원에 대한 접선

유클리드 평면 기하학에서 원과 접선하는 선은 원의 내부에 결코 들어가지 않고 정확히 한 지점에서 원에 닿는 선이다. 원을 그리기 위한 접선들은 몇 가지 이론의 주제를 형성하며, 많은 기하학적 구조와 교정에서 중요한 역할을 한다. P 지점에서 원에 대한 접선선은 그 지점까지의 반지름에 수직이기 때문에 접선과 관련된 이론은 종종 방사선과 직교 원을 포함한다.

한 원에 대한 접선

원 C에 대한 접선 t는 단일 점 T에서 원을 교차한다. 비교를 위해, 두 점에서 두 개의 원과 교차하는 반면, 다른 선은 원을 전혀 교차하지 않을 수 있다. 접선 선의 이 특성은 메스, 회전, 번역, 반전 및 지도 투영과 같은 많은 기하학적 변환 하에서 보존된다. 기술 언어에서 이러한 변환은 선과 원이 변형될 수 있더라도 접선 선과 원의 발생 구조를 바꾸지 않는다.

원의 반지름은 원의 둘레에 있는 끝점을 통해 접선 선에 수직이다. 반대로, 같은 끝점을 통과하는 반지름에 수직인 것은 접선이다. 원과 접선의 결과 기하학적 도형은 반지름 축에 대한 반사 대칭을 가진다.

어떤 접선도 원 내의 점을 통해 그릴 수 없으며, 그러한 선은 반드시 제2의 선이어야 하기 때문이다. 그러나 두 개의 접선선은 원 바깥의 P 지점에서 원형으로 그릴 수 있다. 원과 양쪽 접선선의 기하학적 도형은 마찬가지로 원의 중심점 O에 P를 접합하는 방사형 축에 대한 반사 대칭을 가진다. 따라서 P에서 접선점 두 개까지의 세그먼트의 길이는 동일하다. 이차 접선 정리에 의해 이 접선 길이의 제곱은 원 C에 있는 점 P의 힘과 같다. 이 힘은 P에서 P를 통과하는 두 개의 교차점까지의 거리의 곱과 같다.

접선 t와 접선 지점 T는 서로 결합 관계를 가지는데, 이는 극점 및 극점 개념으로 일반화되었다. 원 외부의 점 P와 그것의 두 접선점을 연결하는 점선 사이에 동일한 호혜 관계가 존재한다.

점 P가 중심 O가 있는 원 외부에 있고, 점 T와 S에서 P로부터의 접선선이 원에 닿으면, ∠TPS와 ∠TOS는 보충(sum 180°)된다.

외부 지점 P와 ∠PTM의 접선점 T에서 코드 TM을 90°로 그릴 경우 ∠PTM = (1/2)∠톰.

좌표가 있는 접선 선의 방정식

Suppose that the equation of the circle is ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$ with center at ${\displaystyle (a,b)}$. Then the tangent line of the circle at ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ is

${\displaystyle (x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0}$

이것은 원의 암묵적 파생물을 취함으로써 증명할 수 있다.

나침반 및 직선 구조

원의 원주 T 지점에서 원에 접하는 선 t를 구성하는 것은 비교적 간단하다.

• 선 a는 원의 중심인 O에서 방사형 점 T를 통해 그려진다.
• 선 t는 a에 대한 수직선이다.

탈레스의 정리는 C 원의 외부 지점 P에 접선선을 구성하는 데 사용될 수 있다.

• 원은 직경 OP를 갖는 선 세그먼트 OP의 중간점을 중심으로 그려지며, 여기서 O는 다시 원 C의 중심이다.
• 원 C와 새 원의₁ 교차점₂ T와 T는 다음 인수에 의해 P를 통과하는 선의 접선점이다.

선 세그먼트 OT와₁ OT는₂ 원 C의 반지름이다. 둘 다 반원형으로 새겨져 있기 때문에 선 세그먼트 PT와₁ PT에₂ 각각 수직이다. 그러나 접선만이 방사선과 수직이다. 따라서 P에서 T와₁ T를₂ 통과하는 두 선은 C 원에 접한다.

