카나다키스 와이불 분포

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②-Weibull 분포

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	$\displaystyle 0 <\kappa < 1 }$ > \ $displaystyle \alpha$> $0$} 레이트셰이프(실제) β> \ $displaystyle$ \ $displaystyle$> $0$}환율(실제)
지지하다	$(\displaystyle x\in [0,+\infty])$
PDF	$({displaystyle {\frac\frac x^{\alpha -1}}{\fracrt {1+\kappa ^{2}\facebook ^{2\alpha}}}}\exp _{\kappa }(-\frac x^{\alpha })})$
CDF	$(\displaystyle 1-\exp _{\kappa }(-\display x^{\alpha })}$
양분위수	$\displaystyle \beta ^{-1/\alpha}{\Bigg [}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa}}}}{\Bigg}}}{1/\Bigg}}}}$
중앙값	${\displaystyle ^{-1/\alpha}{\bigg (}\ln _{\kappa }(2){\Bigg}^{1/\alpha }}$
모드	$\displaystyle \beta ^{-1/\alpha }{\Bigg(}{\frac {2}+2\kappa ^{2}(\alpha - 1)}{2\kappa ^{2}}{\sqrt {1+\frac4\kappa ^{2}({2})^{2})$
모멘트의 방법	${\displaystyle {{\kappa \beta}^{-m/\alpha}}{1+\kappa{\alpha}}}{\frac {1}{2\kappa}}-{\frac {ma}{2\alpha}}}{\gama}}{1+\kappa}}}}{\gama}}}{\gama}}}}{{{{{\gama}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{$

Kaniadakis Weibull 분포(또는 δ-Weibull 분포)는 Weibull ^[1][2]분포의 일반화로서 발생하는 확률 분포입니다.이것은 Kaniadakis의 분포의 한 예입니다.γ-Weibull 분포는 지진학, 경제학, 역학 등의 다양한 복잡한 시스템을 기술하는 데 성공했다.

정의들

확률밀도함수

카니아다키스 δ-Weibull 분포는 멱함수 오른쪽 꼬리를 나타내며 다음과 같은 확률 밀도 ^[3]함수를 가집니다.

${\displaystyle f_{\kappa }}(x)=parc frac {\parc x^{\alpha -1}{\parcrt {1+\kappa ^{2}\parc ^{2\alpha }}}}\exp _{\kappa }(-\parcala x^{\kappa })$

x${\displaystyle 0}$ 0$({displaystyle$ x$\geq$0$\})$에 유효합니다.서 $({displaystyle \kappa < 1$)은 Kaniadakis 엔트로피, >({$displaystyle \beta >0$$}$은 스케일 파라미터, >({$displaystyle \alpha$ >$0})$은 형상 파라미터 또는 Weibulus)입니다.

Weibull 분포는 ${\displaystyle \mathrm{\kappa }}$ ${\displaystyle \to \mathrm{}}$0으로 복구됩니다$.$ {\$displaystyle \kappa \rightarrow$ 0$$.}

누적분포함수

γ-Weibull 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\exp _{\kappa }(-\display x^{\alpha })}$

$x{\displaystyle 0}$0 { $displaystyle$x \ $geq$ 0$$} 。누적 Weibull 분포는 표준 $한계치{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle \kappa \rightarrow$ 0$)$에서 복구됩니다.

생존 분포 및 위험 함수

γ-Weibull 분포의 생존 분포 함수는 다음과 같다.

$\displaystyle S_{\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(-\display x^{\alpha })}$

$x{\displaystyle 0}$0 { $displaystyle$x \ $geq$ 0$$} 。생존 Weibull 분포는 표준 한계치 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle \kappa \rightarrow$ 0$)$에서 복구됩니다.

γ-Weibull 분포의 위험 함수는 γ-속도 방정식의 해법을 통해 구한다.

${\displaystyle {S_{\kappa }(x)}{displaystyle}=-h_{\kappa }S_{\kappa }(x)}$

S ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle 0}$ ) $=$ {\$displaystyle S_{\kappa$}($0$1}일 때, 여기서 h$$ {\$displaystyle h_{\kappa}}$는 위험 함수이다.

${\displaystyle h_{\kappa}=black {\flac x^{\alpha -1}{\flac {1+\kappa ^{2}\flac ^{2}x^{2\alpha }}}}$

누적 "-Weibull 분포는 다음 식에 의해 "-위해 함수"와 관련이 있습니다.

