절연 특이점

수학의 한 분야인 복잡한 분석에서, 고립된 특이점은 그것과 가까운 다른 특이점이 없는 것이다.즉, 복합수 z는₀ f가₀ D \ {z₀}에 홀로모르픽인 것처럼 z를 중심으로 열린 디스크 D가 존재한다면 함수 f의 고립된₀ 특이점이다.

공식적으로, 그리고 일반 위상의 일반적인 범위 내에서, 홀로모르픽 함수의 격리된 특이점은 $f:\Omega \to \mathbb {C}$ $f:\Omega \to \mathbb {C}$ : $f:\Omega \to \mathbb {C}$ → C ${\$ $\Omega \to \mathbb {C} }$ is any isolated point of the boundary $\partial \Omega$ of the domain $\Omega$ . In other words, if $U$ is an open subset of $\mathbb {C}$ , $a\in U$ and ${\displaystyle$ $f:U\setminus \{a\}\to \mathb {C}$ }은(는) 홀모픽 함수인 $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ 다음 $a$ 은(는) $f$ $f$ 의 격리된 특이점이다 $a$ $f$

개방 서브셋 $U\subset \mathbb {C}$ $U\subset \mathbb {C}$ $U\subset \mathbb {C}$ ${\$ 에 있는 모든 용적함수의 특이성은 격리되지만 $U\subset \mathbb {C}$ , 특이점의 격리만으로는 함수가 용적임을 보장하기에 충분하지 않다.Laurent 시리즈와 잔류물 정리 같은 복잡한 분석의 많은 중요한 도구들은 함수의 모든 관련 특이점들을 격리시킬 것을 요구한다.격리된 특이점에는 탈착 가능한 특이점, 극 및 필수 특이점 등 세 가지 유형이 있다.

예

함수 ${\frac {1}{z}}$ ${\frac {1}{z}}$ ${\$ 은(는) 0을(를) 분리된 특이점으로 가지고 있다 ${\frac {1}{z}}$ .
cosecant 함수 $\csc \left(\pi z\right)$ $\csc \left(\pi z\right)$ ( $\csc \left(\pi z\right)$ $\csc \left(\pi z\right)$ ) ${\$ z $\right)}$ 은 모든 정수를 절연된 특이점으로 가지고 있다 $\csc \left(\pi z\right)$ .

비절연 특이점

격리된 특이점 외에 한 변수의 복잡한 함수는 다른 특이점을 나타낼 수 있다.즉, 두 종류의 비절연 특이점이 존재한다.

군집점, 즉 고립된 특이점의 한계점: 모두 극점일 경우 각 극점에 대한 Laurent 시리즈 확장을 인정함에도 불구하고 한계점에서는 그러한 확장이 가능하지 않다.
자연적 경계, 즉 함수를 분석적으로 계속할 수 없는 주변의 비절연 집합(예: 곡선) (또는 리만 구에서 닫힌 곡선인 경우 외부)

예

이 동력 시리즈의 자연적 경계는 단위 원(읽기 예)이다.

The function ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ is meromorphic on $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , with simple poles at ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$ , for every ${\displaystyle n\in$ $\mathbb {N} _{0}}$ . Since $z_{n}\rightarrow 0$ , every punctured disk centered at $0$ has an infinite number of singularities within, so no Laurent expansion is available for ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ around $0$ , which사실 극의 집합점이다.
${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ ( ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ $){\$ 함수에는 임의로 0에 가까운 모든 정수의 역수에 추가적인 특이점이 있으므로(이 왕복선의 특이점 자체는 격리됨) 0에 특이점이 있다 ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ .
Maclaurin 시리즈 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ = ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\$ 을(를) 통해 정의된 함수는 0 $0$ 에 중심을 둔 오픈 유닛 디스크 내부에 수렴되며 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ $0$ 단위 원은 자연 경계로 한다.