기하함수 이론

기하함수 이론은 분석함수의 기하학적 특성에 관한 학문이다. 이론의 근본적인 결과는 리만 지도 정리다.

기하 함수 이론의 주제

기하 함수 이론에서 가장 중요한 몇 가지 주제는 다음과 같다.^[1][2]

등각 지도

등각 지도는 각도를 국소적으로 보존하는 기능이다. 가장 일반적인 경우 함수는 복잡한 평면에 영역과 범위가 있다.

좀 더 공식적으로, 지도는,

${\$$U$$\$${\displaystyle {}^{}}$ V\$qquad }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ , V${\displaystyle }$⊂${\displaystyle }$C n {\$displaystyle U,V\subset \mathb {C} ^{n}}}}$

방향(즉, 각도의 크기만이 아니라)과 관련하여$$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을 통한 곡선 사이의 방향각을 보존하는 경우$$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 지점에서 등각(또는 각도)이라고 한다. 등각 지도는 각도와 무한히 작은 도형의 모양을 모두 보존하지만, 반드시 그 크기나 곡면성은 아니다.

퀘이콘 형식 지도

In mathematical complex analysis, a quasiconformal mapping, introduced by Grötzsch (1928) harvtxt error: no target: CITEREFGrötzsch1928 (help) and named by Ahlfors (1935) harvtxt error: no target: CITEREFAhlfors1935 (help), is a homeomorphism between plane domains which to first order takes small circles to small ellipses of bounded eccentricity.

직관적으로 f : D → D ′을 평면 내 열린 세트 사이의 방향성 보존 동형성이 되도록 한다. f가 계속 다를 수 있는 경우, 모든 지점 맵에서 f의 파생상품이 K에 의해 경계된 편심성을 가진 타원으로 원을 그리면 K-quasiconformal이다.

K가 0일 경우 함수는 일치한다.

분석적 연속성

분석적 연속성은 주어진 분석함수의 영역을 확장하는 기법이다. 분석적 연속성은 종종 함수의 추가 값 정의에 성공하는데 성공하는데, 예를 들어, 함수가 초기에 정의되는 측면에서 무한 시리즈 표현이 다른 새로운 영역에서 성공한다.

그러나 단계적 연속 기술은 어려움에 직면할 수 있다. 이러한 것들은 본질적으로 위상학적 성격을 가지고 있어 불일치로 이어질 수 있다(둘 이상의 가치를 정의). 그들은 그 대신에 수학적인 특이점들의 존재와 관련이 있을 수 있다. 여러 가지 복잡한 변수의 경우는 다소 다른데, 이는 특이점이 고립될 수 없기 때문이며, 그 조사가 피복 코호몰로지 발달의 주요 원인이었다.

다항식 및 대수함수의 기하학적 특성

이 영역의 주제에는 대수함수에 대한 리만 표면과 대수함수에 대한 0이 포함된다.

리만 표면

베른하르트 리만이 처음 연구하고 이름을 딴 리만 표면은 1차원 복합 다지관이다. 리만 표면은 복잡한 평면의 변형된 버전이라고 생각할 수 있다. 국소적으로 모든 지점 근처는 복잡한 평면의 조각처럼 보이지만, 지구 위상은 상당히 다를 수 있다. 예를 들어, 그것들은 구처럼 보일 수도 있고, 토러스처럼 보일 수도 있고, 또는 접착된 여러 장의 시트처럼 보일 수도 있다.

리만 표면의 요점은 그들 사이에 홀로모르픽 기능이 정의될 수 있다는 것이다. 리만 표면은 오늘날 이러한 기능들, 특히 제곱근과 다른 대수적 함수, 또는 로그와 같은 다변량 함수들의 지구적 행동을 연구하기 위한 자연적인 설정으로 여겨지고 있다.

극단적 문제

이 영역의 주제는 "최대 원리; 슈바르츠의 보조정리, 린델뢰프 원리, 유사점과 일반화"^[3]이다.

