수 순서 매직 정사각형을 구성할 수 있습니다.요약:

홀수 순서 정사각형의 경우 그리스식 정사각형을 구성하려면 중간 항을 주 대각선을 따라 배치하고 나머지 항은 기울기 대각선을 따라 배치합니다.나머지 빈 셀은 대각선 이동으로 채워집니다.라틴 사각형은 그리스 사각형 회전 또는 뒤집기와 대응하는 알파벳 대체로 구성할 수 있습니다.그리스어와 라틴어의 정사각형을 더하면 마법의 정사각형을 얻을 수 있습니다.

홀수 매직스퀘어에 대해 상술한 시공방법의 특징은 중간수(n+1)/2가² 매직스퀘어의 중심 셀에 항상 나타난다는 것이다.(n - 1)! 스큐 대각선 항을 배열하는 방법이 있으므로 (n - 1)을 얻을 수 있습니다!그리스 사각형은 이쪽, 라틴 사각형은 이쪽입니다.또한 각 그리스 사각형은 (n - 1)과 쌍을 이룰 수 있습니다!라틴 사각형, 그리고 그리스 사각형 각각에 대해 중간 항은 임의로 주 대각선 또는 스큐 대각선(및 이에 대응하여 라틴 사각형에 대한 스큐 대각선 또는 주 대각선)에 배치될 수 있기 때문에, 우리는 이 방법을 사용하여 총 2 × (n - 1) × (n - 1)! 매직 사각형들을 구성할 수 있습니다.n = 3, 5, 7의 경우 각각 8, 1152 및 1,036,800개의 서로 다른 매직 정사각형을 얻을 수 있습니다.회전과 반사로 인해 등가 제곱을 무시하기 위해 8로 나누면 각각 근본적으로 다른 매직 제곱 1, 144 및 129,600을 얻을 수 있다.

다른 예로는 5×5 매직스퀘어 구조를 들 수 있다.알파벳 대신 숫자를 직접 씁니다.번호가 매겨진 정사각형은 각각 기본 번호 또는 루트 번호로 채워진 경우 기본 정사각형 또는 루트 정사각형이라고 합니다.루트 정사각형의 스큐 대각선 주위에 숫자가 배치되어 결과적으로 생성되는 루트 정사각형의 중간 열이 0, 5, 10, 15, 20(아래에서 위까지)이 됩니다.기본 정사각형은 루트 정사각형을 시계 반대 방향으로 90도 회전시키고 숫자를 바꿈으로써 구합니다.결과 제곱은 중심과 대칭으로 반대되는 숫자의 모든 쌍이 같은 값인 26까지 합하는 연상 매직 제곱입니다.예를 들어 16+10, 3+23, 6+20 등입니다.완성된 사각형은 맨 아래 열의 중앙 셀에 1을 배치하고, 연속되는 번호는 길쭉한 기사 이동(오른쪽 2셀, 아래쪽 2셀) 또는 그에 상응하는 비숍 이동(오른쪽 대각선 아래 2셀)으로 배치한다.충돌이 발생하면 중단 이동은 셀을 1개 위로 이동하는 것입니다.홀수는 모두 1, 5, 25, 21에 의해 형성된 중심 다이아몬드 내부에서 발생하며 짝수는 모서리에 배치된다.짝수의 발생은 정사각형을 인접한 변에 복사하여 추론할 수 있습니다.네 개의 인접한 정사각형에서 짝수가 십자형을 이룬다.

10				5
	10		20
		10
	0		10
15				10

10			0	5
	10		20	0
0		10
	0		10
15		0		10

10	15	20	0	5
5	10	15	20	0
0	5	10	15	20
20	0	5	10	15
15	20	0	5	10

2	1	5	4	3
1	5	4	3	2
5	4	3	2	1
4	3	2	1	5
3	2	1	5	4

12	16	25	4	8
6	15	19	23	2
5	9	13	17	21
24	3	7	11	20	24
18	22	1	10	14	18	22
			4	8	12	16
				2	6

스큐 대각 시퀀스가 다른 순서로 취해지는 위의 예를 다음에 나타냅니다.그 결과 만들어진 마법 광장은 유명한 아그리파의 화성 마법 광장을 뒤집은 것이다.모스코풀로스의 방법에 의해 만들어진 것과 같은 연상 마법의 광장입니다.여기서 결과 정사각형은 중앙 셀의 오른쪽에 있는 셀에 1을 배치하는 것으로 시작하여 De la Loubere의 방법에 따라 오른쪽 아래로 이동한다.충돌이 발생하면 두 개의 셀을 오른쪽으로 이동시키는 것이 중단 이동입니다.

10				20
	10		15
		10
	5		10
0				10

10	0	15	5	20
20	10	0	15	5
5	20	10	0	15
15	5	20	10	0
0	15	5	20	10

1	4	2	5	3
4	2	5	3	1
2	5	3	1	4
5	3	1	4	2
3	1	4	2	5

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

앞의 예에서는 그리스 정사각형의 경우 두 번째 행은 첫 번째 행에서 오른쪽으로 한 셀씩 원을 그리며 이동함으로써 얻을 수 있습니다.마찬가지로 세 번째 행은 두 번째 행이 오른쪽으로 한 셀씩 순환 이동된 버전입니다.마찬가지로 라틴 사각형 행은 한 셀씩 왼쪽으로 순환 이동됩니다.그리스어와 라틴어 정사각형의 행 이동은 서로 반대 방향입니다.그리스어와 라틴어의 정사각형을 작성하기 위해 행을 둘 이상의 셀로 순환 이동할 수 있습니다.

순서가 3으로 나누어지지 않는 홀수 제곱의 경우 행을 왼쪽 또는 오른쪽으로 두 자리 이동하면 그리스 제곱을 만들 수 있습니다.라틴 사각형은 그리스 사각형을 대각선을 따라 뒤집고 대응하는 문자를 바꿔서 만든다.이것은 행이 그리스 사각형과 반대 방향으로 이동함으로써 만들어지는 라틴 사각형입니다.그리스 사각형과 라틴 사각형은 행 이동이 서로 반대 방향으로 이동하도록 쌍으로 구성해야 합니다.그리스어와 라틴어의 정사각형을 더하면 마법의 정사각형을 얻을 수 있습니다.순서도 소수가 되면, 이 방법은 항상 범대각선 매직 스퀘어를 작성합니다.

이것은 본질적으로 기사의 움직임을 재창조한다.모든 글자가 양쪽 대각선으로 나타나 정확한 대각 합계가 보장됩니다.그리스 사각형 첫 번째 행을 만들 수 있는 그리스 문자의 배열이 n!개 있기 때문에 첫 번째 행을 한 방향으로 이동시켜 만들 수 있는 n!개 그리스 사각형도 있습니다.마찬가지로 첫 번째 행을 반대 방향으로 이동시켜 만든 n!개의 라틴 사각형도 있습니다.그리스 사각형은 반대행 교대조의 라틴 사각형과 결합할 수 있기 때문에, n! × n!의 조합이 있다.마지막으로, 그리스 사각형은 행을 왼쪽이나 오른쪽으로 이동시켜 만들 수 있기 때문에, 이 방법으로 형성할 수 있는 매직 사각형은 총 2 × n! × n!이다.n = 5 및 7의 경우, 이 방법은 소수이므로 28,800과 50,803,200의 범대각선 매직 정사각형을 생성합니다.회전과 반사로 인해 등가 제곱을 무시하기 위해 8로 나누면 3,600과 6,350,400의 등가 제곱을 얻을 수 있습니다.행이나 열의 주기적 이동으로 인해 동등한 범마법 사각형들을 무시하기 위해 n으로² 더 나누면, 우리는 근본적으로 다른 범마법 사각형 144개와 129,600개를 얻는다.5개의 정사각형을 주문하는 경우, 범마법의 정사각형이 이것밖에 없습니다.제곱의 차수가 3으로 나누어지지 않는다는 것은 이 방법으로는 9, 15, 21, 27 등의 차수의 제곱을 만들 수 없다는 것을 의미합니다.

다음 예제에서는 1이 중심 셀에 오도록 정사각형이 구성되어 있습니다.완성된 정사각형에서는 기사 이동에 따라 숫자를 연속적으로 열거할 수 있습니다(위로 2셀, 오른쪽으로 1셀).충돌이 발생했을 때 브레이크 무브는 1셀을 위로, 1셀을 왼쪽으로 이동시키는 것입니다.결과적으로 만들어진 사각형은 범대각선 마법의 사각형입니다.이 사각형은 또한 더 사악한 성질을 가지고 있는데, 랩 어라운드를 포함한 홀수 부분 사각형에 의해 형성된 퀸쿤스 패턴의 5개의 세포는 마법 상수 65를 합합니다.예를 들어 13+7+1+20+24, 23+1+9+15+17, 13+21+10+19+2 등입니다.또한 5×5의 정사각형과 중앙 셀의 네 모서리와 중앙 셀과 함께 중앙 셀 13+10+19+22+1과 20+24+12+8+1의 마법의 합을 준다.마지막으로, 길쭉한 십자가를 이루는 네 개의 마름모꼴 또한 마법의 합을 줍니다: 23+1+9+24+8, 15+1+17+20+12, 14+1+18+13+19, 7+1+25+22+10.

10	15	20	0	5
0	5	10	15	20
15	20	0	5	10
5	10	15	20	0
20	0	5	10	15

3	1	4	2	5
4	2	5	3	1
5	3	1	4	2
1	4	2	5	3
2	5	3	1	4

13	16	24	2	10
4	7	15	18	21
20	23	1	9	12
6	14	17	25	3
22	5	8	11	19

그리스어와 라틴어의 정사각형을 다른 방법으로 조합할 수도 있습니다.아래 예에서는 기사 이동을 사용하여 기본 정사각형을 만듭니다.De la Loubere의 방법으로 얻은 매직 스퀘어를 재현했습니다.이 조합으로 8 × (n - 1)! × n! 매직 스퀘어를 만들 수 있습니다.n = 5 및 7의 경우 23,040 및 29,030,400개의 매직 정사각형이 생성됩니다.회전과 반사로 인해 등가 제곱을 무시하기 위해 8로 나누면 2,880 제곱과 3,628,800 제곱이 됩니다.

15	20	0	5	10
20	0	5	10	15
0	5	10	15	20
5	10	15	20	0
10	15	20	0	5

2	4	1	3	5
3	5	2	4	1
4	1	3	5	2
5	2	4	1	3
1	3	5	2	4

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

5차 제곱의 경우 이 세 가지 방법은 중첩 방법으로 구성할 수 있는 매직 제곱의 수에 대한 전체 인구 조사를 제공합니다.회전과 반사를 무시하고 중첩법에 의해 생성되는 5차 총 매직 제곱 수는 144 + 3,600 + 2,880 = 6,624입니다.

짝수 정사각형:이렇게 해서 정사각형도 만들 수 있어요.짝수 정사각형에 대한 그리스어와 라틴어 알파벳 사이에는 중간항이 없기 때문에 처음 두 개의 제약조건 외에 대각합이 마법의 상수를 산출하기 위해 알파벳의 모든 문자는 주 대각선과 스큐 대각선으로 표시되어야 합니다.

4×4 정사각형의 예는 다음과 같습니다.그리스 사각형에서 지정된 대각선 및 스큐 대각선의 경우 각 문자가 행과 열에 한 번만 나타나는 조건을 사용하여 나머지 셀을 채울 수 있습니다.

α			δ
	δ	α
	γ	β
β			γ

α	β	γ	δ
γ	δ	α	β
δ	γ	β	α
β	α	δ	γ

a	b	c	d
d	c	b	a
b	a	d	c
c	d	a	b

알파	βb	§	d
d	§	αb	βa
§	a	βd	αc
βc	αd	a	§

1	6	11	16
12	15	2	5
14	9	8	3
7	4	13	10

이 두 개의 그라에코-라틴 사각형으로 2 × 4! × 4! = 1,440개의 매직 사각형으로 구성할 수 있습니다.회전과 반사로 인한 등가 제곱을 제거하기 위해 8로 나누면 144개의 근본적으로 다른 4차 매직 제곱을 얻을 수 있습니다.오일러법에 의해 구성될 수 있는 유일한 마법의 정사각형은 4차원의 상호 직교 이중 대각선 그라에코-라틴 정사각형 두 개뿐이기 때문입니다.

마찬가지로 8×8 매직스퀘어를 다음과 같이 구성할 수 있습니다.여기서 숫자의 출현 순서는 중요하지 않지만 사분면은 4×4 Graeco-Latin 사각형 배치 패턴을 모방한다.

0	8	16	24	32	40	48	56
24	16	8	0	56	48	40	32
48	56	32	40	16	24	0	8
40	32	56	48	8	0	24	16
56	48	40	32	24	16	8	0
32	40	48	56	0	8	16	24
8	0	24	16	40	32	56	48
16	24	0	8	48	56	32	40

1	2	3	4	5	6	7	8
3	4	1	2	7	8	5	6
5	6	7	8	1	2	3	4
7	8	5	6	3	4	1	2
4	3	2	1	8	7	6	5
2	1	4	3	6	5	8	7
8	7	6	5	4	3	2	1
6	5	8	7	2	1	4	3

1	10	19	28	37	46	55	64
27	20	9	2	63	56	45	38
53	62	39	48	17	26	3	12
47	40	61	54	11	4	25	18
60	51	42	33	32	23	14	5
34	41	52	59	6	13	24	31
16	7	30	21	44	35	58	49
22	29	8	15	50	57	36	43

오일러의 방법은 그라에코-라틴 사각형 연구를 낳았다.오일러의 마법 정사각형 구성 방법은 2와 6을 제외한 모든 차수에 유효합니다.

변형: 서로 직교하는 이중 대각선 Graeco-Latin 사각형으로 구성된 마법의 사각형은 마법의 속성이 정사각형 내의 알파벳의 상대적인 위치에서 나타나기 때문에 흥미롭다.그것들에 할당된 값의 산술적 속성 때문이 아니다.즉, 이러한 정사각형의 알파벳에 어떤 값이라도 할당해도 마법의 정사각형을 얻을 수 있습니다.이는 정사각형에 일부 정보(예: 생일, 연도 등)를 표시하는 정사각형을 구성하고 "역할 수 있는 정사각형"을 만들기 위한 기초입니다.예를 들어 (α, β, β, θ, θ) = (10, 0, 90, 15) 및 (a, b, c, d) = (0, 2, 3, 4)를 할당하면 위의 그라에코-라틴 사각형에서 4×4 매직 사각형 맨 아래 행에 θ 3.141592를 표시할 수 있습니다.매직섬 124를 사용하여 다음과 같은 비정상 매직스퀘어를 구합니다.

