등온 좌표

수학에서, 특히 미분 기하학에서, 리만 다지관의 등온 좌표는 측정이 유클리드 측정에 부합하는 국부 좌표다.이것은 등온 좌표에서 리만 메트릭스가 로컬로 형태를 가지고 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle g=\varphi(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 부드러운 함수다.(리만 다지관의 방향이 정해지는 경우, 일부 저자들은 등온성이 되려면 좌표계가 그 방향에 동의해야 한다고 주장한다.)null

표면의 등온 좌표는 가우스에 의해 처음 도입되었다.코른과 리히텐슈타인은 등온 좌표가 2차원 리만 다지관의 어느 지점에도 존재한다는 것을 증명했다.고차원 리만 다지관에서 그들의 지역적 존재에 필요한 충분한 조건은 바일 텐서와 코튼 텐서의 소멸이다.null

표면의 등온 좌표

가우스(1822)는 혁명 표면의 라그랑주(1779) 결과에 이어 실제 분석 측정법으로 임의 표면의 등온 좌표의 존재를 입증했다.Hölder 연속 지표를 위한 결과는 Korn(1916)과 Lichtenstein(1916)에 의해 얻어졌다.이후 Morrey(1938), Ahlfors(1955) harvtxt 오류: 목표 없음: CITREFAhlfors1955(도움말), Bers(1952) 및 Chen(1955)이다.특히 호지 별 연산자를 이용한 간단한 계정은 DeTurck & Kazdan(1981)에 제시되어 있다.null

벨트라미 방정식

등온 좌표의 존재는 칼데론과 지그문트의 단일한 적분 연산자에 대한 L^p 추정치에 의존하는 벨트라미 방정식에 대해 알려진 존재 이론들을 적용함으로써 증명할^[1] 수 있다.^[2][3]벨트라미 방정식에 대한 보다 단순한 접근법은 최근 아드리아인 두아디에 의해 주어졌다.^[4]null

Riemanian 메트릭스가 로컬로 제공되는 경우

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},dy^{2},$

그런 다음 복잡한 좌표 z = x + iy에서 형식을 취한다.

${\displaystyle ds^{2}=\dz+\mu \,d{\overline {z} ^{2},}$

여기서 λ과 μ는 > > 0과 μ < 1. 사실

${\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}),\,\,\,\,\mu =(E-G+2iF)/4\lambda .}$

등온 좌표(u, v)에서 메트릭은 형태를 취해야 한다.

${\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+^{2})}$

반들반들하게복잡한 좌표 w = u + i v가 만족함

${\displaystyle e^{\rho }\, dw ^{2}=e^{\rho } w_{z} ^{2} \dz+{w_{\\overline{z}}}} \overw_}\d{\overline}}}}}}}}}$

Beltrami 방정식을 사용할 경우 좌표(u, v)가 등온으로 전환되도록 함

${\displaystyle {\reverline {z}=\mu {\revers w \rever \rever\bufficient z}$

상이한 용액을 가지고 있다.그러한 해결책은 μ _∞< 1이 있는 어떤 이웃에도 존재한다는 것이 증명되었다.

호지 항성 연산자

다음과 같은 경우 등온 좌표 u와 v는 등온이다.

$\displaystyle \star du=suit,}$

여기서 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$은(는) 메트릭에 의해 정의된 Hodge 별 연산자다.^[5]null

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Delta =d^{*}d}$을(를) 라플라스-벨트라미 연산자로 두십시오$$.null

그런 다음 표준 타원 이론에 의해 u는 주어진 점, 즉 Δ u = 0에 가까운 조화(non-banning)로 선택할 수 있다.^[5][6]null

실제로 문제가 국지적이기 때문에 리만측 지표가 부여된 토러스² T에 해결책을 기술하는 것으로 충분하다.이 경우 Δ f = g는 주어진 초기값 f(0), df(0)로 거의 0에 가깝게 해결할 수 있다.

이는 s ≥ 0에 대한 L² Sobollev 공간_s H(T²)를 사용하여 증명할 수 있다.^[7]이러한 힐버트 공간은 Δ와 리만 구조로 정의할 수 있지만 이러한 구조와는 독립적이다.I + Δ가 H_s+2(T²)에서 H_s(T²)까지 선형 이형성을 제공하며 Δ f = g는 g가 상수에 직교하는 경우에만 해결할 수 있다.반면에 표준 기법은 근사치 정리를 암시한다:^[8] 점의 인접 지역에서 사라지는 부드러운 함수는 s s 1에 대해 H_s(T²) 밀도가 높다(증거 방법은 아래 참조).

특히 0보다 작은 s의 경우 함수 f = ∆⁻¹ g이 상수와 직교하는 H_s+2(T²²)의 하위 공간에 밀도가 높은 것처럼_s H(T)의 상수에 직교하는 0에 가까운 부드러운 함수 g가 있음을 의미한다.타원형 규칙성에 의해 이 f는 부드럽다.소볼레프 내장 정리 H_s+2(T²²)에¹ 의해, 소볼레프 공간의 밀도는 주장대로 f(0), df(0)가 가능한 모든 값을 취한다는 것을 암시한다.

