레일리 분포

레일리

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	척도: > 0 ${\displaystyle \sigma >0}$
지원	$[0,\displaystyle x\in [0,\fty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\properma ^{2}}e^{-x^{2}/\좌측(2\putma ^{2}\오른쪽)}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\좌측(2\javma ^{2}\우측)}}$
퀀틸레	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}$
평균	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi}{2}}:$
중앙값	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}$
모드	$\displaystyle \sigma }$
분산	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}:\cHBma ^{2}}:$
왜도	${\displaystyle {\frac{2}\sqrt {\pi -3)}{{(4-\pi )^{3/2}}:$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}:$
엔트로피	${\displaystyle 1+\ln \left\frac \\precka }{\sqrt{2}\오른쪽)+{\frac {\precipal }}$
MGF	${\displaystyle 1+\sqrt{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}:}\좌측(\fracname {erf}\ref}\refrac{\sqrt {2}}:\오른쪽)+1\}}}}}}$
CF	${\displaystyle 1-\sqrt{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }}}}\좌측(\precentname {erfi}\refrac \\\\sqrt {2}{\sqrt}}\i\right)}}$

확률 이론과 통계에서, Rayleigh 분포는 음수 값이 아닌 랜덤 변수에 대한 연속 확률 분포다. 재포장까지, 그것은 기의 분포와 2 자유도와 일치한다.

레일리 분포는 벡터의 전체 크기가 방향 구성 요소와 관련이 있을 때 종종 관찰된다. 레일리 분포가 자연적으로 발생하는 한 예는 풍속을 2차원으로 분석할 때입니다. 각 성분의 상관관계가 없고, 일반적으로 동일한 분산과 0 평균으로 분포한다고 가정할 때, 전체 풍속(벡터 규모)은 Rayleigh 분포로 특징지어진다. 분포의 두 번째 예는 실제와 가상 구성요소가 독립적이고 분산이 같고 평균이 0인 가우스 성분의 무작위 복합수의 경우에 발생한다. 그 경우 복합수의 절대값은 레일리분산이다.

분포는 레일리 경(//reɪli/)^[1]의 이름을 따서 지어졌다.

정의

Rayleigh 분포의 확률밀도함수는^[2]

${\displaystyle f(x;\juffma )={\frac {x}{{2}}:e^{-x^{2}/(2\juffma ^{2}}}},\jeq 0,}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은 분포의 척도 매개변수 입니다. 누적분포함수는^[2]

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x\in [0,\fty ]$의 경우.$}$

랜덤 벡터 길이에 대한 관계

정규 분포를 따르고 0을 중심으로 독립된 이변량 성분을 갖는$$ 2차원 벡터 $Y{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle U}$, V${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y=(U,V)}$을 고려하십시오. $그러면{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$ $및$ V ${\displaystyle V}$에 밀도 함수가 있음$$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2}}}}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}}}}.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 길이로 한다$$$.$ 즉, $X{\displaystyle }$= U ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ V ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$. ${\displaystyle$ X$={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}}.$ $그러면$ X {\$displaystystyle$ X$}$의 누적 분포 함수가$$ 있다.

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) 디스크임

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\leq x\right\}.}$

극좌표에서 이중 적분자를 쓰면, 그것이 된다.

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

마지막으로$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 확률밀도함수는 누적분포함수의 파생어로, 미적분학의 근본적인 정리에 의해 다음과 같다.

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2}}},}}$

그건 레일리 분포야 2가 아닌 다른 차원의 벡터로 일반화하는 것은 간단하다. 또한 성분의 분산 또는 상관관계가 동일하지 않거나(호이트 분포) 벡터 Y가 이바리테이트 학생 t-분포를 따를 때 일반화가 이루어진다.^[3]

특성.

순간 순간은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac{j}{2}}\오른쪽),}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \Gamma (z)}$은 감마함수다.

따라서 Rayleigh 랜덤 변수의 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu(X)=\sigma {\sqrt {\frac {}{{pi }}\ 약 1.253\\\sigma .}$

Rayleigh 변수의 표준 편차는 다음과 같다.

${\dplaystyle \operatorname {std}(X)={\sqrt {\왼쪽(2-{\frac {}}{pi }:{2}}\오른쪽)}}}\sigma \{0.429}}\\\ \ma }}$

Rayleigh 랜덤 변수의 분산:

${\displaystyle \operatorname {var}(X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{1}{1}^{1}}=\좌측(2-{\frac {}}{pi }{2}}\우측)\sigma ^{2}\약 0.429\\sigma ^{2}}:$

모드는 $\sigma {\displaystyle }$, ${\displaystyle \sigma ,}$이며 최대 pdf는

${\displaystyle f_{\max }=f(\flasma ;\f)={\frac {1}{\frac {1}{\e^{1/2}}\\약 {\frac {0.606}{\ma }}}}}.}$

왜도는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \pi_{1}={\frac {2}\sqrt{\pi -3)}{{4-\pi )^{3/2}}\ 약 0.631}$

과도한 첨도는 다음과 같은 방법으로 주어진다.

${\displaystyle \pi _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}\약 0.155}$

특성 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{erfi}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \desplayname$ {$erfi}$ (z$)}$은 가상 오류 함수다. 모멘트 생성 기능은

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{erf}}$ ${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \displayname {erf} (z)}$은(는) 오류 함수다.

미분 엔트로피

차동 엔트로피는 다음에^{[citation needed]} 의해 주어진다.