직선자만 사용하여 원 외부의 점 P에 접선선을 구성하는 다른 방법:

• 원을 두 번 교차하는 지정된 점 P를 통해 세 개의 다른 선을 그린다.
• $A{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$C 1, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$C 2 ${\${1},C_${2$}}을 같은$$ 선에 해당하는 문자와 P에 가까운 점에 해당하는 지수 1을 교차점으로 한다.
• D는 선 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}B_${2$}}과$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$1}이 교차하는$$ 지점,
• $마찬가지$로 B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} 및 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{1} 선에 대한 E$.$
• D와 E를 통하여 선을 긋는다.
• 이 선은 F와 G 두 지점에서 원을 만난다.
• 접선은 PF와 PG 선이다.^[1]

해석 기하학 포함

$P{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$ P$=(a,b)}$을(를) x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{2}+y^{2$}와(를) 함께 원의 점이 되게 한다$$.$}}=r^{2$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 접선에는$$ ${\displaystyle \mathrm{등식}}$이 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle ax+by=r^{2$ P ${\\displaystyle P}$이(${\displaystyle 가}$) 곡선 및 $O{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{P}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\bc{\vec}=(a,$b)^{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}.$T}}$은 선의 정상적인 벡터다. 접선은 P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0)$에서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {축}_{}}$을 x 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}로$$ 교차한다$.$

Conversely, if one starts with point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0)}$, than the two tangents through ${\displaystyle P_{0}}$ meet the circle at the two points ${\displaystyle P_{1/2}=(a,b_{\pm })}$ with

${\displaystyle a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}\quad }$. Written in vector form:

${\displaystyle {\binom {a}{b_{\pm }={\frac {r^{0}{0}}{\binom {1}{0}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}{0}}}{0}}}}}{\binom {0}{0}{1}:{1}:{1}.}}}}}}}}}}}}.$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}}})$가 x 축에 있지$$ 않은 경우: 벡터 형식에서 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 d ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle x\sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}_{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ 0 ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ $d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0$}}}의$$ 거리로 대체한다.$}^{2}}}\ }$ and the unit base vectors by the orthogonal unit vectors ${\displaystyle \ {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}\ }$. 그런 다음 P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 지점을 통과하는 접선이 원을 터치하십시오$$.

${\displaystyle {\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}\ .}$

< ${\displaystyle d_{0}<r}$의 경우 접선이 존재하지 않는다.
$d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d_{0}=r}$$포인트$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$$displaystyle$ $P_{0}}}}{$$0}y_{0}y=r^{2$}}: ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ = 2$$이 $있는{\displaystyle {}_{}}$ 접선 하나만 있다$$$.$
> ${\displaystyle d_{0}}>r}$의 경우 ${\displaystyle {방정식\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$x + ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ = r 2 ${\$\$x_{1}x+y_{1}y=r^{2$}, $x_{2$}x$+y_{2}y=r^{2$

${\displaystyle {원\mathrm{}}_{}}$ 반전 관련: x 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$원 반전$$ 점$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $){\displaystyle (x_{0,0$을 설명한다.

극과 극과의 관계: 점의 극성$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle(x_{0},0})$에는 ${\displaystyle {방정식\mathrm{}}_{}}$ x 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle xx_{0}=r^{2$}}개가 있다$$$.$

접선 다각형

접선 다각형은 각 면이 특정 원에 접하는 다각형으로, 그 근방이라고 한다. 모든 삼각형은 접선 다각형이며, 모든 변수의 정규 다각형이 그러하듯이, 또한 모든 다각형 변수에 대해 무한히 많은 비접선 접선 다각형이 있다.