위의 근사치 정리는 해당 1차원 결과와 동일한 방법을 사용하여 증명할 수 있다: 점의 인접 지역에서 소멸되는 매끄러운 함수는 s 1 1/2의_s H(T)에 밀도 있다.단순성을 위해서만 이 경우를 설명할 것이다.단위 서클 T의 포인트 1에 대해 이것을 증명하는 것으로 충분하다.원과 실선 사이의 케이리 변환에 의해 C^∞(T)의 1에서 무한한 순서로 기능이 소멸되는 것을 슈워츠 함수의 R 공간인 S(R)로 식별할 수 있다.콤팩트 서포트의 부드러운 기능은 S(R)에 밀도 있고, 따라서^∞ C(T)의 1의 인접 지역에서 사라지는 부드러운 기능의 공간은 1의 모든 파생상품으로 사라지는 부드러운 기능의 공간에 밀도 있다.스톤-바이어스트라스 정리로는 A가 C₀(T\{1})에 균일하게 밀집되어 있다.따라서 h가 B에 있는 경우, 1, h 및 h'에서 파생상품과 함께 소멸되는 함수의 C¹(T)에서의 이상은 A의 함수에 의해 균일하게 근사하게 추정될 수 있다.따라서 A는 B에 밀집되어 있다.반면에 s ≤ 1/2일 경우 C¹(T)는 H_s(T)에 있다.To prove that A is dense in H_s(T), it therefore suffices to show it contains functions a_n(θ}}) and b_n(θ) tending to zero in Sobolev norm with a_n(0) = 0 vanishing at 1 and ∂_θa_n(0) = 1; and b_n(0) = 1 ad ∂_θb_n(0) = 0. Suitable functions are a_n(θ) = sin nθ / n and b_n(θ) = c_n(θ) / c_n(0) where c_n(θ) = Σ (1 − n⁻¹)^k cos kθ / k log k}}.^[9]

Poincaré ${\displaystyle \mathrm{보조정리부}v}$ d$u$ = d v {\$displaystyle$\star du=$dv}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle d}$ $du$ = $0${\$displaystydu=0}$일 때 로컬 솔루션 v를 가지고$$ 있다$.$

이후

${\displaystyle \star d\star =d^{*},}$

이는 Δ u = 0에 해당하며, 따라서 국부적 해결책이 존재한다.null

du는 0이 아니며 1-폼에서 Hodge 별 연산자의 제곱은 -1이므로 du와 dv는 반드시 선형적으로 독립적이므로 u와 v는 국부 등온 좌표를 부여한다.null

가우스 곡률

등온 좌표(u, v)에서 가우스 곡면성은 보다 단순한 형태를 취한다.

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\좌({\frac {\partial ^{2}\rho }}}{\partial u^{2}}}+{\partial ^{2}\partial v^{2}}\}\오른쪽).}$

참고 항목

• 등각도
• 리우빌 방정식
• 퀘이콘 형식 지도

메모들

참조

• Ahlfors, Lars V. (1952), "Conformality with respect to Riemannian metrics.", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I, 206: 1–22
• Ahlfors, Lars V. (1966), Lectures on quasiconformal mappings, Van Nostrand
• Bers, Lipman (1952), Riemann Surfaces, 1951–1952, New York University, pp. 15–35
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Partial differential equations, Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0049-3
• Chern, Shiing-shen (1955), "An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface", Proc. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 6 (5): 771–782, doi:10.2307/2032933, JSTOR 2032933
• DeTurck, Dennis M.; Kazdan, Jerry L. (1981), "Some regularity theorems in Riemannian geometry", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 14 (3): 249–260, doi:10.24033/asens.1405, ISSN 0012-9593, MR 0644518.
• do Carmo, Manfredo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, ISBN 0-13-212589-7
• Douady, Adrien; Buff, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des structures presque complexes. [Integrability theorem for almost complex structures], London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 274, Cambridge University Press, pp. 307–324
• Gauss, C.F. (1822), On Conformal Representation, translator Evans, H.P., pp. 463–475
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators I,Distribution theory and Fourier analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 256 (Second ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52345-6
• Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), An Introduction to Teichmüller spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-70088-9
• Korn, A. (1916), Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen, Schwarz Abhandlungen, pp. 215–219
• Lagrange, J. (1779), Sur la construction des cartes géographiques
• Lichtenstein, L. (1916), "Zur Theorie der konformen Abbildung", Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie Cl. Sci. Math. Nat. Sér. A: 192–217
• Morrey, Charles B. (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi:10.2307/1989904, JSTOR 1989904
• Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 4 (3 ed.), Publish or Perish, pp. 314–346
• Taylor, Michael E. (1996), Partial Differential Equations: Basic Theory, Springer-Verlag, pp. 376–378, ISBN 0-387-94654-3
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3

외부 링크

• "Isothermal coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]