단일 및 다중값 함수

복합 평면의 개방된 부분 집합에 있는 홀로모픽 함수를 주입성인 경우 단발성 함수를 단발성 함수로 부른다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 복합 평면에서 두 개의 열린 연결 집합인$$ 경우, 그리고

${\displaystyle f:G\to \Oomega}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle f(G)=\Oomega$}($$$f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$은(는$$) 굴절성이므로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 파생상품은 0이 아니며$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaysty f}$은 반전성이며, $역{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^-1}$도 홀오모형이다. 더 많은 것은, 사슬 규칙으로 가지고 있다.

대체 용어는 슐리히트(이것은 평범하고 단순한 독일어)와 단순하다. 일률적인 융합하에 본질적으로 일률적인 융합이 유지되고 있다는 것은, 일률적인 기능 이론의 근본인 주목할 만한 사실이다.

중요한 정리

리만 매핑 정리

z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 최소 두 ${\displaystyle 개}$의 경계점을$$ 갖는 단순 $연결{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {영역\mathrm{}}_{}}$D 1(${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$1 ${\displaystyle )}$C ){\$displaystyle D_{1$}($D_{1}\neq \mathb$ {$C})$ 및$$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ D_${1$}{1}의 지점이 되도록$$ 한다$.$ 그 때는 독특한 analytic 기능 및 w)개방된 단위 원판 w<>bijectively에 f(z){\displaystyle w=f(z)}매핑 D1{\displaystyle D_{1}};1{\displaystyle w<1}가 f(z0)=0{\displaystyle f(z_{0})=0}와 f′(z0)>0{\displaystyle f'(z_{0})>0}존재한다. .

리만의 매핑 정리가 매핑 함수의 존재를 증명하지만, 실제로 이 함수를 나타내지는 않는다. 예를 들면 다음과 같다.

In the above figure, consider ${\displaystyle D_{1}}$ and ${\displaystyle D_{2}}$ as two simply connected regions different from ${\displaystyle \mathbb {C} }$. The Riemann mapping theorem provides the existence of ${\displaystyle w=f(z)}$ mapping ${\displaystyle D_{1}}$ onto the 단위 디스크 및 단위 디스크에$$ $w{\displaystyle }$= g${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle w=g(z)}$ 매핑$$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ Thus ${\displaystyle g^{-1}f}$ is a one-to-one mapping of ${\displaystyle D_{1}}$ onto ${\displaystyle D_{2}}$. If we can show that ${\displaystyle g^{-1}}$, and consequently the composition, is analytic, we then have a conformal mapping of ${\displaystyle D_{1}}$ onto $$${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ "전체 평면 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과(와) 다른 단순하게 연결된 두 영역은 서로 일치하게 매핑할 수 있다$$"는 것을 증명한다.

슈바르츠 보조정리

헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 딴 슈바르츠 보조정리기는 오픈 유닛 원반부터 그 자체까지 홀로모르픽 기능에 대한 복잡한 분석이 나오는 결과다. 보조정리법은 리만 지도 정리처럼 강력한 정리보다 덜 유명하며, 이를 증명하는 데 도움이 된다. 그러나 그것은 홀로모르프 함수의 경직성을 포착하는 가장 간단한 결과 중 하나이다.

성명서

슈바르츠 레마 Let D = {z : z < 1}은(는) 원점을 중심으로 한 복합 평면 C의 오픈 단위 디스크로, f : D → D는 f(0) = 0과 같은 홀로모르픽 맵으로 한다.

그리고 D와 F in(0) ) 1의 모든 z에 대해 f(z) ≤ z를 사용한다.

또한 0이 아닌 일부의 경우 f(z) = z 또는 f f(0) = 1이면 a = 1인 일부 a in C의 경우 f(z) = az이다.