접선 사각 정리 및 내접 원

접선 사각형 ABCD는 주어진 원 C에 접하는 4개의 직선으로 이루어진 닫힌 형상이다. 이와 동등하게, C원은 4면 ABCD에 새겨져 있다. 피토 정리(Pitot organization)에 따르면, 그러한 4각형의 반대편의 합은 같다. 즉,

${\displaystyle {\overline {AB}+{\overline {CD}={\overline {BC}+{\overline {DA}}.}$

이 결론은 4각형의 네 꼭지점에서 접선 부분의 동일성에서 나온다. 접선점을 P(세그먼트 AB), Q(세그먼트 BC), R(세그먼트 CD) 및 S(세그먼트 DA)로 표시하도록 한다. ABCD의 각 지점에 대한 대칭 접선 세그먼트는 동일하다. 예를 들어 BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d, AS=AP=a. 그러나 사각형의 각 면은 두 개의 접선 부분으로 이루어져 있다.

${\displaystyle {\overline {AB}+{\overline {CD}=(a+b)+(c+d)={\overline {BC}+{\overline {DA}=(b+c)+(d+a)}}$

정리 증명

반대되는 것은 또한 사실이다: 원은 모든 4각형에 새겨질 수 있다. 이 원은 반대편의 길이가 같은 값에 합치된다.^[2]

이 정리와 그 반대는 다양한 용도를 가지고 있다. 예를 들어, 사각형이 아닌 한 사각형이 새겨진 원을 가질 수 없으며, 모든 사각형에는 새겨진 원이 있는 반면 일반 평행사변형은 그렇지 않다는 것을 즉시 보여준다.

원 두 개에 대한 접선

두 원의 경우 일반적으로 두 원이 서로 바깥쪽에 있는 경우(비방전) 양쪽 모두에 접하는 네 개의 구별되는 선이 있지만, 퇴화한 경우에는 0과 4비방전선 사이에 숫자가 있을 수 있다. 이러한 선은 아래에 설명되어 있다. 이 중 두 개의 외부 접선에는 원들이 선의 같은 면에 떨어지고, 다른 두 개의 경우 내부 접선 선에는 원들이 선의 반대 면에 떨어진다. 외부 접선 선은 외부 동선 중심에서 교차하는 반면, 내부 접선 선은 내부 동선 중심에서 교차한다. 외부와 내부의 동음이의 중심은 모두 중심선(두 원의 중심을 연결하는 선)에 놓여 있는데, 작은 원의 중심과 더 가까운 곳에 있다: 내부 중심은 두 원 사이의 구획에 있는 반면, 외부 중심은 작은 원의 중심 사이에 있는 것이 아니라 바깥쪽에 있다.원을 그리다 두 원의 반지름이 같을 경우, 여전히 네 개의 비탄젠트가 존재하지만 외부 접선 선은 평행하고 아핀 평면에 외부 중심은 없다. 투영 평면에서 외부 동음이의 중심은 이들 선의 기울기에 해당하는 무한의 지점에 놓여 있다.^[3]

외부 접선

점$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (x_{3},y_{3}}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$y ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (x_{4},y_{4}}})$과 결합하는 빨간색 선은 두 원 사이의 바깥쪽 접선이다$$. Given points ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ the points ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, ${\displaystyle (x_{4},y_{4})}$ can easily be calculated with help of the angle ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}}$

여기서 R과 r은 두 원의 반지름과 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 기본 삼각법을 사용하여 계산할 수 있다$$. You have ${\displaystyle \alpha =\gamma -\beta }$ with ${\displaystyle \gamma =-\arctan \left({\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)}$ and ${\displaystyle \$$베타 =\pm \arcsin \left({\tfrac {R-r}{\sqrt{(x_{2}-x_{1}}^{2}+(y_${1}-$y_{1}^{1}}}{$2}}\$right$ .

내부 접선

내부 접선은 두 원의 중심을 연결하는 세그먼트를 교차하는 접선이다. 두 원이 겹치는 경우에는 내부 접선이 정의되지 않는다는 점에 유의하십시오.