10	2	93	19
94	18	12	0
17	90	4	13
3	14	15	92

나라야나 데라 히레의 짝수 주문 방법

나라야나-델라 히레의 홀수 제곱법은 오일러의 방법과 동일하다.그러나 짝수 정사각형의 경우 각 그리스어와 라틴어 문자는 지정된 행 또는 열에 한 번만 표시되어야 하는 두 번째 요구 사항을 제외합니다.이를 통해 짝수 항을 갖는 산술 급수의 합이 반대 대칭 항 두 개의 합에 총 항 수의 절반을 곱한 것과 같다는 사실을 이용할 수 있습니다.따라서 그리스어나 라틴어 정사각형을 만들 때,

짝수 정사각형의 경우 한 열에 문자가 n/2회 표시될 수 있지만 한 행에 한 번만 표시될 수 있습니다.

예를 들어, 4×4 제곱을 취하면, 그리스어와 라틴어의 항은 각각 (α, β, β, β, β) = (0, 4, 8, 12)와 (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4)의 값을 가지며, 그러면 α + β + β + = (α + β)가 된다.마찬가지로 a + b + c + d = 2 (a + d) = 2 (b + c)입니다.즉, 상보 쌍α와 β(또는 β와 δ)가 열(또는 행)에 두 번 나타나도 원하는 매직섬을 제공할 수 있다.따라서 다음을 구성할 수 있습니다.

짝수 정사각형의 경우, 그리스 마법의 사각형은 먼저 그리스 알파벳을 대각선을 따라 어떤 순서로 배열함으로써 만들어집니다. 그런 다음 스큐 대각선은 같은 순서로 채워지거나 주 대각선의 항에 보완되는 항을 선택하여 채워집니다. 마지막으로 나머지 셀은 컬럼 와이즈로 채워집니다. 열이 지정되면 해당 열이 교차하는 대각선 셀에서 보완 항을 사용하여 지정된 행에 한 번만 나타나지만 지정된 열에 n/2번 나타나도록 합니다. 라틴 사각형은 그리스 사각형은 뒤집거나 회전하고 대응하는 알파벳을 바꿔서 얻습니다. 그리스어와 라틴어의 정사각형을 더하면 마지막 마법의 정사각형을 얻을 수 있습니다.

아래 예에서 주 대각선(왼쪽 위부터 오른쪽 아래)은 α, β, θ, θ 순으로 채워지고, 스큐 대각선(왼쪽 아래부터 오른쪽 위)은 같은 순서로 채워진다.그 후 나머지 셀은 한 행에 한 번만, 열에는 두 번만 표시되도록 열와이즈로 채워집니다.첫 번째 열에서는 첫 번째 열과 네 번째 열에 α가 나타나기 때문에 나머지 세포는 그 상항 θ로 채워진다.마찬가지로 제2열의 빈 셀은 제3열의 β, 제4열의α로 채워진다.각 그리스 문자는 행을 따라 한 번만 나타나지만 열을 따라 두 번 나타납니다.따라서 열합은 α + β + δ + δ이고 열합은 2(α + δ) 또는 2(β + δ)이다.마찬가지로 그리스 사각형을 주 대각선을 따라 플립하고 대응하는 문자를 교환하여 얻을 수 있습니다.

α			δ
	β	γ
	β	γ
α			δ

α	γ	β	δ
δ	β	γ	α
δ	β	γ	α
α	γ	β	δ

a	d	d	a
c	b	b	c
b	c	c	b
d	a	a	d

알파	d	βd	a
§	βb	§	αc
§	βc	§	αb
αd	a	βa	d

1	12	8	13
15	6	10	3
14	7	11	2
4	9	5	16

위의 예는 두 배 짝수 정사각형에 대해 "크리스-크로스" 방법이 작동하는 이유를 설명합니다.다른 가능한 4×4 매직 스퀘어는 범대각선이고 가장 완벽하며 동일한 규칙을 사용하여 아래에 구축됩니다.단, 대각계열은 중앙 2×2 서브스퀘어 내에 4개의 문자α, β, θ가 모두 나타나도록 선택된다.나머지 셀은 각 문자가 한 행에 한 번만 표시되도록 열 단위로 채워집니다.첫 번째 열에서는 빈 셀을 보완 쌍α와 θ 중 하나의 문자로 채울 필요가 있다.첫 번째 열의 경우 두 번째 행의 엔트리는 α가 이미 두 번째 행에 있기 때문에 α만 입력할 수 있으며, 세 번째 행은 α가 이미 세 번째 행에 있기 때문에 α만 입력할 수 있습니다.모든 셀이 채워질 때까지 비슷하게 진행됩니다.아래에 제시된 라틴 사각형은 그리스 사각형들을 주 대각선을 따라 뒤집고 그리스 알파벳을 대응하는 라틴 알파벳으로 대체함으로써 얻어졌습니다.

α			γ
	γ	α
	β	δ
δ			β

α	β	δ	γ
δ	γ	α	β
α	β	δ	γ
δ	γ	α	β

a	d	a	d
b	c	b	c
d	a	d	a
c	b	c	b

알파	βd	a	d
§	§	αb	βc
αd	βa	d	a
§	§	αc	βb

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

이 접근방식을 사용하여 매직 스퀘어도 개별적으로 구성할 수 있습니다.그러나 그리스어와 라틴어 알파벳을 고유하게 조합하는 기준이 자동으로 충족되는 것은 아니기 때문에 이 경우 더욱 주의해야 한다.이 조건을 위반하면 마지막 정사각형에 누락된 번호가 있는 반면 다른 숫자는 중복됩니다.여기서 중요한 조건을 제시하겠습니다.

단일 짝수 정사각형의 경우 그리스 사각형에서 보형에 수직으로 쌍으로 구성된 열의 셀을 확인합니다.이 경우 라틴 사각형에 대응하는 셀은 수평 쌍으로 구성된 셀과 동일한 문자를 포함해야 합니다.

아래는 알파벳이 아닌 숫자가 직접 주어지는 6×6 매직 스퀘어 구조입니다.두 번째 사각형은 첫 번째 사각형은 주 대각선을 따라 플립하여 구성됩니다.여기서 루트 정사각형의 첫 번째 열에서는 세 번째 셀이 네 번째 셀의 보완 셀과 쌍을 이룬다.따라서 주 사각형에서는 세 번째 행의 첫 번째 셀과 여섯 번째 셀의 숫자가 동일합니다.마찬가지로 다른 열과 행도 마찬가지입니다.이 예에서는 루트 정사각형의 플립 버전이 이 조건을 충족합니다.

0	24	18	12	6	30
30	6	12	18	24	0
0	24	12	18	6	30
30	24	12	18	6	0
30	6	18	12	24	0
0	6	18	12	24	30

1	6	1	6	6	1
5	2	5	5	2	2
4	3	3	3	4	4
3	4	4	4	3	3
2	5	2	2	5	5
6	1	6	1	1	6

1	30	19	18	12	31
35	8	17	23	26	2
4	27	15	21	10	34
33	28	16	22	9	3
32	11	20	14	29	5
6	7	24	13	25	36

이렇게 만들어진 6×6 매직 사각형의 또 다른 예는 다음과 같습니다.여기서는 대각선 엔트리가 다르게 배열되어 있습니다.주 사각형은 주 대각선 주위에 루트 정사각형을 플립하여 구성됩니다.제2의 정사각형에서는 짝수 제곱의 조건이 충족되지 않아 숫자 4, 18, 19, 33을 놓치고 숫자 3, 13, 24, 34가 중복되는 비정상 매직 정사각형(3의 정사각형)이 된다.

6	30	12	18	0	24
24	0	12	18	30	6
24	0	18	12	30	6
6	30	18	12	0	24
24	0	18	12	30	6
6	30	12	18	0	24

2	5	5	2	5	2
6	1	1	6	1	6
3	3	4	4	4	3
4	4	3	3	3	4
1	6	6	1	6	1
5	2	2	5	2	5

8	35	17	20	5	26
30	1	13	24	31	12
27	3	22	16	34	9
10	34	21	15	3	28
25	6	24	13	36	7
11	32	14	23	2	29

마지막 조건은 다소 임의적이며, 이 예에서는 루트 정사각형에서 각 셀이 그 보완 셀과 수직으로 쌍을 이루는 경우와 같이 항상 호출할 필요는 없습니다.

6	30	12	24	18	0
6	0	18	24	12	30
24	0	12	6	18	30
6	30	18	24	12	0
24	30	12	6	18	0
24	0	18	6	12	30

2	2	5	2	5	5
6	1	1	6	6	1
3	4	3	4	3	4
5	5	2	5	2	2
4	3	4	3	4	3
1	6	6	1	1	6

8	32	17	26	23	5
12	1	19	30	18	31
27	4	15	10	21	34
11	35	20	29	14	2
28	33	16	9	22	3
25	6	24	7	13	36

또 하나의 예로서 8×8 매직 스퀘어를 생성했습니다.균등한 정사각형에 대한 이전 섹션의 십자형 패턴과는 달리, 우리는 변화된 세포와 변화되지 않은 세포에 대한 체크무늬를 가지고 있다.또한 각 사분면에서 홀수와 짝수가 번갈아 열에 표시됩니다.

0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56
56	8	40	24	32	16	48	0
0	48	16	32	24	40	8	56

1	8	1	8	8	1	8	1
7	2	7	2	2	7	2	7
3	6	3	6	6	3	6	3
5	4	5	4	4	5	4	5
4	5	4	5	5	4	5	4
6	3	6	3	3	6	3	6
2	7	2	7	7	2	7	2
8	1	8	1	1	8	1	8

1	56	17	40	32	41	16	57
63	10	47	26	34	23	50	7
3	54	19	38	30	43	14	59
61	12	45	28	36	21	42	5
60	13	44	29	37	20	53	4
6	51	22	35	27	46	11	62
58	15	42	31	39	18	55	2
8	47	24	33	25	48	9	64

변형: 기본 아이디어의 변형은 여러 가지가 가능합니다.보완 쌍은 열에 n/2회 이하로 표시될 수 있습니다.즉, 그리스 정사각형의 기둥은 둘 이상의 보완 쌍을 사용하여 구성할 수 있습니다.이 방법을 사용하면 마법의 사각형에 훨씬 더 풍부한 성질을 주입할 수 있습니다.이 아이디어는 대각선까지 확장될 수도 있습니다.8×8 매직 스퀘어의 예를 다음에 나타냅니다.완성된 정사각형에서 4개의 사분면은 각각 범마법의 정사각형이며, 각 사분면은 동일한 마법 상수 130을 가진다.

0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
0	48	56	8	16	32	40	24
56	8	0	48	40	24	16	32
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16
48	0	8	56	32	16	24	40
8	56	48	0	24	40	32	16

1	8	1	8	7	2	7	2
7	2	7	2	1	8	1	8
8	1	8	1	2	7	2	7
2	7	2	7	8	1	8	1
3	6	3	6	5	4	5	4
5	4	5	4	3	6	3	6
6	3	6	3	4	5	4	5
4	5	4	5	6	3	6	3

1	56	57	16	23	34	47	26
63	10	7	50	41	32	17	40
8	49	64	9	18	39	42	31
58	15	2	55	48	25	24	33
51	6	11	62	37	20	29	44
13	60	53	4	27	46	35	22
54	3	14	59	36	21	28	45
12	61	52	5	30	43	38	19

테두리 방법

주문 3의 경계 방식

이 방법에서는 코어 역할을 하는 작은 매직 스퀘어 주위에 테두리를 두르는 것이 목적입니다.예를 들어 3×3의 정사각형을 생각해 봅시다.각 숫자 1, 2, ..., 9에서 중간 숫자 5를 빼면 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4가 나오는데, S 뒤에 더 나은 단어가 없기 때문에 이 값이 나옵니다.해리 화이트, 골격 수치라고 해마법 정사각형의 모든 행을 더하면 nM = δ k = 0이 되므로, 우리는 스켈레톤 정사각형의 마법 상수를 골격 정사각형의 마법 상수는 0이 됩니다.

중간 숫자를 중앙 셀에 배치해야 한다는 주장은 어렵지 않습니다. x가 중간 셀에 배치되는 숫자라고 가정하면, 중간 열과 중간 열, 그리고 두 대각선의 합은 δ k + 3 x = 4 M을 줍니다.δ k = 3 M이므로 x = M / 3이 됩니다.여기서 M = 0이므로 x = 0입니다.

가운데 숫자 0을 중앙 셀에 넣고 그 결과 나타나는 정사각형이 마법이 되도록 경계를 만들고 싶습니다.테두리를 지정한다.

u	a	v
b*	0	b
v*	a*	u*

각 행, 열 및 대각선의 합계가 상수(0)여야 하므로 다음과 같습니다.

a + a* = 0,

b + b* = 0,

u + u* = 0,

v + v* = 0 。

a, b, u 및 v를 선택했다면 a* = - a, b* = - b, u* = - u 및 v* = - v가 됩니다.즉, 주어진 숫자(예: a = 1)를 변수에 할당하면 해당 변수의 보완이 a*(예: a* = - 1)에 할당됩니다.따라서 알려지지 않은 변수 8개 중 4개 변수의 값만 지정하면 됩니다.a, b, u 및 v는 독립변수로 간주하고 a*, b*, u* 및 v*는 종속변수로 간주합니다.이것은 (1) 주어진 변수(예: a)에 대한 할당이 자동으로 상호 보완 a*와 공유된다는 것을 의미하고 (2) 두 독립 변수(예: a와 b)에 동일한 골격 번호를 할당할 수 없기 때문에 기호와 관계없이 골격 번호 ± x를 단일 숫자로 간주할 수 있다.그런데 어떻게 a, b, u, v를 선택해야 할까요?맨 위 행의 합계와 오른쪽 열의 합계는 다음과 같습니다.

u + a + v = 0,

v + b + u* = 0 。

0은 짝수이므로 3개의 정수의 합이 짝수인 경우 1) 짝수인 경우 2) 2개가 홀수이고 1개가 짝수인 경우 2) 두 가지 방법만 있습니다.숫자 선택에서는 0이 아닌 두 개의 숫자(± 2와 ± 4)만 있으므로 첫 번째 문장은 거짓입니다.따라서 두 번째 진술이 참인 경우: 숫자 중 두 개는 홀수이고 하나는 짝수입니다.

