일본식 순환 다각형 정리

기하학에서 일본 정리는 주기적인 다각형을 아무리 삼각측량해도 삼각형의 인라디움의 합은 일정하다고 기술하고 있다.^{[1]: p. 193}

녹색 원 반지름의 합 = 빨간색 원 반지름의 합

반대로 inradii의 합이 삼각측량과는 독립적이라면, 다각형은 순환적이다. 일본의 정리는 카르노의 정리로부터 따온 것이다; 그것은 산가쿠 문제다.

증명

이 정리는 특별한 경우를 먼저 증명함으로써 증명할 수 있다: 한 개의 주기적인 4각형을 아무리 삼각형이라도, 삼각형의 인라디움의 합은 일정하다.

정삼각형 사례를 입증한 후, 순환 다각형 정리의 일반적인 경우는 즉각적인 코롤리(cyclic Polygon)이다. 4각형 규칙은 주기적 다각형의 일반 칸막이의 4각형 구성요소에 적용할 수 있으며, 하나의 대각선을 "플립"하는 규칙을 반복적으로 적용하면 주어진 칸막이로 가능한 모든 칸막이가 생성되며, 각각의 "플립"은 inradii의 합을 보존한다.

4각형은 주기적인 4각 측정에 대한 일본 정리의 단순한 확장에서 따온 것으로, 이는 사각형이 4각의 가능한 두 삼각형에 해당하는 두 쌍의 인센티브에 의해 형성된다는 것을 보여준다. 이 정리의 단계들은 기본적인 건설적인 유클리드 기하학 이상의 어떤 것도 요구하지 않는다.^[2]

대각선과 평행하고, 인센티브자의 사각형 모서리에 접하는 측면을 갖는 평행사변형의 추가 구성으로, 주기적 다각형 정리의 사각형 케이스는 몇 단계로 증명할 수 있다. 두 쌍의 반지름 합계의 동일성은 구성된 평행사변형이 rhombus라는 조건과 동일하며, 이는 시공에서 쉽게 나타난다.

윌프레드 레이예스(2002년)^[3] 때문에 4면체 사건의 또 다른 증거가 있다. 그 증명에서, 주기적인 4변측정감시(schyclic squadramety)에 대한 일본적 정리와 주기적인 다각형 정리의 4변형 사건 모두 테보트의 문제 III의 결과로 증명된다.

참고 항목

• 위의 정리를 증명하는 데 쓰이는 카르노의 정리.
• 등심 정리
• 원에 대한 접선

메모들

참조

• 클라우디 알시나, 로저 B 넬슨: 수학 아이콘: 20개의 주요 이미지 탐험. MAA, 2011, ISBN 9780883853528, 페이지 121-125
• Wilfred Reyes: Thebault의 정리 적용. 포럼 기하학, 2002, 제2권, 페이지 183–185

외부 링크

• 망호 아후자, 우에가키 와타루, 마쓰시타 가요: 일본정리를 찾아서
• 일본식 정리
• C.A.R. 웹사이트에서 일본 정리 쌍방향 시연
• 우에가키 와타루=일본의 정리 のの源と"""""(일본정리의 기원과 역사에 대하여) http://hdl.handle.net/10076/4917