단일 적분

수학에서 단일한 통합은 조화 분석의 중심이며 부분 미분 방정식의 연구와 밀접하게 연결되어 있다.일반적으로 말해서 단일 적분은 통합 연산자다.

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

커널 함수 K : Rⁿ×Rⁿ → R은 대각선 x = y를 따라 단수형이다.구체적으로는 K(x, y)가 x - y → 0과 같이 x - 점증적으로 x - y → 0의 크기인 것이 특이하다. 이러한 통합은 일반적으로 절대적으로 통합할 수 없을 수 있기 때문에, 엄격한 정의는 y - x > ε에 대한 적분 한계로 정의해야 하지만, 실제로는 이것이 기술성이라는 것이다.일반적으로^p L(Rⁿ)에 대한 경계성과 같은 결과를 얻기 위해서는 추가 가정이 필요하다.

힐베르트 변형

원형의 유일한 적분 연산자는 힐버트 변환 H이다.그것은 R에서 커널 K(x) = 1/(xx)에 대한 콘볼루션에 의해 주어진다.더 정확히 말하자면

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }\lim_{\barepsilon \to 0}\int_{x-y >\varepsilon }{\frac {1}{x-y}f(y)\,dy.}}$

이들 중 가장 직접적인 상위 차원 아날로그는 K(x) = 1/x를 로 대체하는 Riesz 변환이다.

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}:{n+1}{x}{x}}{x+1}:{\frac {x_}{x}}{x+}}}$

여기서 i = 1, …, n 및 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$는 R에서ⁿ x의 i번째 성분이다.이러한 연산자는 모두 L에^p 한정되어 있으며, 취약 유형(1, 1) 추정치를 만족한다.^[1]

콘볼루션 유형의 단일한 통합

콘볼루션 유형의 단일한 적분은 R\{0}에서 로컬로ⁿ 통합할 수 있는 커널 K로 콘볼루션에 의해 정의된 연산자 T이다.

${\displaystyle T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int_{y-x >\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.}$

(1)

커널이 다음을 만족한다고 가정합시다.

1. K의 푸리에 변환에 대한 크기 조건

   ${\displaystyle {\hat{K}\in L^{\ft }(\mathbf {R} ^{n})$

2. 부드러움 조건: 일부 C > 0의 경우,

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{x >2 y }K(x)-K(x) \,dx\leq C.}$

그런 다음, T가^p Lⁿ(R)에 경계되어 있고, 약형(1, 1) 추정치를 만족한다는 것을 알 수 있다.

속성 1. 기본값 적분으로 부여된 강화 분배 p.v. K와 함께 콘볼루션 (1)을 보장할 필요가 있다.

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim_{\^{+}\int_{x >\epsilon \}\phi(x)\,dx}$

L에서² 잘 정의된 푸리에 승수다.속성 1. 또는 2. 어느 것도 반드시 검증이 용이하지 않으며, 다양한 충분한 조건이 존재한다.일반적으로 응용 프로그램에서는 취소 조건도 있다.

${\displaystyle \int _{R_{1}< x <R_{2}}K(x)\,dx=0,\\ forall R_{1},R_{2}>0}$

쉽게 확인할 수 있는 방법이지예를 들어 K가 홀수 함수라면 그것은 자동이다.또한 2와 다음과 같은 크기 조건을 가정할 경우

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R< x <2R}K(x) \,dx\leq C,}$

그러면 1.이 뒤따른다는 것을 보여줄 수 있다.

부드러움 조건 2. 또한 원칙적으로 확인하기 어려운 경우가 많으며, 커널 K의 다음과 같은 충분한 조건을 사용할 수 있다.

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R}) ^{n}\setminus \{0\}}}$
• ${\displaystyle \nabla K(x) \leq {\frac {C}{ x ^{n+1}}}}$

힐버트 및 리에즈 변환에 대해 이러한 조건이 충족되는지 관찰하십시오. 따라서 이 결과는 해당 결과의 확장이다.^[2]

비콘볼루션 유형의 단일 통합

이들은 훨씬 더 일반적인 운영자들이다.그러나, 우리의 가정은 매우 약하기 때문에, 이러한 연산자가 반드시^p L에 한정되어 있는 것은 아니다.