위의 두 방정식이 이 패리티 조건을 동시에 만족하면서도 우리가 가진 숫자의 집합과 일관되는 유일한 방법은 u와 v가 홀수일 때입니다.반대로 첫 번째 방정식에서 u와 a가 홀수이고 v가 짝수라고 가정하면 두 번째 방정식에서는 u* = - u가 홀수이므로 패리티 조건을 만족시키기 위해 b도 홀수입니다.그러나 여기에는 3개의 홀수(u, a, b)가 필요하며, 이는 우리가 사용할 수 있는 홀수(± 1과 ± 3)가 두 개뿐이라는 사실과 모순됩니다.이것은 홀수 뼈 수가 모서리 세포를 차지한다는 것을 증명합니다.5를 더하면 3×3 매직 스퀘어 모서리가 모두 짝수로 채워진다는 것을 의미합니다.

따라서 u = 1과 v = 3을 취하면 a = - 4와 b = - 2가 됩니다.따라서 완성된 스켈레톤 사각형은 왼쪽과 같습니다.각 숫자에 5를 더하면 완성된 매직 스퀘어를 얻을 수 있습니다.

1	-4	3
2	0	-2
-3	4	-1

6	1	8
7	5	3
2	9	4

유사한 인수를 사용하여 더 큰 정사각형을 구성할 수 있습니다.테두리를 두르고 4×4 매직스퀘어를 만들 수 있는 2×2 매직스퀘어는 존재하지 않기 때문에 다음으로 테두리 정사각형을 만들 수 있는 가장 작은 순서는 5차입니다.

주문 5의 경계 방식

5차 제곱을 생각해 봅시다.이를 위해 3×3 매직코어를 가지고 있으며, 그 주위에 매직 테두리를 감습니다.사용할 골격 번호는 ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 및 ± 12입니다.별자리는 무시하고 골수만 8개인데 그 중 4개는 짝수이고 4개는 홀수입니다.일반적으로 임의의 순서 n의 제곱에 대해 경계 세포가 4개 있고, 경계 세포는 2(n - 1)개의 뼈 번호를 사용하여 채워집니다.마법의 테두리는 다음과 같이 주어집니다.

u	a	b	c	v
d*				d
e*				e
f*				f
v*	a*	b*	c*	u*

이전과 마찬가지로

그래서 마법의 합이 될 것이다 0, 뼈로 만든 번호와 서로에게 보충하는 반대를 올려 놓는다.

그것은 숫자 u, v, a, b, c, d, e, f마법의 국경을 묘사할를 결정하기 위해 충분하다.전에 해 드립니다는 상단 열과 오른쪽 열에 대한 두 제약 조건 방정식을 가지고 있다.

U+a+b+c+v=0.

V+d+e+f+u*)0.

여러 해결책 가능하다.표준 절차에 있다.

먼저 후에 우리는 국경의 나머지 결정하는 것을 시도할 구석 세포 등을 결정하기 위하여 노력한다.

8개 뼈 숫자의 집합에서 구석 세포를 두 숫자와 v. 너를 선택하는 28가지 방법이 있다.그러나 모든 쌍은 허용되고 있다.반면 6쌍 이상한 숫자로 그들 둘 모두를 가지고 있는 28개 쌍 중 16명 쌍 6쌍 가지고 있습니다. 심지어는, 홀수의 양쪽 짝수로 만들어진다.

우리는 구석 세포 너 그리고 v는 심지어 홀수를 가질 수 없다고 증명할 수 있다.때문에 이 그렇다면, 이는 금액 u+v와 v+u*가 될 것이다 이상하면서 이후 0이 짝수, 금액을+b+c, d+e+f이어야 한다 odd.때 1)두 사람은 서로, 또는 2)모든 3이상하다는 말은 이상 있는 유일한 방법은 세개의 정수의 합은 홀수로 이어질 것이다.이후 구석 세포와 누구라도 있는 것으로 가정한다, 이 두 진술이 사실은 우리가 단지 3심지어 3이상한 뼈 숫자들 우리의 의지에 달렸다와 호환됩니다.이것은 너 그리고 v 다른 패리티를 가질 수 없다는 것을 증명한다.이것에 의해, 16개의 가능성이 없어집니다.

유사한 유형의 추론을 사용하여 집합 {a, b, c} 및 {d, e, f}에 대한 몇 가지 결론을 도출할 수도 있습니다.u와 v가 둘 다 짝수일 경우 두 집합 모두 홀수 2개와 짝수 1개를 가져야 합니다.u와 v가 둘 다 홀수일 경우 두 세트의 한쪽에는 짝수가 3개, 다른 쪽에는 짝수가 1개, 홀수가 2개 있어야 합니다.

실행 예시로 u와 v가 모두 짝수인 경우를 고려합니다.사용 가능한 6개의 페어는 (6, 8, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) 및 (10, 12)입니다.u + v와 v + u*의 합은 짝수이므로 a + b + c와 d + e + f의 합도 짝수여야 합니다.세 정수의 합이 짝수가 되는 유일한 방법은 1) 두 정수가 홀수이고 하나가 짝수일 때 또는 2) 세 정수가 모두 짝수일 때뿐입니다.두 모서리 셀이 짝수라는 것은 짝수 2개밖에 없다는 것을 의미합니다.따라서 두 번째 진술은 이 사실과 호환되지 않습니다.따라서 첫 번째 문장이 참인 경우, 즉 3개의 숫자 중 2개는 홀수이고 1개는 짝수여야 합니다.

a, b, d, e는 홀수이고 c와 f는 짝수라고 합니다.처분 가능한 홀수 뼈 수: ± 5, ± 7, ± 9, ± 11을 고려할 때, 이들의 차이는 D = {± 2, ± 4, ± 6}인 반면, 합계는 S = {± 12, ± 14, ± 16, ± 18, ± 20}인 경우입니다.나중에 참조할 수 있도록 합계와 차이에 대한 표를 준비해 두는 것도 유용합니다.이제, 코너 셀(u, v)이 주어지면, 합계가 u + v + c와 v + u* + f가 집합 D 또는 S에 속하는지 확인하여 허용 가능성을 확인할 수 있습니다.모서리 숫자의 허용 가능성은 솔루션이 존재하기 위한 필수 조건이지만 충분한 조건은 아닙니다.

예를 들어 쌍(u, v) = (8, 12)을 고려하면 u + v = 20 및 v + u* = 6이 됩니다. 그러면 ± 6과 ± 10의 골격 번호가 자유롭게 지정됩니다.c = ± 6을 취하면, u + v + c는 26과 14가 되고, 이 두 부호는 모두 D 또는 S 집합에 속하지 않는다. 마찬가지로, c = ± 10을 취하면, u + v + c는 30과 10이 되고, 이 두 부호는 모두 D 또는 S 집합에 속하지 않는다.따라서 쌍(8, 12)은 허용되지 않습니다.비슷한 추리 과정을 통해 쌍을 배제할 수도 있다(6, 12).

또 다른 예로 쌍(u, v) = (10, 12)을 고려할 경우 u + v = 22 및 v + u* = 2가 됩니다. 그러면 ± 6과 ± 8의 골격 번호가 자유롭게 지정됩니다.c = ± 6을 취하면 u + v + c의 합은 28과 16이 됩니다.28은 세트 D 또는 세트 S에 속하지 않지만 16은 세트 S에 속합니다.검사 결과, 만약 (a, b) = (-7, -9)이면 a + b = -16이면 첫 번째 제약 방정식을 만족한다는 것을 알 수 있다.또한 f = ± 8을 취하면 v + u* + f의 합은 10과 -6이 됩니다.10은 세트 D 또는 세트 S에 속하지 않지만 -6은 세트 D에 속합니다.-7과 -9는 이미 a와 b에 할당되었으므로, d + e = 6이 되도록 (d, e) = (-5, 11)를 명확히 하면 두 번째 제약 방정식을 만족할 것이다.

마찬가지로, c = ± 8을 취하면, u + v + c의 합은 30과 14가 된다.30은 세트 D 또는 세트 S에 속하지 않지만 14는 세트 S에 속합니다.검사 결과 (a, b) = (-5, -9)이면 a + b = -14라는 것을 알 수 있습니다.또한 f = ± 6을 취하면 v + u* + f의 합은 8과 -4가 됩니다.8은 세트 D 또는 S에 속하지 않지만 -4는 세트 D에 속합니다.분명히 (d, e) = (-7, 11)이므로 d + e = 4와 두 번째 제약 방정식이 충족된다.

따라서 코너 쌍(u, v) = (10, 12)은 허용 가능하며, (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -9, -6, -5, 11, -8) 및 (a, b, c, d, e, f) = (-5, -9, 8, 11, 11, 6)의 두 가지 해를 허용한다.완성된 스켈레톤 사각형은 다음과 같습니다.매직 스퀘어는 각 셀에 13을 더하면 얻을 수 있습니다.

10	-7	-9	-6	12
5				-5
-11				11
8				-8
-12	7	9	6	-10

23	6	4	7	25
18				8
2				24
21				5
1	20	22	19	3

10	-5	-9	-8	12
7				-7
-11				11
6				-6
-12	5	9	8	-10

23	8	4	5	25
20				6
2				24
19				7
1	18	22	21	3

이와 유사한 추리 과정을 이용하여 우리는 아래와 같이 골수로서 표현되는 u, v, a, b, c, d, e, f의 값에 대해 다음 표를 구성할 수 있다.모서리 셀에는 6개의 선택지가 있으며, 10개의 가능한 경계 솔루션이 있습니다.

u, v	a, b, c	d, e, f
12, 10	-6, -7, -9	-11, 5, 8
12, 10	-5, -8, -9	-11, 6, 7
11, 5	6, -10, -12	-9, 7, 8
10, 6	5, -9, -12	-11, 7, 8
10, 6	7, -11, -12	-9, 5, 8
9, 7	5, -10, -11	-12, 6, 8
9, 7	6, -10, -12	-11, 5, 8
8, 6	7, -10, -11	-12, 5, 9
8, 6	9, -11, -12	-10, 5, 7
7, 5	9, -10, -11	-12, 6, 8

이 10개의 테두리 그룹이 주어지면 10×8×(3!)² = 2880개의 다른 테두리 매직 스퀘어를 구성할 수 있습니다.여기서 골격 번호는 ± 5, ..., ± 12였다.숫자가 연속되지 않으면 더 많은 테두리 정사각형을 구성할 수 있습니다.연속되지 않은 골격 번호도 사용된 경우 총 605개의 마법 테두리가 있습니다.따라서 기본적으로 서로 다른 경계 매직 정사각형(연속 및 비연속 번호 포함)의 총 차수 5의 수는 174,^[71]^[72]240입니다.역사를 ^[73]참조해 주세요.경계법으로 구성할 수 있는 5차 매직스퀘어의 수는 중첩법에 비해 약 26배라는 점에 유의할 필요가 있다.

연속 열거 방식

이전에 했던 것과 같이, 주어진 주문의 사각형에 있는 모든 경계를 철저히 열거하는 것은 매우 지루하다.이러한 구조화된 해법은 종종 바람직하기 때문에, 우리는 어떤 차수의 정사각형에 대해서도 경계를 구성할 수 있습니다.아래에서는 홀수, 2배 짝수 및 단일 짝수 제곱의 경계를 구성하는 세 가지 알고리즘을 제시합니다.이러한 연속 열거 알고리즘은 10세기에 아랍 학자들에 의해 발견되었고, 그들이 발견자는 ^[24]아니었지만 알-부자니와 알-안타키에 의한 두 가지 논문에서 가장 먼저 살아남았다.그 이후로 그러한 알고리즘이 더 많이 발견되었다.

홀수 순서 정사각형:다음은 홀수 제곱의 경계를 구성하기 위해 알-부자니가 제공한 알고리즘입니다.이 방법의 특징은 차수 n제곱의 경우 인접한 2개의 모서리가 n-1과 n+1이라는 것이다.

왼쪽 아래 구석에 있는 셀부터 시작하여 중간 셀에 도달할 때까지 왼쪽 열과 아래쪽 열에 번갈아 숫자를 넣습니다.다음 숫자는 방금 도달한 맨 아래 행의 중간 셀에 쓰여 있으며, 그 다음 왼쪽 상단 모서리에 셀을 채우고 오른쪽 열의 중간 셀, 오른쪽 상단 모서리에 셀을 채웁니다.그 후, 이미 채워진 오른쪽 열의 중간 셀 위 셀부터 시작하여 오른쪽 열과 맨 위 행의 숫자를 번갈아 배치합니다.일단 경계 셀의 절반이 채워지면, 나머지 절반은 반대쪽 셀을 보완하는 번호로 채워집니다.순서 3의 정사각형이 ^[24]채워질 때까지 후속 내부 테두리도 같은 방법으로 채워집니다.

9차 사각형의 예를 다음에 나타냅니다.

8	80	78	76	75	12	14	16	10
67	22	64	62	61	26	28	24	15
69	55	32	52	51	36	34	27	13
71	57	47	38	45	40	35	25	11
73	59	49	43	41	39	33	23	9
5	19	29	42	37	44	53	63	77
3	17	48	30	31	46	50	65	79
1	58	18	20	21	56	54	60	81
72	2	4	6	7	70	68	66	74

이중 짝수 주문:다음은 알안타키가 제시한 방법이다.순서 n = 4k와 k with 3의 빈 테두리를 고려합니다.이 알고리즘의 특징은 인접한 코너 셀이 숫자 n과 n - 1로 점유된다는 것입니다.

왼쪽 상단 모서리 셀부터 시작하여 첫 번째 그룹, 두 번째 그룹, 세 번째 그룹, 세 번째 그룹, 그리고 네 번째 그룹이 맨 위에 있는 그룹, 그리고 맨 위 행(코너 제외)에 6개의 빈 셀이 남아 있을 때까지 계속합니다.그런 다음 위의 두 숫자와 아래의 네 숫자를 적습니다.그런 다음 위쪽 모서리를 채웁니다. 처음에는 왼쪽, 다음에는 오른쪽입니다.오른쪽 열의 오른쪽 상단 모서리 아래에 다음 숫자를 배치하고 왼쪽 열의 다른 쪽에 다음 숫자를 배치합니다.그런 다음 이전과 같이 4개의 연속된 번호의 그룹을 두 열에 다시 배치합니다.일단 경계 셀의 절반이 채워지면, 나머지 절반은 반대쪽 ^[24]셀을 보완하는 번호로 채워집니다.