최대 원리

최대 원리는 타원형과 포물선형의 특정 부분 미분방정식에 대한 해법의 속성이다. 대략적으로 말하면, 도메인 내 함수의 최대치는 그 도메인의 경계에서 발견되어야 한다고 되어 있다. 구체적으로는 함수가 도메인 내부에서 최대치를 달성하면 함수는 균일하게 상수라고 강한 최대 원리는 말한다. 약한 최대 원리는 함수의 최대치를 경계에서 찾되, 내부에서도 재발할 수 있다는 것이다. 다른, 심지어 더 약한 최대 원칙이 존재하며, 경계에서 함수의 최대치 측면에서 함수를 구속할 뿐이다.

리만-허위츠 공식

리만-리만-후르비츠 공식은 베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠의 이름을 딴 것으로, 한쪽이 다른 한쪽 면의 적층 피복일 때 두 표면의 오일러 특성의 관계를 기술하고 있다. 따라서 이 경우, 라미화를 대수적 위상과 연결한다. 다른 많은 사람들의 원형 결과물이며, 리만 표면(원점)과 대수곡선 이론에 자주 응용된다.

성명서

방향 표면 S의 경우 오일러 특성 χ(S)은

$2-2g\,}$

여기서 g는 속(핸들의 수)이다. 왜냐하면 베티 번호는 1, 2g, 1, 0, 0, ... 표면의 지도를 덮는 (비람화)의 경우.

$\displaystyle \pi :S'\to S\,}$

N학점이라면 공식을 가질 수 있을거야

$\displaystyle \chi(S')=N\cdot \chi(S)\,}$

그것은 S의 각 심플렉스들은 정확히 N으로 가려져야 하기 때문이다 - 적어도 오일러 특성이 위상학적 불변제이기 때문에 우리가 할 자격이 있는 것처럼 S의 미세한 삼각측량을 사용할 경우. 무슨 리만-허위츠 공식은 램프를 만들기 위해 수정을 추가하는 것이다.

이제 S와 S′는 리만 표면이며, 지도 π은 복잡한 분석이라고 가정한다. 그 지도 π다면 P근처에 분석적 좌표 존재하 S′에서 P점을 보고π은 형태를 가진다 그런 π(z))zn, n을 π(P), 1ramified할 것으로 알려졌다.이에 대해 생각하면서의 유사한 방법 작은 동네 UP의 U의 그런 π(P)다 정확히 1preimage 존재하지만 U의 어떤 다른 부분의 이미지를 정확히 npreimag이다.es. es. 숫자 n은 P에서 라미화 지수라고 불리며 e로_P 나타내기도 한다. S eul의 오일러 특성을 계산할 때 π(P) 위 P의 e_P - 1 복사본(즉, π(P)의 역 이미지에서)이 손실되는 것을 알 수 있다. 이제 가지에 정점이 있는 S와 S의 삼각형을 각각 선택하고 이를 사용하여 오일러 특성을 계산해 봅시다. 그러면 S′는 d에 대해 0과 다르지만 예상 정점보다 적은 수의 d-차원 면을 가질 것이다. 따라서, 우리는 "수정된" 공식을 찾는다.

${\displaystyle \chi(S')=N\cdot \chi(S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}$

(단순히 많은 P가 e_P = 1을 가지므로 이는 매우 안전하다.) 이 공식은 리만-로 알려져 있다.후르비츠 공식과 후르비츠의 정리로서의 역할도 한다.

참조

• 후르비츠-쿠란트, 보레성거 über algemeine Funcktionen Theri, 1922년 (제4부, H. Röhrl, 제3권, Grundlehren deracitischen Wissenschaften) 1964년 스프링거)
• Krantz, Steven (2006). Geometric Function Theory: Explorations in Complex Analysis. Springer. ISBN 0-8176-4339-7.
• Bulboacă, T.; Cho, N. E.; Kanas, S. A. R. (2012). "New Trends in Geometric Function Theory 2011" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2012: 1–2. doi:10.1155/2012/976374.
• Ahlfors, Lars (2010). Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821852705.