건설

비탄젠트 선은 위에서 설명한 방법 중 하나로 동심 중심부를 구성한 다음, 한 원에 접하는 동심 중심을 통해 접선을 구성함으로써 둘 중 하나를 구성할 수 있다. 그러면 결과 선은 다른 원에도 접하게 된다. 또는 접선 선과 접선 지점을 보다 직접적으로 구성할 수 있다(아래에 자세히 설명되어 있다. 퇴보하는 경우 이러한 구조는 분해된다는 점에 유의하십시오. 설명을 단순화하기 위해 이 절에서는 설명되지 않지만, 구조의 한 형태는 제한적인 경우(예: 한 지점에 접하는 두 개의 원)에서 작동할 수 있다.

합성 기하학

O와₁ O를₂ C와₁ C₂ 두 원의 중심이 되게 하고 r과₁₁ r을₂ r > r과₂ 함께 r과 r을 그들의 반지름으로 한다. 즉, C 원을₁ 두 원 중 더 큰 것으로 정의한다. 외부 및 내부 접선 라인을 구성하기 위해 두 가지 다른 방법을 사용할 수 있다.

외부 접선

반지름₁ r - r의₂ 새로운 원 C가₃ O를₁ 중심으로 그려진다. 위의 방법을 사용하여 이 새로운 원과 접하는 O로부터₂ 두 개의 선이 그려진다. 이 선들은 원하는 접선 선과 평행하며, 상황은 C를₂ 한 점으로 수축시키는 일정한 양, r만큼₂ 원 C와₁ C 둘₂ 다 수축하는 것에 해당하기 때문이다. 중심 O에서₁ C의₃ 접선 지점을 통해 두 개의 반지름 선을 그릴 수 있다. 이러한 선은 원하는 접선 지점에서 C를₁ 교차한다. 원하는 외부 접선 선은 위에서 설명한 대로 구성될 수 있는 접선 지점에서 이러한 방사형 선에 수직인 선입니다.

내부 접선

반지름₁ r + r의₂ 새로운 원₃ C가₁ O를 중심으로 그려진다. 위의 방법을 사용하여 이 새로운 원과 접하는 O로부터₂ 두 개의 선이 그려진다. 이 선들은 원하는 접선 선과 평행하며, 상황은 C를₁ 일정한 양만큼 확장하는 동안 한 점으로 C를₂ 수축시키는 것에 해당하기 때문이다₂, r 중심 O에서₁ C의₃ 접선 지점을 통해 두 개의 반지름 선을 그릴 수 있다. 이러한 선은 원하는 접선 지점에서 C를₁ 교차한다. 원하는 내부 접선 선은 위에서 설명한 대로 구성될 수 있는 접선 지점에서 이 반경 선에 수직인 선입니다.

해석 기하학

원의 중심 c₁ = (x₁,y₁) 및 c₂ = (x₂,y₂)를 각각 반지름 r과₁ r과₂ 함께 갖도록 한다. ${\displaystyle \mathrm{정규화}}$ a² +${\displaystyle }$b² ${\displaystyle y}$+ c${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle ax+by+c=0,}$ 등식으로 선을 표현하면 b = 1을 정규화하면$$ 비트엔젠트 라인이 다음을 만족한다.

축₁ + by₁ + c = r₁ 및

도끼₂₂ + by₂ + c = r.

두 번째 수율에서 첫 번째 수율을 빼서$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle(a,b,c)}$에 대한 해결

Δx + Δy = Δr

여기서 Δx = x₂ - x₁, Δy = y₂ - y₁, Δr = r - r₂₁.

If ${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ is the distance from c₁ to c₂ we can normalize by X = Δx/d, Y = Δy/d and R = Δr/d to simplify equations, yielding the equations aX + bY = R and a² + b² = 1, solve these to get two solutions (k = ±1) for the two external tangent lines:

a = RX − kY√(1 − R²)

b = RY + kX√(1 − R²)

c = r₁ − (ax₁ + by₁)

기하학적으로 이것은 접선 선과 중심선에 의해 형성된 각도를 계산한 다음, 그것을 이용하여 중심선에 대한 방정식을 회전시켜 접선선에 대한 방정식을 산출하는 것에 해당한다. 각도는 정점이 (외부) 호모티틱 중심, 원의 중심, 접선점인 직삼각형의 삼각함수를 계산하여 계산한다. 하이포텐스는 접선선에, 반경은 각도에, 인접한 쪽은 중심선에 있다.