다음 예시는 16제곱 차수의 경계를 나타내고 있습니다.

15	1	255	254	4	5	251	250	8	9	10	246	245	244	243	16
240															17
18															239
19															238
237															20
236															21
22															235
23															234
233															24
232															25
26															231
27															230
229															28
228															29
30															227
241	256	2	3	253	252	6	7	249	248	247	11	12	13	14	242

8제곱의 경우 6개의 셀로 바로 시작합니다.

7	1	2	62	61	60	59	8
56							9
10							55
11							54
53							12
52							13
14							51
57	64	63	3	4	5	6	58

단일 짝수 순서:단일 짝수 차수의 경우, 우리는 알-안타키에 의해 주어진 알고리즘을 가지고 있다.여기서는 모서리 셀이 n과 n - 1로 점유됩니다.아래는 10차 사각형의 예입니다.

왼쪽 코너 셀 옆의 맨 아래 행에 1을 배치한 후 맨 위 행에 2를 배치합니다.그런 다음 3을 맨 아래 열에 놓고 오른쪽 열에 n - 2에 도달할 때까지 다음 숫자를 배치하여 경계를 시계 반대 방향으로 돌립니다.다음 두 숫자는 상단 모서리에 배치됩니다(왼쪽 상단 모서리에 n - 1, 오른쪽 상단 모서리에 n).그런 다음 다음 두 개의 숫자를 왼쪽 열에 배치하고 모든 테두리 셀의 절반이 채워질 때까지 숫자를 순환 배치합니다.일단 경계 셀의 절반이 채워지면, 나머지 절반은 반대쪽 ^[24]셀을 보완하는 번호로 채워집니다.

9	100	2	98	5	94	88	15	84	10
83									18
16									85
87									14
12									89
11									90
93									8
6									95
97									4
91	1	99	3	96	7	13	86	17	92

구성 방법

순서 m × n의 제곱의 경우, 여기서 m, n > 2

이것은 n × n 매직 정사각형과 m × m 매직 ^[74]정사각형에서 nm × nm 매직 정사각형을 만드는 두 행렬의 크로네커 곱을 연상시키는 방법이다.두 개의 마법 정사각형의 곱은 두 개의 승수보다 높은 차수의 마법 정사각형을 만듭니다.두 개의 매직 정사각형은 m과 n차라고 하자.최종 제곱은 m × n 차수가 된다. m × n 차수의 제곱을 m × m 하위 제곱으로 나누어 총 n개의 하위² 제곱이 되도록 한다.순서 n의 제곱에서 모든 숫자의 값을 1만큼 줄입니다.이 감소된 값에 m을² 곱하고 결과를 m × n 전체 제곱의 해당 하위 제곱에 배치합니다.순서 m의 제곱은 최종 제곱의 부분 제곱에 n회 더합니다².이 공법의 특징은 각 마법의 서브스퀘어가 다른 마법의 합계를 갖는다는 것이다.각 마법의 서브스퀘어에서 나온 마법의 합으로 만들어진 광장은 다시 마법의 광장이 될 것이다.두 개의 순서 3 정사각형으로 구성된 순서 9의 가장 작은 복합 매직 사각형은 아래에 나와 있습니다.

주문 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

주문 3×3
63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
63	63	63	0	0	0	45	45	45
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
18	18	18	36	36	36	54	54	54
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9
27	27	27	72	72	72	9	9	9

주문 3×3
71	64	69	8	1	6	53	46	51
66	68	70	3	5	7	48	50	52
67	72	65	4	9	2	49	54	47
26	19	24	44	37	42	62	55	60
21	23	25	39	41	43	57	59	61
22	27	20	40	45	38	58	63	56
35	28	33	80	73	78	17	10	15
30	32	34	75	77	79	12	14	16
31	36	29	76	81	74	13	18	11

이후 각3×3 sub-squares의 독립적으로고 반영하고 8가지의 각기 다른 사각형으로, 이 단일 9×9 복합 광장에서 회전할 수 있89 돌아선 134,217,728는 근본적으로 서로 다른 9×9 복합 정사각형을 이끌어 낼 수 있다.만약 우리가 마법의 sub-squares에 있지 않은 숫자를 선택하면 충분해 더 많은 복합 마술 사각형들은 또한9×9 복합 마방진의 양 후이의 버전에서 같은 파생될 수 있다.주문 12의 다음으로 작은 복합 마술 사각형, 3,4의 마술 사각형으로 구성되어 아래 주어진다.

주문 3
2	9	4
7	5	3
6	1	8

주문 4
1	14	11	8
12	7	2	13
6	9	16	3
15	4	5	10

주문 34×
2	9	4	119	126	121	92	99	94	65	72	67
7	5	3	124	122	120	97	95	93	70	68	66
6	1	8	123	118	125	96	91	98	69	64	71
101	108	103	56	63	58	11	18	13	110	117	112
106	104	102	61	59	57	16	14	12	115	113	111
105	100	107	60	55	62	15	10	17	114	109	116
47	54	49	74	81	76	137	144	139	20	27	22
52	50	48	79	77	75	142	140	138	25	23	21
51	46	53	78	73	80	141	136	143	24	19	26
128	135	130	29	36	31	38	45	40	83	90	85
133	131	129	34	32	30	43	41	39	88	86	84
132	127	134	33	28	35	42	37	44	87	82	89

주문 43×
17	30	27	24	129	142	139	136	49	62	59	56
28	23	18	29	140	135	130	141	60	55	50	61
22	25	32	19	134	137	144	131	54	57	64	51
31	20	21	26	143	132	133	138	63	52	53	58
97	110	107	104	65	78	75	72	33	46	43	40
108	103	98	109	76	71	66	77	44	39	34	45
102	105	112	99	70	73	80	67	38	41	48	35
111	100	101	106	79	68	69	74	47	36	37	42
81	94	91	88	1	14	11	8	113	126	123	120
92	87	82	93	12	7	2	13	124	119	114	125
86	89	96	83	6	9	16	3	118	121	128	115
95	84	85	90	15	4	5	10	127	116	117	122

반면 또 880년 우리가 선택할 수 있는 근본적으로 서로 다른 4th-order의 사각형 기반 사각형에는 한 근본적으로 서로 다른 3 위해 정사각형, 있다.각각의 짝 짓기 두개의 다른 복합 사각형 생산할 수 있다.각 복합 광장에 각 마법 sub-squares 8 다른 형태의 회전과 반사광 때문에 표현될 수 있는, 있을 수 있1×880×89+880×1×816 ≈ 2.476×1017는 근본적으로 서로 다른 12×12 복합 마술 사각형 만드는 것 등이 이 방법과 일련 번호에 각 sub-square.일반적으로, 그래서 만일)과 cn 위해 m와 엔의 근본적으로 서로 다른 마법의 정사각형과, 우리는)××cn을 형성할 수 있(8m2+8n2) 위해 mn의 복합 광장도 제공한다 m≠ n. 만약 m=n, 그때 우리가 할 수 있게())2×8m2 복합 광장을 위해 m2.

이중 짝수 차수의 제곱의 경우

때 사각형을 두배로 심지어 주문, 우리가 좀 더 상기 프로세스보다 우아한에서, 모든 마술 subsquare 같은 마법의 상수를 가질 것이다에서 복합 마술 사각형 생성할 수 있다.주요 사각형의 n 질서와 동등한 subsquares의 순서 m자.그 subsquares 하나씩, 어떤 순서 m2/2 작은 숫자의 연속적인 배열을 가지고 하나로 가득차 있다 그들이 함께 보완책과 n2+1. 전체적으로 각 subsquare 같은 마법의 합을 산출할 것으로(i.e. 숫자들보다 또는 n2/2 이하).복합 광장의 이 형식의 장점은 각 subsquare 같은 방식으로 그들의 배열이 제멋대로가 채워져 있다.따라서 균등하게 구성된 단일 구조에 대한 지식은 전체 정사각형을 채우기에 충분합니다.또한, 서브쿼어가 자연 시퀀스로 채워지면 결과 정사각형은 범대각형이 됩니다.서브쿼리의 마법합은 $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ n $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ { $display style$ M_ ${m$ }= $subfrac {M_{n}}{k}}$ 의 $M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}$ 전체 정사각형의 마법합과 관련된다. 여기서 n =^[24] km이다.

아래 예에서는 순서 12의 제곱을 각각 8개의 작은 숫자로 채워진 순서 4의 9개의 서브퀘어로 나누고, 대응하는 비숍 셀(4×4 서브퀘어의 랩 어라운드를 포함한 대각선 직경 2개의 셀)에서 이들의 보완은 n + 1 = 145가 됩니다².각 부분 사각형은 마법 상수 290으로 범대각선이고, 왼쪽 정사각형 전체도 마법 상수 870으로 범대각선입니다.

1	142	139	8	9	134	131	16	17	126	123	24
140	7	2	141	132	15	10	133	124	23	18	125
6	137	144	3	14	129	136	11	22	121	128	19
143	4	5	138	135	12	13	130	127	20	21	122
25	118	115	32	33	110	107	40	41	102	99	48
116	31	26	117	108	39	34	109	100	47	42	101
30	113	120	27	38	105	112	35	46	97	104	43
119	28	29	114	111	36	37	106	103	44	45	98
49	94	91	56	57	86	83	64	65	78	75	72
92	55	50	93	84	63	58	85	76	71	66	77
54	89	96	51	62	81	88	59	70	73	80	67
95	52	53	90	87	60	61	82	79	68	69	74

69	74	79	68	29	114	119	28	61	82	87	60
75	72	65	78	115	32	25	118	83	64	57	86
66	77	76	71	26	117	116	31	58	85	84	63
80	67	70	73	120	27	30	113	88	59	62	81
21	122	127	20	53	90	95	52	13	130	135	12
123	24	17	126	91	56	49	94	131	16	9	134
18	125	124	23	50	93	92	55	10	133	132	15
128	19	22	121	96	51	54	89	136	11	14	129
45	98	103	44	5	138	143	4	37	106	111	36
99	48	41	102	139	8	1	142	107	40	33	110
42	101	100	47	2	141	140	7	34	109	108	39
104	43	46	97	144	3	6	137	112	35	38	105

다음 예제에서는 12제곱 차수를 6제곱 차수로 4분할했습니다.차수 6개의 정사각형 각각은 18개의 작은 숫자와 그 보수로 채워져 있으며, 알-안타키에 의해 주어진 경계 기술을 사용한다.차수 6의 음영 테두리를 제거하고 차수 8의 사각형을 형성하면 이 차수 8의 사각형이 다시 매직 사각형이 됩니다.전체 일반성에서는 n+1의 보수와 함께 m²/2의 작은² 숫자를 취하여 서브쿼어를 채울 수 있으며, 반드시 연속적인 순서는 아닙니다.

60	82	88	56	90	59	24	118	124	20	126	23
64	69	74	79	68	81	28	33	110	115	32	117
83	75	72	65	78	62	119	111	36	29	114	26
84	66	77	76	71	61	120	30	113	112	35	25
58	80	67	70	73	87	22	116	31	34	109	123
86	63	57	89	55	85	122	27	21	125	19	121
6	136	142	2	144	5	42	100	106	38	108	41
10	15	128	133	14	135	46	51	92	97	50	99
137	129	18	11	132	8	101	93	54	47	96	44
138	12	131	130	17	7	102	48	95	94	53	43
4	134	13	16	127	141	40	98	49	52	91	105
140	9	3	143	1	139	104	45	39	107	37	103

짝수 차수 2n의 제곱법(n > 2)

이 방법에서는 매직 정사각형과 메지그 정사각형을 "승수"하여 더 큰 매직 정사각형을 만듭니다.이 방법의 이름은 2006년 Willem Barink에 의해 만들어진 medjig라는 수학 게임에서 유래했지만, 방법 자체는 훨씬 더 오래되었다.이 방법으로 만들어진 마법 정사각형의 초기 사례는 6차 마법 정사각형의 양희 텍스트에 나타난다.매직 스퀘어 하나를 구성하는 LUX 방법은 메지그 방법의 특수한 경우로, 24개의 패턴 중 3개만 메지그 스퀘어 구성에 사용됩니다.

메지그 퍼즐의 조각은 숫자 0, 1, 2, 3이 놓인 2×2 정사각형입니다.숫자 0, 1, 2, 및 3을 2×2 정사각형에 배치할 수 있는 기본 패턴은 세 가지가 있습니다.여기서 0은 왼쪽 상단 모서리에 있습니다.

0	1
2	3

0	1
3	2

0	2
3	1

각 패턴을 반사 및 회전하여 8개의 등가 패턴을 얻을 수 있으며, 총 3×8 = 24개의 패턴을 얻을 수 있습니다.퍼즐의 목적은 n개의 메지그 조각을 가져다가² 각각의 행과 컬럼이 메지그 정사각형의 마법 상수인 3n이 되도록 n × n개의 메지그 정사각형에 배열하는 것이다.n × n medjig 정사각형은 2n × 2n 매직 정사각형을 만들 수 있습니다.여기서 n > 2입니다.

n×n 메지그 정사각형과 n×n 매직 정사각형 베이스가 주어지면 2n×2n 차수의 매직 정사각형을 다음과 같이 구성할 수 있다.

n×n 매직스퀘어의 각 셀은 대응하는 2×2개의 메지그 스퀘어와 관련지어진다.
medjig 정사각형의 각 2×2 부분항목을 원래 수 modulo² n과 동일한 4개의² 숫자, 즉 x+ny로² 채웁니다. 여기서 x는 매직 정사각형의 대응 숫자이고 y는 2×2 부분항 중 0~3의 숫자입니다.

초기 매직 스퀘어 베이스가 있다고 가정하면, 과제는 메지그 스퀘어 구축에 있습니다.참고로 행, 열 및 대각선을 따라 이탤릭체로 표시된 각 중간 조각의 합계는 다음과 같습니다.

1	0	1
5	2	3
3	2	4	3

1	0	1
5	3	2
4	3	3	2

2	0	2
4	3	1
5	3	3	1

이중 짝수 제곱:가장 작은 짝수 제곱은 마법 상수 6을 가진 2차입니다.2×2의 메지그 사각형은 만들 수 있지만, 2×2의 매직 사각형은 존재하지 않기 때문에 4×4의 매직 사각형은 만들 수 없습니다.그럼에도 불구하고, 이 2×2 메지그 정사각형을 구성할 가치가 있습니다.마법 상수 6은 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3의 세 가지 방법으로 분할할 수 있습니다.이러한 2×2 메지그 정사각형이 96개 존재합니다.아래 예에서 각 2×2 메지그 정사각형은 단일 메지그 조각의 다른 방향을 조합하여 만들어집니다.