칼데론-지그문트 커널스

K : Rⁿ×Rⁿ → R 함수는 일부 상수 C > 0과 Δ > 0에 대해 다음과 같은 조건을 만족하면 칼데론-지그문트 커널이라고 한다.^[2]

1. ${\displaystyle K(x,y) \leq {\frac {C}{x-y ^{n}}}}}$

2. ${\displaystyle K(x,y)-K(x',y) \leq {\frac {C x-x' ^{\delta }}{{\bigl (} x-y + x'-y {\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }} x-x' \leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (} x-y , x'-y {\bigr )}}$

3. ${\displaystyle K(x,y)-K(x,y') \leq {\frac {C y-y' ^{\delta }}{{\bigl (} x-y + x-y' {\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }} y-y' \leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (} x-y' , x-y {\bigr )}}$

비콘볼루션 유형의 단일 통합

T는 다음과 같은 경우 칼데론-지그문트 커널 K와 관련된 비콘볼루션 유형의 단일한 통합 연산자라고 한다.

${\displaystyle \int g(x)T(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

f와 g가 매끄럽고 공동 지지대가 있을 때마다.^[2]이러한 연산자는 L에^p 대한 경계를 지정할 필요가 없다.

칼데론-지그문트 연산자

칼데론-자이그문트 커널 K와 연관된 비콘볼루션 타입 T의 단일한 적분은 L에² 경계, 즉 C > 0이 있을 때 칼데론-자이그문트 연산자라고 불린다.

${\displaystyle \ T(f)\ _{L^{2}}\leq C\f\ _{L^{2}},}$

모든 부드럽게 지지되는 ƒ에 대하여.

실제로 그러한 연산자는 1 < p < ∞>로 모든 L에^p 경계되어 있다는 것을 증명할 수 있다.

T(b) 정리

T(b) 정리는 칼데론-지그문트 연산자가 될 수 있는 충분한 조건을 제공하며, 이는 칼데론-지그문트 커널과 관련된 단일 적분 연산자가 L에² 경계하도록 하는 것이다.결과를 진술하기 위해서는 먼저 몇 가지 용어를 정의해야 한다.

정규화된 범프는 반경 10의 볼에서 지지되고 모든 다중 지수 α α α n + 2에 대해 ^αfor φ(x) ≤ 1이 되도록 원점에서 중심을 맞춘 부드러운ⁿ 함수 φ이다.τ^x(φ)(y) = φ(y - x) 및 φ_r(x) = rφ⁻ⁿ(x/r)로 표시한다ⁿ.연산자는 다음과 같은 상수 C가 있으면 약하게 경계한다고 한다.

${\displaystyle \왼쪽 \int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}{\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\dy\right \leq Cr^{-n}}}$

모든 정규화된 범프 φ 및 ψ.함수는 R에서 모든 x에 대해 Re(b)(x) ≥ c와 같은 c > 0의 상수가 있을 경우 발생한다고 한다.곱셈에 의해 주어진 연산자를 함수_b b로 나타낸다.

T(b) 정리는 칼데론-지그문트 커널과 관련된 단일한 적분 연산자 T가 어떤 한정된 악센트 함수 b와₁ b에₂ 대해 다음의 세 가지 조건을 모두 만족하면 L에² 경계한다고 명시한다.^[3]

1. ${\$$2$$TM_{b_{1}}$이(가) 약하게 경계됨;
2. ${\displaystyle T({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle T(b_{1})$가 BMO에 있음;
3. ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$는 BMO에 있으며, 여기서 T는^t T의 전치 연산자다.

참고 항목

• 닫힌 곡선의 단일 적분 연산자

메모들

참조

• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1952), "On the existence of certain singular integrals", Acta Mathematica, 88 (1): 85–139, doi:10.1007/BF02392130, ISSN 0001-5962, MR 0052553, Zbl 0047.10201.
• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1956), "On singular integrals", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 78 (2): 289–309, doi:10.2307/2372517, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372517, MR 0084633, Zbl 0072.11501.
• Coifman, Ronald; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 48, Cambridge University Press, pp. xx+315, ISBN 0-521-42001-6, MR 1456993, Zbl 0916.42023.
• Mikhlin, Solomon G. (1948), "Singular integral equations", UMN, 3 (25): 29–112, MR 0027429 (러시아어로)
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83, Oxford–London–Edinburgh–New York City–Paris–Frankfurt: Pergamon Press, pp. XII+255, MR 0185399, Zbl 0129.07701.
• Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular Integral Operators, Berlin–Heidelberg–New York City: Springer Verlag, p. 528, ISBN 0-387-15967-3, MR 0867687, Zbl 0612.47024, (유럽판:ISBN 3-540-15967-3).
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Mathematical Series, vol. 30, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. XIV+287, ISBN 0-691-08079-8, MR 0290095, Zbl 0207.13501

외부 링크

• Stein, Elias M. (October 1998). "Singular Integrals: The Roles of Calderón and Zygmund" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 45 (9): 1130–1140.