(X, Y)는 c에서₁ c로₂ 가리키는 단위 벡터인 반면, R은 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$θ {\$displaystyle \cos \theta }$이고, 여기서$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$은 중심선과 접선선선 사이의 각도다. ${\displaystyle \sin \theta }$ is then ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-R^{2}}}}$ (depending on the sign of ${\displaystyle \theta }$, equivalently the direction of rotation), and the above equations are rotation of (X, Y) by ${\displaystyle \pm \theta ,}$ using the rotation matrix:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&\mp {1-R^{2}}\\pm {1-R^{2}}\\\sqrt{1-R^}&R\end{pmatrix}}}}}}$

k = 1은 c에서₁ c로₂ 보는 원의 오른쪽에 있는 접선선이다.

k = -1은 c에서₂ c로₁ 보는 원의 오른쪽 접선이다.

위의 내용은 각 원의 반지름이 양의 반지름을 갖는다고 가정한다. r이₁ 양이고 r₂ 음이면 c가₁ 각 선의 왼쪽에 놓여 있고 c가 오른쪽에₂ 놓여 있고, 두 접선 선이 교차한다. 이렇게 해서 네 가지 해결책이 모두 얻어진다. 반지름 스위치 k = 1 및 k = -1의 스위칭 기호.

벡터

일반적으로 중심 v와₁ v₂ 및 반지름 r과₁ r이₂ 있는 두 개의 원과 접하는 네 개의 선에 대한 접선₁ t와₂ t의 점은 동시 방정식을 풀어서 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$

이러한 방정식은 t ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$에 평행한 접선선이 반지름에 수직이며$$ 접선점이 각 원 위에 있음을 나타낸다.

이것들은 2차원 벡터 변수에 있는 4개의 2차 방정식이며, 일반적인 위치에서는 4쌍의 해법이 있을 것이다.

퇴보 사건

두 개의 뚜렷한 원은 구성에 따라 0에서 4개의 이탄젠트 선을 가질 수 있다. 이 선들은 중심과 반지름 사이의 거리에 따라 분류될 수 있다. 다중성(공통 접선 두 번 카운트)으로 계산하면 0, 2 또는 4개의 이탄젠트 선이 있다. 또한 반경이 음수 또는 0인 원에도 비탄젠트 선을 일반화할 수 있다. 퇴행된 사례와 승수는 다른 구성의 한계, 예를 들어 거의 만지고 한 원이 닿도록 움직이는 두 원의 한계, 또는 반경이 작은 원은 0 반지름의 원으로 축소되는 원 등의 측면에서 이해할 수 있다.

• 원들이 일반적인 위치인 서로 바깥쪽에 있는 > 1 + 2 ${\displaystyle$d$>r_{1}+r_{2$}}).
• 한 지점(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 외부 접선 지점이 1개 있는 경우, 외부 접선 지점 2개와 내부 접선 1개, 즉 공통 접선선이 있다. 이 공통 접선 선은 방향(방향)에 대해 원(왼쪽에 하나, 오른쪽 하나)을 분리하기 때문에 다중성 2가 있다.
• 원들이 두 점( - < >+ (\$displaystyle r_{1}-r_{$2} <$d<r_{1}+r_{2}}>)$으로 교차하는 경우, 원들은 내부 비트엔젠트가 없고 외부 비트엔젠트 2개(이들은 교차하기 때문에 분리될 수 없으므로 내부 비트엔트가 없다.
• 원들이 한 지점${\displaystyle (}$ = ${\displaystyle r{}_{}{}_{}}$ - ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ d=$r_{1}-r_{$2} $\}$ )에서 내부 접선점을 갖는 경우, 위와 같이 내부 접선점이 없고 하나의 외부 접선(일반 접선 선)이 있다.
• 한 원이 다른 원 안에 완전히 있으면(< - $displaystyle d< r_{1}-r_{2}$ 비탕트가 없는데, 이는 외부 원과의 접선 선이 내부 원과 교차하지 않거나 반대로 내부 원과의 접선 선이 외부 원과의 두 번째 선이기 때문이다.