메지그 2×2
0	1	3	2
2	3	1	0
3	2	0	1
1	0	2	3

메지그 2×2
0	1	2	3
3	2	1	0
1	0	3	2
2	3	0	1

메지그 2×2
0	2	3	1
3	1	0	2
0	2	3	1
3	1	0	2

2×2개의 메지그 정사각형을 사용하여 더 크고 고른 순서로 메지그 정사각형을 구성할 수 있습니다.가능한 한 가지 방법은 2×2개의 메지그 정사각형을 단순히 조합하는 것입니다.또 다른 방법은 작은 메지그 사각 코어를 메지그 경계로 감싸는 것입니다.2×2 크기의 정사각형 조각이 테두리의 모서리 조각을 형성할 수 있습니다.또 다른 방법은 홀수 순서로 정렬된 정사각형에 행과 열을 추가하는 것입니다.8×8 매직 정사각형의 예는 위에서 설명한 가장 왼쪽의 2×2 메지그 정사각형의 복사본 4개를 조합하여 아래에 구성됩니다.

주문 4
1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Medjig 4 × 4
0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3
0	1	3	2	0	1	3	2
2	3	1	0	2	3	1	0
3	2	0	1	3	2	0	1
1	0	2	3	1	0	2	3

오더 8
1	17	62	46	4	20	63	47
33	49	30	14	36	52	31	15
56	40	11	27	53	37	10	26
24	8	43	59	21	5	42	58
13	29	50	34	16	32	51	35
45	61	18	2	48	64	19	3
60	44	7	23	57	41	6	22
28	12	39	55	25	9	38	54

다음 예시는 2×2 medjig 사각 코어를 경계로 하여 구성됩니다.

주문 4
1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

Medjig 4 × 4
0	1	0	1	2	3	3	2
2	3	3	2	1	0	1	0
0	3	0	2	3	1	0	3
1	2	3	1	0	2	1	2
2	1	0	2	3	1	2	1
3	0	3	1	0	2	3	0
3	2	0	1	2	3	0	1
1	0	3	2	1	0	2	3

오더 8
1	17	14	30	36	52	63	47
33	49	62	46	20	4	31	15
8	56	11	43	53	21	10	58
24	40	59	27	5	37	26	42
45	29	2	34	64	32	35	19
61	13	50	18	16	48	51	3
60	44	7	23	41	57	6	22
28	12	55	39	25	9	38	54

단일 짝수 정사각형:순서 1의 Medjig 제곱이 존재하지 않습니다.따라서 가장 작은 홀수 순서가 매직 상수 9를 갖는 3차입니다.마법 상수인 정수 9를 세 부분으로 분할하는 방법은 7가지뿐입니다.이 세 부분이 줄, 열 또는 대각선의 세 개의 중간 조각에 해당하는 경우, 관련 파티션은 다음과 같습니다.

9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.

아래 맨 왼쪽 정사각형과 같이 시행착오를 통해 3×3 메지그 정사각형을 구성할 수 있습니다.또 다른 접근법은 2×2 메지그 정사각형에 행과 열을 추가하는 것입니다.아래 가운데 사각형에는 왼쪽 열과 아래쪽 행이 추가되어 앞에서 설명한 2×2의 사각형에 L자 모양의 중간 사각형 테두리가 형성되었습니다.오른쪽 맨 아래 사각형은 기본적으로 가운데 사각형과 같습니다.단, 행과 열이 중간에 추가되어 십자 모양이 되고 2×2개의 중간 사각형 조각이 모서리에 배치됩니다.

Medjig 3 × 3
2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

Medjig 3 × 3
0	3	0	1	3	2
2	1	2	3	1	0
3	0	3	2	0	1
2	1	1	0	2	3
0	1	3	1	3	1
2	3	0	2	0	2

Medjig 3 × 3
0	1	0	3	3	2
2	3	2	1	1	0
3	1	0	1	3	1
0	2	2	3	0	2
3	2	3	0	0	1
1	0	2	1	2	3

3×3 메지그 정사각형을 구축하면 6×6 매직 정사각형으로 변환할 수 있습니다.예를 들어, 위에서 설명한 가장 왼쪽의 3×3 medjig 정사각형 사용:

주문 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Medjig 3 × 3
2	3	0	2	0	2
1	0	3	1	3	1
3	1	1	2	2	0
0	2	0	3	3	1
3	2	2	0	0	2
0	1	3	1	1	3

주문 6
26	35	1	19	6	24
17	8	28	10	33	15
30	12	14	23	25	7
3	21	5	32	34	16
31	22	27	9	2	20
4	13	36	18	11	29

이러한 3×3개의 메지그 ^[75]정사각형은 174만 800개입니다.고차 홀수 메지그 정사각형을 구성하는 쉬운 방법은 순서가 매겨진 작은 홀수 메지그 정사각형을 메지그 경계로 감싸는 것입니다.또 다른 접근법은 짝수 순서가 매겨진 중위수 정사각형에 행과 열을 추가하는 것입니다.LUX 방식 등의 접근법도 사용할 수 있습니다.아래 예에서는 앞에서 설명한 3×3의 메지그 정사각형 주위에 메지그 경계를 둘러 5×5 메지그 정사각형을 작성합니다.

주문 5
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Medjig 5 × 5
0	1	3	1	0	1	3	1	3	2
2	3	0	2	2	3	0	2	1	0
3	0	2	3	0	2	0	2	1	2
1	2	1	0	3	1	3	1	3	0
0	2	3	1	1	2	2	0	1	3
1	3	0	2	0	3	3	1	0	2
3	0	3	2	2	0	0	2	1	2
1	2	0	1	3	1	1	3	3	0
3	2	1	3	1	0	1	3	0	1
1	0	2	0	3	2	2	0	2	3

주문 10
17	42	99	49	1	26	83	33	90	65
67	92	24	74	51	76	8	58	40	15
98	23	55	80	7	57	14	64	41	66
48	73	30	5	82	32	89	39	91	16
4	54	81	31	38	63	70	20	47	97
29	79	6	56	13	88	95	45	22	72
85	10	87	62	69	19	21	71	28	53
35	60	12	37	94	44	46	96	78	3
86	61	43	93	100	25	27	77	9	34
36	11	68	18	95	75	52	2	59	84

부분적으로 완성된 매직 스퀘어 문제 해결

부분적으로 완성된 매직 스퀘어를 푸는 것은 인기 있는 수학 취미입니다.필요한 기술은 스도쿠나 겐켄 퍼즐에서 사용되는 것과 비슷하며, 논리나 치환군 이론을 이용하여 채워지지 않은 정사각형의 값을 추론하는 것이다(스도쿠 격자는 마법의 정사각형이 아니라 그라에코-라틴 ^[64]사각형이라고 하는 관련 사상에 근거하고 있다).

매직 스퀘어의 변형

추가 제약

라마누잔의 마법 광장

매직 스퀘어에는 특정 추가 제한이 부과될 수 있습니다.

각 숫자를 n제곱으로 높이면 이매직(n = 2) 또는 삼매직(n = 3) 또는 일반적으로 다중 매직 정사각형이 됩니다.

정사각형 내의 각 숫자의 이름에 있는 글자 수가 다른 매직 스퀘어를 생성하는 매직 스퀘어를 알파벳 스퀘어라고 합니다.

전부 소수점들로 구성된 마법의 정사각형들이 있다.Rudolf Ondrejka(1928–2001)는 다음과 같은 3×3 마법의 소수 제곱을 발견했는데, 이 경우 9개의 천 소수입니다.

17	89	71
113	59	5
47	29	101

그린-타오 정리는 소수로 구성된 임의의 큰 마법 정사각형들이 있다는 것을 암시한다.

다음 "역마법 정사각형"의 마법 상수는 264개입니다. 위아래로 뒤집히고 바로 ^[76]위로 올라갑니다.

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

날짜, 특히 생년월일을 표시하는 추가 제약이 있는 경우 이러한 매직 스퀘어를 생일 매직 스퀘어라고 합니다.스리니바사 라마누잔에 의해 이러한 생일 마법 광장의 초기 예가 만들어졌습니다.그는 생년월일을 DD-MM-CC-YY 형식으로 맨 윗줄에 입력해 4×4 정사각형을 만들었는데, 정사각형의 숫자를 더하고 빼는 마법이 일어났다.행, 열, 대각선의 합이 같을 뿐만 아니라 네 모서리, 네 개의 중간 정사각형(17, 9, 24, 89)과 첫 번째 및 마지막 행의 중간 숫자(12, 18, 86, 23)와 첫 번째 및 마지막 열의 중간 숫자 두 개(88, 10, 25, 16)가 모두 합하여 139가 됩니다.

곱셈 매직 스퀘어

각 행, 열 및 대각선의 숫자를 추가하는 대신 다른 연산을 적용할 수 있습니다.예를 들어, 곱셈 매직 정사각형에는 일정한 수의 곱이 있습니다.곱셈 매직 제곱은 2(또는 다른 정수)를 각 원소의 거듭제곱함으로써 가산 매직 제곱으로부터 도출할 수 있다. 왜냐하면 2개의 숫자의 곱셈의 대수는 각 원소의 로그의 합계이기 때문이다.또는 한 줄에 있는 3개의 숫자가 2, 2^b, 2일^a^c 경우 곱은 2가 됩니다. a^a+b+c+b+c가 일정하면 a, b, c가 일반(가법) ^[77]매직스퀘어에서 가져온 것과 같습니다.예를 들어 원래 Lo-Shu 매직스퀘어는 다음과 같습니다.

M = 32768

16	512	4
8	32	128
256	2	64

곱셈 매직스퀘어의 다른 예는 다음과 같습니다.

M = 216

2	9	12
36	6	1
3	4	18

M = 6720

1	6	20	56
40	28	2	3
14	5	24	4
12	8	7	10

M = 6,227,020,800

27	50	66	84	13	2	32
24	52	3	40	54	70	11
56	9	20	44	36	65	6
55	72	91	1	16	36	30
4	24	45	60	77	12	26
10	22	48	39	5	48	63
78	7	8	18	40	33	60

복소수의 곱셈 매직 제곱

Ali Skali의 비반복 방법을 사용하면 C $\$ 집합에 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 복소수의^[78] 무한승 매직 제곱을 생성할 수 있다.다음 예에서는 실수와 허수 부분이 정수이지만, 실수 $\mathbb {R}$ 의 전체 집합(\ $displaystyle \mathbb {R$ 에 속할 수도 있습니다. 곱은 -352,507,340,640 - 400,5999,719,520 i입니다.

복소수 7×7의 스칼리 곱셈

21	+14i	−70	+30i	−93	−9i	−105	−217i	16	+50i	4	−14i	14	- 8i
63	−35i	28	+blocki		−14i	2	+6i	3	−11i	211	+357i	−123	−87i
31	- 15i	13	- 13i	−103	+69i	−261	−213i	49	- 49i	−46	+2i	−6	+2i
102	−84i	−28	−14i	43	+247i	−10	−2i	5	+9i	31	−27i	−77	+91i
−22	- 6i	7	+7i	8	+14i	50	+20i	−525	- 492i	−28	−42i	−73	+17i
54	+68i	138	- ii	−56	−98i	−63	+35i	4	- 8i	2	−4i	70	−53i
24	+22i	−46	−16i	6	−4i	17	+20i	110	+160i	84	- ii	42	−14i

가법-승법 및 반승법 제곱법

가법 승법 사각형과 반승법 사각형은 각각 ^[79]일반 및 승법 사각형과 반법 사각형 모두의 특성을 만족시킵니다.

초판
가감성 매직 스퀘어
W. W. 호너가 1955년에 발견한 8×8
합계 = 840
상품 = 2058068231856000
162	207	51	26	133	120	116	25
105	152	100	29	138	243	39	34
92	27	91	136	45	38	150	261
57	30	174	225	108	23	119	104
58	75	171	90	17	52	216	161
13	68	184	189	50	87	135	114
200	203	15	76	117	102	46	81
153	78	54	69	232	175	19	60

알려진 가장 작은 가법-승법 반제곱
2007년 L. Morgenstern에 의해 발견된 4×4
합계 = 247
제품 = 3369600
156	18	48	25
30	144	60	13
16	20	130	81
45	65	9	128

8×8보다 작은 가법 승법 정사각형이 존재하는지 알 수 없지만, 3×3 또는 4×4 가법 승법 정사각형과 3×^[80]3 가법 승법 반마법 정사각형이 존재하지 않는 것으로 입증되었다.

기하학적 매직 스퀘어

기하학적 매직 스퀘어.

숫자 대신 기하학적 형상을 포함하는 매직 스퀘어를 구성할 수 있습니다.기하학적 마법의 사각형으로 알려진 그러한 사각형은 2001년 ^[81]리 살로스에 의해 발명되고 이름이 붙여졌다.

표시된 예에서는 나타나는 모양이 2차원입니다.모든 마법의 정사각형은 기하학적이며, 숫자 마법의 정사각형에 나타나는 숫자는 정사각형에서 발생하는 기하학적 '모양'인 직선 세그먼트의 길이를 나타내는 줄임말 표기법으로 해석될 수 있다는 것이 Sallows의 발견이었다.즉, 숫자 매직 스퀘어는 1차원 ^[82]형상을 사용한 기하학적 매직 스퀘어의 특별한 경우입니다.

영역 매직 스퀘어

첫 번째 선형 영역 매직 스퀘어

2017년에는 윌리엄 워킹턴과 인더 타네자의 초기 아이디어에 따라 월터 ^[83]트럼프에 의해 최초의 선형 영역 매직 스퀘어(L-AMS)가 건설되었다.

기타 마법 모양

정사각형 이외의 다른 2차원 형상을 고려할 수 있습니다.일반적으로 N개 부품에 숫자 1부터 N까지 레이블이 붙어 있고 다수의 동일한 하위 설계에서 동일한 합계가 나오는 경우 N개 부품을 포함하는 설계를 마법으로 간주합니다.예를 들면 마법의 서클, 마법의 직사각형, 마법의^[84] 삼각형 마법의 별, 마법의 육각형, 마법의 다이아몬드 등이 있습니다.차원이 올라가면 마법의 구체, 마법의 원통, 마법의 큐브, 마법의 평행입방체, 마법의 고체, 그리고 다른 마법의 하이퍼큐브가 만들어집니다.