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sigma }{\sqrt{2}}\오른쪽)+{\frac {\gamma }}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.

모수 추정

N개의 독립적이고 동일한 분포의 Rayleigh 랜덤 변수 ${\displaystyle x_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 샘플과 매개$$ 변수 $\sigma {\displaystyle }${\$displaystyle \sigma$

${\$$$$N}\sum _{i=1}^{{N}x_{i}^{2$}}은 최대우도 추정치로 편향되지 않았다.

${\$$$$N}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2$}}:$$편향된 추정기로 공식을 통해 교정할 수 있다$$.

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma}}{\frac {\Sigma(N){\sqrt{N}}}{\Gamma(N+{\frac {1}{1}{2}})}}}={\widehat{\sigma }}{\frac {4^{N!(N-1)!{\sqrt{{N}}{(2N)!{\sqrt{\pi }}}}}$^[4]

신뢰구간

(1 - α) 신뢰 구간을 찾으려면 먼저 경계${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$을(를) 찾으십시오. 여기서$$:

${\displaystyle P(\chi _{2N}^{2}\leq a)=\alpha /2,\quad P(\chi _{2N}^{2}^\leq b)=1-\alpha /2}$

그러면 척도 모수가 한계 내에 들어갈 것이다.

${\displaystyle {{\frac {{N}{\overline{x^{2}}:{b}\leq {\widehat{\sigma }}}^{2}\frac {{n}{\x^{2}}:{a}}}}}}}}$^[5]

랜덤 변수 생성

구간(0, 1)의 균등 분포에서 무작위 변수 U를 추출한 다음 변수

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}\,},}$

레일리 분포에 파라미터 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 있음$.$ 역변환 샘플링 방법을 적용하여 얻음.

관련 분포

• ${\displaystyle R}$~ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ y ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ i ${\displaystyle g\mathrm{h}}$ ( ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle R\sim \mathrm$ {$Rayley}(\sigma )}$은(는)${\displaystyle }$R = ${\displaystyle X\sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$ + ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}${\$displaystyle$ R$={\sqrt {X^{2}$ 이상일 경우 Rayleigh 분포된 것이다$$.${\displaystyle Y}$$^{2$ 여기서 $X{\displaystyle }$~ N${\displaystyle }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2$){\displaystyle$ X$\sim N (0,\sigma ^{2}}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle N}$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2$){\displaysty Y\sim N (0,\sigma ^{2}}}}}}}$은 독립된 정규 랜덤 변수다.^[6] (이것은 위의 레일리 밀도의 파라메트리제이션에서 "시그마" 기호를 사용하는 동기를 부여한다.)

• 표준 복합체 정규 분포 변수 z의$$ ${\displaystyle 진도}$ z $displaystyle$ z$$}은(는) Rayleigh 분포를 가질 것이다.

• v = 2를 갖는 기 분포는 σ = 1을 갖는 레일리 분포와 동일하다.

• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ y ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle R\sim {Rayleigh}(1)$인 경우$,$ $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ R$^{2}}:$ 카이-제곱 분포를 $가지며$, 파라미터 N {\\\$displaystyle$ N$\}$ , 자유도는 2(N = 2)와 같다.

${\displaystyle [Q=R^{2}]\sim \chi ^{2}(N)\ .}$

• If ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$, then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ has a gamma distribution with parameters ${\displaystyle N}$ and ${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

$왼쪽[왼쪽]Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\심 \감마(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}})}$

• 라이스 분포는 Rayleigh 분포의 비중앙 일반화 입니다$:$ $R{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$ e ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$ (${\displaystyle )}$) = R ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$ e${\displaystyle }$( 0 ,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}.$
• 형상 모수 k=2를 가진 Weibull 분포는 Rayleigh 분포를 산출한다. 그러면 Rayleigh 분포 매개 변수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$$}$은(는) $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma \sqrt{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle }$. ${\displaystyle \lambda =\sigma${2}에 따른 Weibull 척도 매개 변수와 관련된다$.$$}$
• 맥스웰-볼츠만 분포는 정규 벡터의 크기를 3차원으로 설명한다.
• If ${\displaystyle X}$ has an exponential distribution ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$, then ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).$$}$

• 반정규 분포는 레일리 분포의 일변량 특수 사례다.

적용들

σ의 추정치는 자기공명영상(MRI)에서 확인할 수 있다. MRI 영상은 복잡한 영상으로 기록되지만 가장 흔히 크기 영상으로 보기 때문에 배경 데이터는 Rayleigh 분산형이다. 따라서 위의 공식을 사용하여 배경 데이터에서 MRI 영상의 소음 분산을 추정할 수 있다.^{[7] [8]}

레일리 분포는 영양학 분야에서도 식이 영양학 수준과 사람과 동물의 반응을 연결시키기 위해 고용되었다. 이러한 방법으로, 영양소 반응 관계를 계산하기 위해 매개 변수 σ을 사용할 수 있다.^[9]

탄도학 분야에서, Rayleigh 분포는 무기 정밀도의 척도인 가능성이 있는 원형 오차를 계산하는 데 사용된다.

물리적 해양학에서, 파고의 분포는 대략 Rayleigh 분포를 따르므로, 유의한 파고의 높이는 분석적으로 도출될 수 있다.^[10]

참고 항목

• 레일리 페이딩
• 레일리 혼합물 분포
• 순환 오류 발생 가능성

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

참조