마지막으로, 두 원이 동일하다면, 원에 닿는 모든 접선은 공통 접선이고 따라서 (외부) 이탄젠트이기 때문에 원의 가치가 있다.

또한, 비탄젠트 선의 개념은 음의 반지름(점들의 같은 위치, x${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ + y${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$( -${\displaystyle {}^{}r}$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=(-r)^{2}}},$ "inside out"으로$$ 간주됨)으로 확장될 수 있으며, 이 경우 반경이 반대 기호(한 원은 음의 경우, 다른 원은 양의 반지름을 갖는 경우)로 간주된다.알 및 내부 동음이의 중심과 외부 및 내부 비트엔젠트가 교환되는 반면, 라디아가 동일한 부호(양성 반지름 또는 음성 반지름 모두)를 갖는 경우 "외부"와 "내부"는 동일한 통상적인 감각을 갖는다(하나의 부호가 그것들을 전환하므로 두 부호 모두 전환한다.

두 원 중 하나 또는 둘 다 반지름이 0인 경우에도 비탄젠트 선을 정의할 수 있다. 이 경우 반지름이 0인 원은 이중 점이며, 따라서 그 점을 통과하는 선은 다중성 2와 교차하므로 "접선"이다. 하나의 원이 반지름 0을 갖는 경우, 이탄젠트 선은 단순히 원에 접하고 점을 통과하는 선이며, 다중성 2로 계산된다. 두 원이 모두 반지름 0을 갖는 경우, 이중선(bitangent line)은 그들이 정의하는 선이며, 다중성 4로 계산된다.

이러한 퇴행적인 경우에서 외부와 내부 동심원은 일반적으로 존재한다는 점에 유의하십시오(반경이 같을 경우 외부 중심은 무한하다). 단, 원이 일치하거나, 외부 중심이 정의되지 않거나, 두 원이 모두 반지름 0을 갖는 경우, 내부 중심은 정의되지 않는다.

적용들

벨트 문제

내부와 외부의 접선 라인은 벨트 문제를 해결하는 데 유용하며, 두 개의 풀리 위에 잘 맞는 데 필요한 벨트나 로프의 길이를 계산하는 것이다. 벨트가 무시할 수 있는 두께의 수학적 선으로 간주되고, 두 도르래가 정확히 동일한 평면에 놓여 있다고 가정하는 경우, 문제는 벨트가 소분하는 원형 호의 길이로 관련 접선 부분의 길이를 합산하는 것이다. 벨트를 휠에 감아 교차하도록 하는 경우 내부 접선 세그먼트가 관련된다. 반대로 벨트를 풀리 바깥쪽으로 감으면 외부 접선 부분과 관련이 있다. 이 경우를 풀리 문제라고도 한다.

원 세 개에 접선: 몽에의 정리

C₁, C, C가₂₃ 나타내는 3개의 원에는 3쌍의 원(CC₁₂, CC₂₃, CC₁₃)이 있다. 각 한 쌍의 원은 두 개의 동심원을 가지고 있기 때문에, 모두 여섯 개의 동심원을 가지고 있다. Guffard Monge은 19세기 초에 이 6개의 점이 4줄에 놓여 있다는 것을 보여주었는데, 각 선에는 3개의 선(colinear)

아폴로니우스의 문제

아폴로니우스 문제의 많은 특별한 경우들은 하나 이상의 선에 접하는 원을 찾는 것을 포함한다. 이들 중 가장 간단한 것은 주어진 세 줄에 접하는 원(LLL 문제)을 구성하는 것이다. 이 문제를 해결하기 위해, 그러한 원의 중심은 어떤 선 쌍의 각도 이등분선에 놓여져야 한다; 두 선의 모든 교차점에 대해 두 개의 각도 이등분선이 있다. 이러한 각도 이등분자의 교차점은 솔루션 원의 중심을 제공한다. 이러한 원은 일반적으로 4개의 원이 있는데, 세 개의 선이 교차하여 형성된 삼각형의 새겨진 원과 세 개의 분리된 원이다.