가능한 마법 모양은 선택한 레이블 집합의 동일한 크기, 동일한 부분 집합의 수에 따라 제한됩니다.예를 들어 부품에 {1, 2, 3, 4} 레이블을 붙이는 마법의 모양을 만들려는 경우 하위 설계에 {1,4} 및 {2,^[84]3} 레이블을 붙여야 합니다.

오컬티즘의 매직 스퀘어

7개의 행성에 할당되어 마법 수행 중에 행성과 그 천사(또는 악마)의 영향을 받기 위한 수단으로 묘사된 3단계에서 9단계의 마법 사각형은 적어도 15세기 이후 유럽 전역의 여러 사본에서 발견될 수 있다.가장 잘 알려진 것 중, 1440년경에 쓰여진 마법 핸드북인 Liber de Angelis는 캠브리지 대학 도서관에 포함되어 있다.MS Dd.xi.^[86]45Liber de Angelis의 텍스트는 De Septem Quadraturis planetarum seu Quadrati magici의 텍스트와 매우 유사합니다.De Septem Quadraturis planetarum seu Quadrati magici는 Bibeloeta Jagello'^[87]ska Codex 793에 포함되어 있습니다.마법의 작업은 해당 ^[88]행성에 할당된 금속으로 만들어진 접시에 적절한 정사각형을 새기고 다양한 의식을 행한다.예를 들어, 토성에 속하는 3×3 정사각형을 납판에 새겨야 한다.그것은 특히 난산기 여성들에게 도움이 될 것이다.

약 1510년에 하인리히 코르넬리우스 아그리파는 마르실리오 피치노와 피코 델라 미란돌라의 헤르메틱하고 마법적인 작품들을 그린 데 오컬타 철학을 썼습니다.1531년 판에서, 그는 각각 점성술적 행성들 중 하나와 연관된 3에서 9까지의 일곱 개의 마법의 사각형에 대한 마법의 미덕에 대해 오래된 문서들과 같은 방식으로 설명했습니다.이 책은 반개혁 전까지 유럽 전역에 큰 영향을 미쳤고, 때때로 카메아스로 불리는 아그리파의 마법 광장은 그가 처음 ^[89]처방한 것과 거의 같은 방식으로 현대 의식의 마법에서 계속 사용되고 있다.

비너스의 마법 광장에 그려진 금성의 행성 지성, 하기엘의 기호의 파생입니다.각 히브리 문자는 기호의 꼭지점을 제공하는 숫자 값을 제공합니다.

이러한 가메아스의 가장 일반적인 용도는 정령, 천사, 악마의 문양을 구성하는 패턴을 제공하는 것입니다. 즉, 실체명의 문자를 숫자로 변환하고, 그 연속된 숫자가 가메아에 만드는 패턴을 통해 선을 추적합니다.마법의 맥락에서, 마법의 정사각형이라는 용어는 또한 어떤 명백한 패턴을 따르지 않는 것, 그리고 행과 열의 수가 다른 것을 포함하여 마법의 그림에서 발견되는 다양한 단어 정사각형이나 숫자 정사각형에도 적용된다.그것들은 일반적으로 부적으로 사용하기 위한 것이다.예를 들어 다음과 같은 정사각형입니다.그 Sator 광장, 가장 유명한 마술 사각형 grimoires의 키 솔로몬을 비롯한 다양에서 발견된 연구 책 권력의 광장"질투심을 극복하기 위해",;[90]과 책이 신성한 매직 Abramelin은 메이지 GNU/리눅스의 훌륭한 궁전 보이려고 착각을 유발하기 시작한 최초의 사람에서 두칸을, 그리고 두번째 a의 머리에 착용할 수 있도록ch천사의 호출 중 ild

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

6	66	848	938
8	11	544	839
1	11	383	839
2	73	774	447

H	E	S	E	B
E	Q	A	L
S
E		G
B

A	D	A	M
D	A	R	A
A	R	A	D
M	A	D	A

대중문화의 매직스퀘어

매직 스퀘어 마카오 스탬프

괴테의 파우스트에서 파우스트의 젊은 약인 헥센 아인말 아인스를 만드는 마녀의 주문은 마법의 광장을 건설한 것으로 해석되고 있다.
영국 작곡가 피터 맥스웰 데이비스는 그의 많은 작곡을 구성하기 위해 마법의 사각형을 사용했다.예를 들어, 그의 1975년 Ave Maris Stella는 달의 9×9 매직 스퀘어를 사용하는 반면, 1977년 A Mirror of Whitening Light는 수성의 8×8 매직 스퀘어를 사용하여 곡의 전체 음표와 지속 시간을 만듭니다.마법의 광장을 사용한 그의 다른 작품들은 그의 ^[91]^[92]교향곡들뿐만 아니라 The Lighthouse, Resurrection, Strathclyde Concerto 3번 Horn and Trumpet (1989)을 포함한다.데이비스 자신의 설명에 따르면:

악곡의 마법의 사각은 숫자의 블록이 아닙니다.음악이 착상되는 내이의 광대한 영역(혼돈!)에 다차원 투영된 것으로 내심 인식되는 생성 원리입니다.페이지에 투영된 마법의 사각형은 죽은 검은 숫자의 집합체입니다. 채널을 맞추면 음악과 루멘으로 ^[92]빛나는 강력하고 선회하는 음악 이미지의 다이너모를 들을 수 있습니다.

벤자민 프랭클린의 것을 포함한 마법의 광장은 캐서린 네빌의 소설 "에잇"과 "더 파이어"에 미스터리의 단서로 등장한다.
매직 스퀘어는 스티브 마틴의 2003년 소설 '내 회사의 즐거움'에서 역할을 한다.
뒤러의 마법 광장과 그의 멜렌콜리아 1세 둘 다 댄 브라운의 2009년 소설 로스트 심볼에서 큰 역할을 했다.
2011년 한국 TV 드라마 뿌리 깊은 나무에서 세종대왕은 도시락을 이용해 33×33의 마법 광장을 건설하려는 시도를 보여준다.그는 결국 "피라미드 방법"을 발견하고 궁정 수행원의 도움으로 마법의 광장을 완성한다.이것은 그가 군사력보다는 이성과 말로 통치되는 보다 정의로운 형태의 정부를 만들도록 영감을 준다.
2014년 10월 9일, 중화인민공화국 마카오 우체국은 매직 ^[93]스퀘어에 기초한 일련의 우표를 발행했다.아래 그림은 이 ^[94]컬렉션에 포함되도록 선택된 9개의 매직 스퀘어 스탬프를 보여줍니다.
X-Files 에피소드 "바이오제네시스"의 중심에 있는 금속 유물은 척 버크스에 의해 마법의 ^[95]^[96]사각형이라고 주장되었습니다.
수학자 매트 파커는 Numberphile 채널의 YouTube 비디오에서 정사각형 숫자를 사용하여 3×3 매직 스퀘어를 만들려고 시도했습니다.그의 실패한 시도는 파커 광장으로 알려져 있다.
첫 번째 시즌 스타게이트 아틀란티스 에피소드 "브러더후드"는 강력한 고대 예술품을 지키는 퍼즐의 일부로 마법의 광장을 완성하는 것을 포함한다.
매직 스퀘어는 또한 2019년 스페인 영화 Vivir dos vese에도 등장한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Miller, Jeff (September 3, 2016). "Earlier Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M)".
^ Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. p. 130.
^ 울프램 매스월드: 매직 스퀘어 웨이스테인, 에릭 W.
^ The most famous Arabic book on magic, named "Shams Al-ma'arif (Arabic: كتاب شمس المعارف), for Ahmed bin Ali Al-boni, who died about 1225 (622 AH).1985년 베이루트에서 전재
^ ^a ^b ^c ^d ^e Yoke, Ho Peng (2008). "Magic Squares in China". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9350. ISBN 978-1-4020-4559-2.
^ Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. p. 122.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Cammann, Schuyler (April 1960). "The Evolution of Magic Squares in China" (PDF). Journal of the American Oriental Society. 80 (2): 116–124. doi:10.2307/595587. JSTOR 595587.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Swetz, Frank J. (2008). The Legacy of the Luoshu (2nd ed.). A.K. Peters/CRC Press.
^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Yang Hui". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 March 2018.
^ 1993년 런던대학교 동양·아프리카학부 조치 시게루(Jochi Shigeru Jochi)의 중국 수학예술이 세키코와에 미치는 영향
^ Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 69–75. Isomura Kittoku.
^ Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 79–80. Isomura Kittoku.
^ Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 116–122. Isomura Kittoku.
^ Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 178. Isomura Kittoku.
^ Michiwaki, Yoshimasa (2008). "Magic Squares in Japanese Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9154. ISBN 978-1-4020-4559-2.
^ ^a ^b Mikami, Yoshio (1917). Magic squares in Japanese mathematics (in Japanese). Tokyo: Imperial Academy of Science.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Hayashi, Takao (2008). "Magic Squares in Indian Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9778. ISBN 978-1-4020-4559-2.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (1992). "Magic Squares in India" (PDF). Indian Journal of History of Science. 27 (1): 51–120. Archived from the original (PDF) on 2018-01-17. Retrieved 2018-01-16.
^ Hayashi, Takao (1987). "Varahamihira's Pandiagonal Magic Square of the Order Four" (PDF). Historia Mathematica. 14 (2): 159–166. doi:10.1016/0315-0860(87)90019-X.
^ J. P. Hogendijk, A. I. Sabra, The Enterprise of Science in 이슬람: 새로운 관점, MIT Press, 2003, ISBN 0-262-1982-1, 페이지 xv.
^ Helaine Selin, Ubiratan D'Ambrosio, 문화를 초월한 수학: 비서양 수학의 역사, 스프링거 출판, 2001, ISBN 1-4020-0260-2, 페이지 160.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Sesiano, Jacques (November 2003). "Construction of magic squares using the knight's move in Islamic mathematics" (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 58 (1): 1–20. doi:10.1007/s00407-003-0071-4. S2CID 123219466.
^ ^a ^b Sesiano, Jacques (1997). "Magic squares in Islamic mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. pp. 1259–1260.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Sesiano, Jacques (2007). Magic squares in the tenth century: Two Arabic treatises by Antaki and Buzjani. Springer.
^ Sesiano, J., Abual-Wafa\rasp의 매직 스퀘어(프랑스어), Z.게쉬 아랍인-이슬람, Wiss. 12(1998), 121~244.
^ ^a ^b Cammann, Schuyler (February 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, Part I". History of Religions. 8 (3): 181–209. doi:10.1086/462584. S2CID 162095408.
^ Sesiano, Jacques (2004). "Quelques methodes arabes de construction des carres magiques impairs (some Arabic construction methods of odd magical squares)". Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles (in French). 83 (1): 51–76.
^ 피터, J. 바르타, 비례의 봉인반지와 마법반지 (2016), 페이지 6-9.
^ ^a ^b Needham, Joseph (1987). Theoretical Influences of China on Arabic Alchemy. UC Biblioteca Geral 1.
^ 자비르 이븐 헤이얀, 저울책.프랑스어 번역: 마르셀랭 베르텔로(1827–1907), Histoire de Sciences.라 치미 오 모이엔주, 톰III: 라키미아베파리, 1893년[rprt...]Osnabruck: O. Zeller, 1967], 139-162페이지, 특히 150-151페이지
^ 알 가자르, 오류로부터의 인도 (al-munqidh min al-swhalarl) 145장.아랍어: al-Munkidh min al-dalal.ED. J. Saliba – K.아이야드 다마스쿠스:Maktab al-Nashr al-Arabi, 1934, 페이지 79.영어 강좌:리처드 조셉 매카시, 자유와 성취:알-가잘리의 알-문키드 민 알-달랄 및 기타 알-가잘리의 관련 저작에 대한 주석 번역.보스턴, 트위어, 1980년그는 '특수 속성의 경이'라는 제목의 책을 출처로 언급하고 있다.이 광장은 동양에서 그의 이름을 따서 가잘리의 옥새로 명명되었다.
^ ^a ^b ^c ^d Comes, Rosa (2016). The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe. Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation. Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation. Vol. 6. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pp. 159–198. ISBN 9783110467307.
^ 라틴어 버전은 Liber de Septem pigure septem planetarum pigureum Geberi regis Indorum이다.이 논문은 뒤러와 하인리히 코르넬리우스 아그리파 폰 네테스하임의 확인된 출처이다.Cf. Peter, J. Barta, 비례의 봉인반지와 마법반지 (2016), 페이지 8-9, n. 10
^ Sesiano, Jacques (2004). Les carrés magiques dans les pays islamiques (in French). PPUR presses polytechniques.
^ Schimmel, Annemarie (1993). The mystery of numbers. New York: Oxford University Press.
^ "The Magic Squares of Manuel Moschopoulos - Introduction Mathematical Association of America". www.maa.org.
^ ^a ^b ^c ^d Cammann, Schuyler (May 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, part II". History of Religions. 8 (4): 271–299. doi:10.1086/462589. JSTOR 1062018. S2CID 224806255.
^ 현재 비블리오테카 바티카나(cod. Reg. Lat. 1283a)에 있다.
^ 퀴라 디 A의 알폰소 10세 엘 사비오, 아스트로마지아(Ms. Reg. lat. 1283a)를 참조하십시오.다고스티노, 나폴리, 리구오리, 1992년
^ 레이먼드 클리반스키, 에르빈 파노프스키, 프리츠 색슬의 '토성과 우울: 자연철학, 종교, 미술사 연구' 그림 1에 화성 마법 광장이 등장한다(1964년).
^ 볼로냐의 Biblioteca Universitaria에서 MS. 2433의 folios 20과 21에서 광장을 볼 수 있다.그것들은 또한 콜롬비아 대학의 도서관에 있는 15세기 트라타토 델라바코의 사본인 플림프턴 167의 폴리오 69rv에도 나타난다.
^ 1981년 "서유럽 마법 광장의 역사"와 같은 기사에서 수드호프스의 Archiv Kiel(1981) 권 65, 페이지 313-338) 독일 스콜라 멘소 포커트는 다음과 같은 원고를 수록했다.Folkerts는 1923년 Amedeo Agostini의 Bolletino dell 기사를 인용했다."Unione Matematica Italiane: A.Biblioteca Universitaria, Biblieca Universitaria, 2433, f. 20v–21r, sihe Bolletitino della Unione Matematica 2 (1923), 77f.Anderen Handschriftenes에서 Agostini berkte nicht, dass die Quadrate zur Abhandlung des Paolo dell'Abbaco gehören und auch die Werks vorkommen, z. B.뉴욕, 콜롬비아 대학교, 플림튼 167, f. 69rv; 파리, BN, 이탤릭.946, f. 37v-38r; 플로렌츠, 비블Naz., II. IX. 57, f. 86r, und Targioni 9, f. 77r; Florenz, Bibl.리카드, 미스 1169, f. 94-95"
^ 이 원고 본문 (1496–1508)은 볼로냐의 비블리오테카 대학에도 있습니다.자세한 내용은 http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html Archived 2012-03-01 Wayback Machine에서 확인할 수 있습니다.
^ Pacioli 상태:라스트로노미아의 서머멘테 한노 모스트라토 리 슈프리미 디 퀼라 콤모 프톨로메오, al bumasar alli, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et numberi eserli needaria (프톨레마이오스, 알부마사르, 알부마사르, Albraganus, Albumeri 등 천문학의 거장, Alfraganus 등)와 다른 모든 힘을 보여주었습니다.그리고 7개의 행성 사각형에 대해 설명하지만 마법의 적용에 대해서는 언급하지 않습니다.
^ ^a ^b ^c Muurinen, Ismo (2020). Fermat, magic squares and the idea of self-supporting blocks (PDF) (MSc). University of Helsinki.
^ Chabert, Jean-Luc (ed.) (1999). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. p. 524. ISBN 978-3540633693. {{cite book}}: first=범용명(도움말)이 있습니다.
^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Benjamin Franklin". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 December 2018.
^ ^a ^b ^c Rouse Ball, W.W. "Magic Squares". Mathematical Recreations and Essays (4 ed.). London: Mac Millan and Co., Limited. pp. 122–142.
^ Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. pp. 124–126.
^ "Archived copy". Archived from the original on 2005-11-09. Retrieved 2005-03-18.{{cite web}}: CS1 maint: 제목으로 아카이브된 복사(링크)
^ '뒤러의 광장이 있는 매직 큐브' 알리 스카리의 매직 큐브와 마법 큐브
^ "The magic square on the Passion façade: keys to understanding it". 7 February 2018.
^ 문자:수학 인텔리전서; 2003; 25; 4: 페이지 6-7.
^ '가우디의 광장이 있는 마법 큐브' 알리 스카리의 마법 정사각형과 마법 큐브
^ ^a ^b Parker, Matt (18 April 2016). The Parker Square. Numberphile. Archived from the original on 2021-12-11. Retrieved 16 June 2019.
^ Boyer, Christian. "Latest research on the "3x3 magic square of squares" problem". multimagie. Retrieved 16 June 2019. The two corresponding prizes are still to be won!
^ Haran, Brady. "The Parker Square". Brady Haran Blog. Retrieved 16 June 2019. The Parker Square is a mascot for people who give it a go but ultimately fall short.
^ Adler, Allan; Alejandre, Suzanne. "Why there are no 2x2 magic squares". mathforum.org. Archived from the original on 2018-03-02.
^ ^a ^b ^c Loly, Peter (March 2004) [1 August 2016]. "The invariance of the moment of inertia of magic squares" (PDF). Mathematical Gazette. 88 (511): 151–153. CiteSeerX 10.1.1.552.7296. doi:10.1017/S002555720017456X. S2CID 125989925.
^ Marcus, M.; Ree, R. (1959). "Diagonals of doubly stochastic matrices". The Quarterly Journal of Mathematics. 10 (1): 296–302. doi:10.1093/qmath/10.1.296.
^ Pinn, K.; Wieczerkowski, C. (1998). "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 541. arXiv:cond-mat/9804109. Bibcode:1998IJMPC...9..541P. doi:10.1142/s0129183198000443. S2CID 14548422.
^ "Parallel Tempering Monte Carlo의 매직 스퀘어 수, arxiv.org, 1998년 4월 9일.2013년 11월 2일 취득.
^ 얼마나 많은 마법의 사각형들이 있는가? 2001년 1월 11일 뉘른베르크의 월터 트럼프에 의해
^ ^a ^b 정사각형 이외의 것: 매직 스퀘어부터 스도쿠까지 by Hardeep Aiden, Plus Magazine, 2006년 3월 1일
^ Kitajima, Akimasa; Kikuchi, Macoto; Altmann, Eduardo G. (14 May 2015). "Numerous but Rare: An Exploration of Magic Squares". PLOS ONE. 10 (5): e0125062. Bibcode:2015PLoSO..1025062K. doi:10.1371/journal.pone.0125062. PMC 4431883. PMID 25973764.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Kraitchik, Maurice (1953). "Magic Squares". Mathematical Recreations (2nd ed.). New York: Dover Publications, Inc. pp. 142–192. ISBN 9780486201634.
^ ^a ^b Sallows, Lee (Fall 1997) [9 January 2009]. "The lost theorem". The Mathematical Intelligencer. 19 (4): 51–54. doi:10.1007/BF03024415. S2CID 122385051.
^ ^a ^b White, S. Harry. "Associative Magic Squares". budshaw.ca.
^ ^a ^b Hawley, Del (2011). "Magic Squares II". nrich.maths.org. University of Cambridge.
^ 수학 서클 제곱 By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, 페이지
^ http://oz.nthu.edu.tw/ ~ u9621110 / IT2010 / txt / 0929 / canterbury puzzle00dudeuoft .pdf The Canterbury Puzle and Other Curious Problems , Henry Ernest Dudeney , 1907 .
^ http://budshaw.ca/howMany.html, Bordered Square Numbers, S. Harry White, 2009
^ http://www.law05.si/iwms/presentations/Styan.pdf 일부에서는 5×5 황금 마술 매트릭스와 5×5 Stifelsche Quadrate, George P. H. Styan, 2014에 대한 의견을 설명했습니다.
^ 하틀리, M. "큰 매직 스퀘어 만들기"
^ http://budshaw.ca/2xNComposite.html, 2N 컴포지트 스퀘어, S. Harry White, 2009
^ Karl Fulves, 셀프워킹 넘버 매직 (도버 매직북스)
^ 를 클릭합니다Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (in Latin), pp. 29–30.
^ "복소수의 8x8 곱셈 매직 스퀘어" 알리 스카리의 매직 스퀘어 및 매직 큐브
^ "Multimagie.com – Additive-Multiplicative magic squares, 8th and 9th-order". Retrieved 26 August 2015.
^ "Multimagie.com – Smallest additive-multiplicative magic square". Retrieved 26 August 2015.
^ 매직 스퀘어에는 완전히 새로운 차원이 주어집니다. The Observer, 2011년 4월 3일
^ Les Carés magique géométriques by Jean-Paul Delahaye, Pour La Science No.428, 2013년 6월
^ "Area Magic Squares". Futility Closet. 2017-01-19. Retrieved 2017-06-12.
^ ^a ^b 매직 디자인, 로버트 B.엘리 3세, 레크리에이션 수학 저널 1권, 1968년 1월
^ Demirörs, O.; Rafraf, N.; Tanik, M. M. "Obtaining n-queens solutions from magic squares and constructing magic squares from n-queens solutions". Journal of Recreational Mathematics. 24 (272–280): 1992.
^ 주리스 리다카, '천사, 반지, 캐릭터, 마법의 행성 이미지'를 참조하십시오.Pangier ed. (펜실베이니아 주립대학 출판부, 1994년)
^ 기독교 악마학과 대중신화에 나오는 Benedek Lang, Krakow의 악마와 마법 핸드북의 이미지 마술, Gavor Klaniczay와 Eva Pocs ed. (중앙유럽대 출판부, 2006년)
^ 대응 원리에 따르면, 7개의 행성 각각은 주어진 금속과 연관되어 있다: 토성에 납, 화성에 철, 태양에 금 등.
^ Drury, Nevill (1992). Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions. Bridport, Dorset: Prism Press. ISBN 978-1-85327-075-8.
^ "힘의 책: 아드리아노플의 마법사 압톨카테르의 카발리즘 비밀"은 번역된다.1724년
^ Gareth E. Roberts (March 23, 2015). "Composing with Numbers: Sir Peter Maxwell Davies and Magic Squares" (PDF). Retrieved December 25, 2018.
^ ^a ^b Roberts, Gareth E. (2016). "8 Mathematical Modern Music". From Music to Mathematics: Exploring the Connections. JHU Press. ISBN 9781421419183.
^ 마카오 우체국 웹사이트 2014-11-11 웨이백 머신에 보관
^ 마카오의 매직 스퀘어 우표는 우표 제작으로 더 괴짜가 되었다. The Guardian Science, 2014년 11월 3일
^ Michelle Erica Green (June 15, 1997). "Biogenesis on The X-Files". littlereview.com. The Little Review. Retrieved March 25, 2017. Moreover, it's a magic square, a pattern in which God supposedly instructed the early Hebrews to gain power from names or their numeric equivalents.
^ Zack Handlen (November 17, 2012). "The X-Files: "Biogenesis" / Millennium: "Goodbye To All That"". The A.V. Club. The Onion, Inc. Retrieved March 25, 2017. I love when they bring the nerdy FBI guy in to explain the concept of "the magic square", which he does by telling us that magic squares have been around for a while, and then nothing else. Unless I missed something, all I have at this point is that magic squares are squares that people once thought were magic.