$\displaystyle S_{\kappa}=e^{-H_{\kappa}(x)}}$

어디에

${\displaystyle H_{\kappa }(x)=\int _{0}^{x}h_{\kappa }(z)dz}$

$(\displaystyle H_{\kappa }(x)=syslogfrac {1}{\kappa }}}{\textrm {arcsinh}}\left(\kappa \syslog x^{\alpha }\right)})}$

는 누적 위험요소입니다.Weibull 분포의 누적 위험 함수는 고전적 한계 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle \kappa \rightarrow$ 0$\}$ :${\displaystyle }H{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle x}$) $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$α {\$displaystyle$ H$(x$)=\$beta$ x$^{\alpha }$에서 $$회복된다.

특성.

모멘트, 중위수 및 모드

"-Weibull 분포에는 다음과 같은 모멘트가 있습니다.$m{\displaystyle n\mathbb{}}$ N$$\ $displaystyle$m \ $in$\$mathbb${$N }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}] = flac { 2 \ kappa ^ { - m / \ alpha }} { 1 + \ kappa { m } } { \ frac { Gamma { 1 } { 2 \ kappa } } { \ frac }$

중위수와 모드는 다음과 같습니다.

${\displaystyle x_{\textrm {median}(F_{\kappa }) = \sign ^{-1/\alpha }{\bigg (}\ln _{\kappa }(2)}^{1/\alpha }$

${\displaystyle x_{\textrm {mode}={-1/\alpha}{\Bigg}{\frac {\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}}{2\kappa ^{2}}{\bigg} ^2/{g}$

분위수

분위수는 다음 식에 의해 주어집니다.

$({displaystyle x_{\textrm {quantile}(F_{\kappa })=\display ^{-1/\alpha }{\ln _{\kappa }}{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}}}{\Bigg}}}{\Alpha }} } } } ^{{{{{{{\bigg}}}}}}}}} }}}}}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ F${\displaystyle {}_{}\mathrm{\kappa }}$ 1$$\ $displaystyle$0 \ $leq$ F _ { \ $kappa$} \ $leq$ 1$$. 。

지니 계수

지니계수는 다음과 같습니다.^[3]

${\displaystyle \operatorname {G}_{\kappa}=1-{\frac {alpha +\kappa}{\alpha +{\frac {1}{2}}\kappa}}{\frac {\gama}}}{\frac {\gampa}}}{\fac {\}}}}{\frac {\}}}}}}}}{\flac {\gampa}}}}}}}}{\fac {\fa}}}}}}}}}}}{1}{2\kappa}}-{\frac {1}{2\alpha}}}}}}}:{\Big}}}$

점근 거동

γ-Weibull 분포 II는 다음과 ^[3]같이 점근적으로 동작합니다.

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim {\frac {\kappa }{-1/\kappa }x^{-1-\alpha/\kappa}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\alpha \displaystyle x^{\alpha -1}$

관련 분포

• "-Weibull 분포는 다음을 일반화한 것입니다.
  • α$=$ 1 {$디스플레이스타일$ \$alpha =$$1$)일 때 타입 II의 지수 분포;
  • $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$\$kappa$=$0$} $및$ α ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$\$alpha$=$1$인 경우의 지수 분포.
• β-Weibull 분포는 α $2일$ $때{\displaystyle }$ β-표준 Rayleigh 분포에 해당하며, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ 때 Rayleigh 분포(\$displaystyle$$$$\kappa$=$0)$ $및$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ $2일$ 때 Rayleigh 분포에 해당합니다$.$

적용들

"-Weibull 분포는 다음과 같은 여러 영역에서 적용되었습니다.

• 경제에서 개인 소득 모델을 분석하기 위해 가장 부유한 부분과 인구의 ^[1][4][5]대다수 사이의 소득 분포를 동시에 정확하게 기술한다.
• 지진학에서 γ-Weibull은 지구 전체에 분포된 지진 규모의 통계적 분포, 구텐베르크-리처 ^[6]법칙을 일반화하고 지진 데이터의 간격 분포를 나타내며 극한 이벤트 복귀 ^[7][8]간격을 모델링한다.
• 역학에서 γ-Weibull 분포는 역학 ^[9]분석에 보편적인 특징을 나타낸다.

「 」를 참조해 주세요.

• 조르지오 카니아다키스
• 카나다키스 통계
• 카니아다키스 분포
• 카니아다키스 θ-지수 분포
• 카니아다키스 γ-가우스 분포
• 카니아다키스 γ-감마 분포
• 카니아다키스 δ-로지스틱 분포
• 카니아다키스 γ-얼랑 분포

레퍼런스

외부 링크

• arXiv.org의 Kaniadakis 통계 정보