일반적인 아폴로니우스 문제는 하나의 원과 두 개의 평행선에 접하는 원의 단순한 문제(그 자체로 LLC 특수 사례의 특별한 경우)로 변형될 수 있다. 이를 위해서는 주어진 원 세 개 중 두 개만 만지면 된다. 즉, 접선이 될 때까지. 적절한 반지름의 원과 관련하여 접선점의 역전은 주어진 두 개의 원들을 두 개의 평행선으로 바꾸고, 세 번째 원은 다른 원으로 바꾼다. 따라서 두 평행선 사이에 일정한 반지름을 가진 원을 변환된 제3 원과 접촉할 때까지 미끄러짐으로써 해결책을 찾을 수 있다. 재반전은 원래의 문제에 상응하는 해결책을 만들어낸다.

일반화

하나 이상의 원들에 대한 접선 선의 개념은 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다. 첫째, 접선과 접선의 결합 관계를 극점과 극선까지 일반화할 수 있는데, 극점은 원의 원주뿐 아니라 어디에도 있을 수 있다. 둘째, 두 원의 결합은 사분면 곡선의 특수한 (축소 가능한) 경우로, 외부 및 내부 탄젠트 선은 이 사분면 곡선의 이탄젠트다. 일반 사분위수 곡선에는 28개의 이탄젠트가 있다.

세 번째 일반화는 접선보다는 접선 원을 고려한다; 접선선은 무한 반경의 접선 원으로 간주될 수 있다. 특히 두 원으로의 외부 접선 선은 내부 또는 외부적으로 양쪽 원과 접선되는 원 계열의 경우를 제한하고, 내부 접선 선은 두 원 중 하나에 접선되고 외부 접선되는 원 계열의 경우를 제한하고 있다.^[5]

뫼비우스나 반전 기하학에서는 선을 "무한도" 지점을 통해 원으로 보고, 어떤 선과 어떤 원에 대해서도 뫼비우스의 변형이 있어 하나를 다른 선에 매핑한다. 뫼비우스 기하학에서 선과 원 사이의 접선은 두 원 사이의 접선의 특별한 경우가 된다. 이 등가성은 Lie 구체 기하학에서 더 확장된다.

반지름과 탄젠트 선은 원의 한 지점에서 수직이고, 쌍곡선-직교 단위는 하이퍼볼라 단위의 한 지점에서 직각이다. 반지름 벡터를 통한 장치 하이퍼볼라의 파라메트릭 표현은 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle }$a )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p(a)\\\ (\cosh$ a$,\sinh$a)이다$.$$}$ p(a)의 접선 방향으로 p(a) 점의 파생상품은 d $p{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{}{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{inh}h}$ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \cosh }$ a${\displaystyle }$)이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\frac{da}}}\(\sinh$ a$,\cosh a).$$}}$ 반경$$ 및 탄젠트는 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{이후}}$ ${\displaystyle \text{a}}$에서 쌍곡직교하며 ${\displaystyle d\frac{}{}}$ p ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\$은(는) 하이퍼볼라 단위 y=x의 점근에서 서로 반사한다. 분할 복합 숫자(${\displaystyle j}$ = +1)로 해석될 때, 두 $숫자$는 j ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$a )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{d}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$. . . ${\displaystyle jp(a)\\\\\\frac {dp}{da}}$을(를) 만족한다.$}$

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Tangent lines to one circle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Tangent lines to two circles". MathWorld.