레퍼런스

Weisstein, Eric W. "Magic Square". MathWorld.
컨버전스 시 매직스퀘어

John Lee Fults, Magic Squares (일리노이 주, 라 살레:공개재판소, 1974년).
Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (뉴저지, 프린스턴 대학 출판부)
레온하르트 오일러, 마법의 사각형에서
레온하르트 오일러, 새로운 형태의 마법 광장에 대한 조사
William H . Benson과 Oswald Jacoby, "New Recations with Magic Squares."(뉴욕: Dover, 1976).

추가 정보

Andrews, W.S. (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing. p. 428.
Block, Seymour (2009). Before Sudoku: The World of Magic Squares. Oxford University Press. ISBN 978-0195367904.
Schinz, Alfred (1996). The Magic Square: Cities in Ancient China. Edition Axel Menges. p. 428. ISBN 9783930698028.
McCranie, Judson (November 1988). "Magic Squares of All Orders". Mathematics Teacher. 81 (8): 674–78. doi:10.5951/MT.81.8.0674.
Ollerenshaw, Kathleen; Bree, David (October 1998). Most perfect pandiagonal magic squares: their construction and enumeration. The Institute of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0905091068.
Benjamin, Arthur T.; Brown, Ethan J. (November 2014). "Challenging Magic Squares for Magicians" (PDF). The College Mathematics Journal. 45 (2): 92–100. doi:10.4169/college.math.j.45.2.092. S2CID 125255312.

외부 링크

컬리의 마법 광장

[1] Miller, Jeff (September 3, 2016). "Earlier Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M)".

[2] Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. p. 130.

[3] 울프램 매스월드: 매직 스퀘어 웨이스테인, 에릭 W.

[4] The most famous Arabic book on magic, named "Shams Al-ma'arif (Arabic: كتاب شمس المعارف), for Ahmed bin Ali Al-boni, who died about 1225 (622 AH).1985년 베이루트에서 전재

[Yoke-5] Yoke, Ho Peng (2008). "Magic Squares in China". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9350. ISBN 978-1-4020-4559-2.

[Andrews122-6] Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. p. 122.

[Cammann-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Cammann, Schuyler (April 1960). "The Evolution of Magic Squares in China" (PDF). Journal of the American Oriental Society. 80 (2): 116–124. doi:10.2307/595587. JSTOR 595587.

[Swetz2008-8] Swetz, Frank J. (2008). The Legacy of the Luoshu (2nd ed.). A.K. Peters/CRC Press.

[Connor-9] O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Yang Hui". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 March 2018.

[10] 1993년 런던대학교 동양·아프리카학부 조치 시게루(Jochi Shigeru Jochi)의 중국 수학예술이 세키코와에 미치는 영향

[DESmith69-11] Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 69–75. Isomura Kittoku.

[DESmith79-12] Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 79–80. Isomura Kittoku.

[DESmith116-13] Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 116–122. Isomura Kittoku.

[DESmith178-14] Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 178. Isomura Kittoku.

[Michiwaki-15] Michiwaki, Yoshimasa (2008). "Magic Squares in Japanese Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9154. ISBN 978-1-4020-4559-2.

[Mikami-16] Mikami, Yoshio (1917). Magic squares in Japanese mathematics (in Japanese). Tokyo: Imperial Academy of Science.

[Hayashi-17] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Hayashi, Takao (2008). "Magic Squares in Indian Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9778. ISBN 978-1-4020-4559-2.

[Datta-18] Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (1992). "Magic Squares in India" (PDF). Indian Journal of History of Science. 27 (1): 51–120. Archived from the original (PDF) on 2018-01-17. Retrieved 2018-01-16.

[Hayashi1-19] Hayashi, Takao (1987). "Varahamihira's Pandiagonal Magic Square of the Order Four" (PDF). Historia Mathematica. 14 (2): 159–166. doi:10.1016/0315-0860(87)90019-X.

[20] J. P. Hogendijk, A. I. Sabra, The Enterprise of Science in 이슬람: 새로운 관점, MIT Press, 2003, ISBN 0-262-1982-1, 페이지 xv.

[21] Helaine Selin, Ubiratan D'Ambrosio, 문화를 초월한 수학: 비서양 수학의 역사, 스프링거 출판, 2001, ISBN 1-4020-0260-2, 페이지 160.

[Sesiano2003-22] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Sesiano, Jacques (November 2003). "Construction of magic squares using the knight's move in Islamic mathematics" (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 58 (1): 1–20. doi:10.1007/s00407-003-0071-4. S2CID 123219466.

[Sesiano1997-23] Sesiano, Jacques (1997). "Magic squares in Islamic mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. pp. 1259–1260.

[Sesiano2007-24] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Sesiano, Jacques (2007). Magic squares in the tenth century: Two Arabic treatises by Antaki and Buzjani. Springer.

[25] Sesiano, J., Abual-Wafa\rasp의 매직 스퀘어(프랑스어), Z.게쉬 아랍인-이슬람, Wiss. 12(1998), 121~244.

[Cammann1969a-26] Cammann, Schuyler (February 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, Part I". History of Religions. 8 (3): 181–209. doi:10.1086/462584. S2CID 162095408.

[Sesiano1994-27] Sesiano, Jacques (2004). "Quelques methodes arabes de construction des carres magiques impairs (some Arabic construction methods of odd magical squares)". Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles (in French). 83 (1): 51–76.

[28] 피터, J. 바르타, 비례의 봉인반지와 마법반지 (2016), 페이지 6-9.

[Needham1987-29] Needham, Joseph (1987). Theoretical Influences of China on Arabic Alchemy. UC Biblioteca Geral 1.

[30] 자비르 이븐 헤이얀, 저울책.프랑스어 번역: 마르셀랭 베르텔로(1827–1907), Histoire de Sciences.라 치미 오 모이엔주, 톰III: 라키미아베파리, 1893년[rprt...]Osnabruck: O. Zeller, 1967], 139-162페이지, 특히 150-151페이지

[31] 알 가자르, 오류로부터의 인도 (al-munqidh min al-swhalarl) 145장.아랍어: al-Munkidh min al-dalal.ED. J. Saliba – K.아이야드 다마스쿠스:Maktab al-Nashr al-Arabi, 1934, 페이지 79.영어 강좌:리처드 조셉 매카시, 자유와 성취:알-가잘리의 알-문키드 민 알-달랄 및 기타 알-가잘리의 관련 저작에 대한 주석 번역.보스턴, 트위어, 1980년그는 '특수 속성의 경이'라는 제목의 책을 출처로 언급하고 있다.이 광장은 동양에서 그의 이름을 따서 가잘리의 옥새로 명명되었다.

[Comes2016-32] Comes, Rosa (2016). The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe. Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation. Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation. Vol. 6. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pp. 159–198. ISBN 9783110467307.

[33] 라틴어 버전은 Liber de Septem pigure septem planetarum pigureum Geberi regis Indorum이다.이 논문은 뒤러와 하인리히 코르넬리우스 아그리파 폰 네테스하임의 확인된 출처이다.Cf. Peter, J. Barta, 비례의 봉인반지와 마법반지 (2016), 페이지 8-9, n. 10

[Sesiano2004-34] Sesiano, Jacques (2004). Les carrés magiques dans les pays islamiques (in French). PPUR presses polytechniques.

[Schimmel1993-35] Schimmel, Annemarie (1993). The mystery of numbers. New York: Oxford University Press.

[36] "The Magic Squares of Manuel Moschopoulos - Introduction Mathematical Association of America". www.maa.org.

[Cammann1969-37] Cammann, Schuyler (May 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, part II". History of Religions. 8 (4): 271–299. doi:10.1086/462589. JSTOR 1062018. S2CID 224806255.

[38] 현재 비블리오테카 바티카나(cod. Reg. Lat. 1283a)에 있다.

[39] 퀴라 디 A의 알폰소 10세 엘 사비오, 아스트로마지아(Ms. Reg. lat. 1283a)를 참조하십시오.다고스티노, 나폴리, 리구오리, 1992년

[40] 레이먼드 클리반스키, 에르빈 파노프스키, 프리츠 색슬의 '토성과 우울: 자연철학, 종교, 미술사 연구' 그림 1에 화성 마법 광장이 등장한다(1964년).

[41] 볼로냐의 Biblioteca Universitaria에서 MS. 2433의 folios 20과 21에서 광장을 볼 수 있다.그것들은 또한 콜롬비아 대학의 도서관에 있는 15세기 트라타토 델라바코의 사본인 플림프턴 167의 폴리오 69rv에도 나타난다.

[42] 1981년 "서유럽 마법 광장의 역사"와 같은 기사에서 수드호프스의 Archiv Kiel(1981) 권 65, 페이지 313-338) 독일 스콜라 멘소 포커트는 다음과 같은 원고를 수록했다.Folkerts는 1923년 Amedeo Agostini의 Bolletino dell 기사를 인용했다."Unione Matematica Italiane: A.Biblioteca Universitaria, Biblieca Universitaria, 2433, f. 20v–21r, sihe Bolletitino della Unione Matematica 2 (1923), 77f.Anderen Handschriftenes에서 Agostini berkte nicht, dass die Quadrate zur Abhandlung des Paolo dell'Abbaco gehören und auch die Werks vorkommen, z. B.뉴욕, 콜롬비아 대학교, 플림튼 167, f. 69rv; 파리, BN, 이탤릭.946, f. 37v-38r; 플로렌츠, 비블Naz., II. IX. 57, f. 86r, und Targioni 9, f. 77r; Florenz, Bibl.리카드, 미스 1169, f. 94-95"

[43] 이 원고 본문 (1496–1508)은 볼로냐의 비블리오테카 대학에도 있습니다.자세한 내용은 http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html Archived 2012-03-01 Wayback Machine에서 확인할 수 있습니다.

[44] Pacioli 상태:라스트로노미아의 서머멘테 한노 모스트라토 리 슈프리미 디 퀼라 콤모 프톨로메오, al bumasar alli, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et numberi eserli needaria (프톨레마이오스, 알부마사르, 알부마사르, Albraganus, Albumeri 등 천문학의 거장, Alfraganus 등)와 다른 모든 힘을 보여주었습니다.그리고 7개의 행성 사각형에 대해 설명하지만 마법의 적용에 대해서는 언급하지 않습니다.

[Muurinen2020-45] Muurinen, Ismo (2020). Fermat, magic squares and the idea of self-supporting blocks (PDF) (MSc). University of Helsinki.

[46] Chabert, Jean-Luc (ed.) (1999). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. p. 524. ISBN 978-3540633693. {{cite book}}: first=범용명(도움말)이 있습니다.

[47] O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Benjamin Franklin". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 December 2018.

[RouseBall1904-48] Rouse Ball, W.W. "Magic Squares". Mathematical Recreations and Essays (4 ed.). London: Mac Millan and Co., Limited. pp. 122–142.

[Andrews-49] Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. pp. 124–126.

[50] "Archived copy". Archived from the original on 2005-11-09. Retrieved 2005-03-18.{{cite web}}: CS1 maint: 제목으로 아카이브된 복사(링크)

[51] '뒤러의 광장이 있는 매직 큐브' 알리 스카리의 매직 큐브와 마법 큐브

[52] "The magic square on the Passion façade: keys to understanding it". 7 February 2018.

[53] 문자:수학 인텔리전서; 2003; 25; 4: 페이지 6-7.

[54] '가우디의 광장이 있는 마법 큐브' 알리 스카리의 마법 정사각형과 마법 큐브

[parkersquareav-55] Parker, Matt (18 April 2016). The Parker Square. Numberphile. Archived from the original on 2021-12-11. Retrieved 16 June 2019.

[56] Boyer, Christian. "Latest research on the "3x3 magic square of squares" problem". multimagie. Retrieved 16 June 2019. The two corresponding prizes are still to be won!

[57] Haran, Brady. "The Parker Square". Brady Haran Blog. Retrieved 16 June 2019. The Parker Square is a mascot for people who give it a go but ultimately fall short.

[58] Adler, Allan; Alejandre, Suzanne. "Why there are no 2x2 magic squares". mathforum.org. Archived from the original on 2018-03-02.

[Loly-59] Loly, Peter (March 2004) [1 August 2016]. "The invariance of the moment of inertia of magic squares" (PDF). Mathematical Gazette. 88 (511): 151–153. CiteSeerX 10.1.1.552.7296. doi:10.1017/S002555720017456X. S2CID 125989925.

[60] Marcus, M.; Ree, R. (1959). "Diagonals of doubly stochastic matrices". The Quarterly Journal of Mathematics. 10 (1): 296–302. doi:10.1093/qmath/10.1.296.

[61] Pinn, K.; Wieczerkowski, C. (1998). "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 541. arXiv:cond-mat/9804109. Bibcode:1998IJMPC...9..541P. doi:10.1142/s0129183198000443. S2CID 14548422.

[Arxiv-62] "Parallel Tempering Monte Carlo의 매직 스퀘어 수, arxiv.org, 1998년 4월 9일.2013년 11월 2일 취득.

[63] 얼마나 많은 마법의 사각형들이 있는가? 2001년 1월 11일 뉘른베르크의 월터 트럼프에 의해

[sudoku-64] 정사각형 이외의 것: 매직 스퀘어부터 스도쿠까지 by Hardeep Aiden, Plus Magazine, 2006년 3월 1일

[65] Kitajima, Akimasa; Kikuchi, Macoto; Altmann, Eduardo G. (14 May 2015). "Numerous but Rare: An Exploration of Magic Squares". PLOS ONE. 10 (5): e0125062. Bibcode:2015PLoSO..1025062K. doi:10.1371/journal.pone.0125062. PMC 4431883. PMID 25973764.

[Kraitchik1953-66] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Kraitchik, Maurice (1953). "Magic Squares". Mathematical Recreations (2nd ed.). New York: Dover Publications, Inc. pp. 142–192. ISBN 9780486201634.

[lost-theorem-67] Sallows, Lee (Fall 1997) [9 January 2009]. "The lost theorem". The Mathematical Intelligencer. 19 (4): 51–54. doi:10.1007/BF03024415. S2CID 122385051.

[White-Assoc-Magic-68] White, S. Harry. "Associative Magic Squares". budshaw.ca.

[Hawley2011-69] Hawley, Del (2011). "Magic Squares II". nrich.maths.org. University of Cambridge.

[70] 수학 서클 제곱 By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, 페이지

[71] ttp://oz.nthu.edu.tw/ ~ u9621110 / IT2010 / txt / 0929 / canterbury puzzle00dudeuoft .pdf The Canterbury Puzle and Other Curious Problems , Henry Ernest Dudeney , 1907 .

[72] ttp://budshaw.ca/howMany.html, Bordered Square Numbers, S. Harry White, 2009

[73] ttp://www.law05.si/iwms/presentations/Styan.pdf 일부에서는 5×5 황금 마술 매트릭스와 5×5 Stifelsche Quadrate, George P. H. Styan, 2014에 대한 의견을 설명했습니다.

[hartleym-74] 하틀리, M. "큰 매직 스퀘어 만들기"

[75] ttp://budshaw.ca/2xNComposite.html, 2N 컴포지트 스퀘어, S. Harry White, 2009

[76] Karl Fulves, 셀프워킹 넘버 매직 (도버 매직북스)

[77] 를 클릭합니다Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (in Latin), pp. 29–30.

[78] "복소수의 8x8 곱셈 매직 스퀘어" 알리 스카리의 매직 스퀘어 및 매직 큐브

[79] "Multimagie.com – Additive-Multiplicative magic squares, 8th and 9th-order". Retrieved 26 August 2015.

[80] "Multimagie.com – Smallest additive-multiplicative magic square". Retrieved 26 August 2015.

[81] 매직 스퀘어에는 완전히 새로운 차원이 주어집니다. The Observer, 2011년 4월 3일

[PourlaScience-82] Les Carés magique géométriques by Jean-Paul Delahaye, Pour La Science No.428, 2013년 6월

[83] "Area Magic Squares". Futility Closet. 2017-01-19. Retrieved 2017-06-12.

[Ely-84] 매직 디자인, 로버트 B.엘리 3세, 레크리에이션 수학 저널 1권, 1968년 1월

[85] Demirörs, O.; Rafraf, N.; Tanik, M. M. "Obtaining n-queens solutions from magic squares and constructing magic squares from n-queens solutions". Journal of Recreational Mathematics. 24 (272–280): 1992.

[86] 주리스 리다카, '천사, 반지, 캐릭터, 마법의 행성 이미지'를 참조하십시오.Pangier ed. (펜실베이니아 주립대학 출판부, 1994년)

[87] 기독교 악마학과 대중신화에 나오는 Benedek Lang, Krakow의 악마와 마법 핸드북의 이미지 마술, Gavor Klaniczay와 Eva Pocs ed. (중앙유럽대 출판부, 2006년)

[88] 대응 원리에 따르면, 7개의 행성 각각은 주어진 금속과 연관되어 있다: 토성에 납, 화성에 철, 태양에 금 등.

[DruryDict-89] Drury, Nevill (1992). Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions. Bridport, Dorset: Prism Press. ISBN 978-1-85327-075-8.

[90] "힘의 책: 아드리아노플의 마법사 압톨카테르의 카발리즘 비밀"은 번역된다.1724년

[Roberts_2015-91] Gareth E. Roberts (March 23, 2015). "Composing with Numbers: Sir Peter Maxwell Davies and Magic Squares" (PDF). Retrieved December 25, 2018.

[Roberts_2016-92] Roberts, Gareth E. (2016). "8 Mathematical Modern Music". From Music to Mathematics: Exploring the Connections. JHU Press. ISBN 9781421419183.

[93] 마카오 우체국 웹사이트 2014-11-11 웨이백 머신에 보관

[94] 마카오의 매직 스퀘어 우표는 우표 제작으로 더 괴짜가 되었다. The Guardian Science, 2014년 11월 3일

[Green_1997-95] Michelle Erica Green (June 15, 1997). "Biogenesis on The X-Files". littlereview.com. The Little Review. Retrieved March 25, 2017. Moreover, it's a magic square, a pattern in which God supposedly instructed the early Hebrews to gain power from names or their numeric equivalents.

[Handlen_2012-96] Zack Handlen (November 17, 2012). "The X-Files: "Biogenesis" / Millennium: "Goodbye To All That"". The A.V. Club. The Onion, Inc. Retrieved March 25, 2017. I love when they bring the nerdy FBI guy in to explain the concept of "the magic square", which he does by telling us that magic squares have been around for a while, and then nothing else. Unless I missed something, all I have at this point is that magic squares are squares that people once thought were magic.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[7]

[9]

[8]

[10]

[11]

[12]

[13]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[29]

[30]

[31]

[28]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

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[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

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[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

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[96]

v t 매직 폴리곤
종류들	매직 서클 매직 육각형 매직 육각형 매직 스퀘어 매직 스타 매직 트라이앵글
관련 도형	알파매직 사각형 안티매직 스퀘어 거매직 광장 헤테로스퀘어 범대각선 매직 스퀘어 가장 완벽한 매직 스퀘어
고차원 형상	매직 큐브 반 매직 하이퍼큐브 매직 하이퍼빔
분류	연상 매직 스퀘어 범대각선 매직 스퀘어 멀티매직 스퀘어
관련 개념	라틴 사각형 단어 정사각형 숫자 스크래블 여덟 개의 여왕 퍼즐 매직 상수 매직 그래프 매직 시리즈

권한 관리
국립도서관	프랑스. (데이터) 독일. 이스라엘 미국 일본. 체코 공화국
다른.	SUDOC(프랑스) 1

8	80	78	76	75	12	14	16	10
67	22	64	62	61	26	28	24	15
69	55	32	52	51	36	34	27	13
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순서 m × n의 제곱의 경우, 여기서 m, n > 2

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