척도 모수

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확률 이론과 통계학에서 척도 모수는 확률 분포의 모수 계열의 특수한 종류의 숫자 모수입니다.척도 모수가 클수록 분포가 더 넓게 펼쳐집니다.

정의.

누적 분포 함수가 다음을 만족하는 모수 s(및 기타 모수 θ)가 있을 경우

${\displaystyle F(x;s,\theta)=F(x/s;1,\theta),\!}$

s 값은 확률 분포의 "척도" 또는 통계적 산포를 결정하므로 s를 척도 모수라고 합니다.s가 크면 분포가 더 넓게 펼쳐지고 s가 작으면 더 집중됩니다.

완전한 매개변수 세트의 모든 값에 대한 확률 밀도가 존재하는 경우, 밀도(척도 매개변수의 함수로서만)는 다음을 만족합니다.

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

여기서 f는 표준화된 밀도 버전의 밀도입니다. $즉{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle f_{}}$ s ${\displaystyle {=}_{}{1}_{}}$ ($x$) \ $equiv f$_ { s$= 1$ ($x$ )$$。

척도 모수의 추정기를 척도 추정기라고 합니다.

위치 매개변수가 있는 패밀리

매개 변수 패밀리에 위치 매개 변수가 있는 경우 다음과 같이 약간 다른 정의가 사용되는 경우가 많습니다.위치 파라미터를 m$(\displaystyle$ m$)$으로 나타내고 스케일 파라미터를 $s(\displaystyle$ s$)$로 $지정$하는 경우 F$x$;${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle )}$ )$= F$ ; s , m${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ;${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$)$${ $displaystyle F(x$; s , m , \ $theta$ )= $F(x-m$)/0$, ta, ta$,파라미터화된 ^[1]패밀리이 수정은 비중심 가우스의 표준 편차를 스케일 파라미터로 하기 위해 필요합니다. 그렇지 않으면 $스케일{\displaystyle }$x(\$displaystyle$ x$)$를 재조정할 때 평균이 변경되기 때문입니다. 그러나 이 대체 정의는 일관되게 ^[2]사용되지 않습니다.

간단한 조작

${\displaystyle f_{}}$ s$${\$displaystyle f_{s}$는 g${\displaystyle (x)}$ $=$ /$$ {\$displaystyle$ g$(x$$x/s$로 $다음$과 같이 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle f_{s}(x)=f\left frac {x}{s}\right)\cdot {frac {1}{s}=f(g(x)g''(x)입니다.}$

f는 확률 밀도 함수이므로 다음과 같이 통합됩니다.

${{displaystyle 1=\int _{-\infty}^{\infty}f(x),f(x),f=\int _{ggg\infty}^{g(\infty)}f(x),f(x)},faramil}$

적분법칙에 의해, 우리는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)',f(x=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x),g'(x)}g',g'(x)',s)',s)',s'',s',s'',s',s''',s''''''''$

${\displaystyle {따라서}_{}}$ fs$(\$도 올바르게 정규화되었습니다.

Rate 파라미터

일부 분포 군에서는 척도 모수의 역수인 속도 모수(또는 "역 척도 모수")를 사용합니다.예를 들어 척도 모수 β와 확률 밀도를 갖는 지수 분포는

${\displaystyle f(x;\displays}=e^{-x/\displays}},\;x\geq 0}$

rate 파라미터 θ는 다음과 같이 동등하게 기술할 수 있습니다.

$\displaystyle f(x;\displayda)=\displayda e^{-\displayda x},\;x\geq 0.}$

예

• 균일한 분포는 (${\displaystyle a}$+${\displaystyle b}$) / $({displaystyle (a+$b)/$2)$의${\displaystyle }$위치 모수 및 ${\displaystyle 척도}$ 모수${\displaystyle b}$ -${\displaystyle }$a(\$displaystyle b-a$})를 사용하여 모수화할 수 있습니다.
• 정규분포에는 위치 $파라미터{\displaystyle }$ μ$\displaystyle \mu}$와 척도 ${\\displaystyle$ \$sigma$의 2개의 파라미터가 있습니다.실제로 정규분포는 분포의 분산에 대응하는 2의 제곱척도 $(\$^{$2$로 파라미터화되는 경우가 많습니다.
• 감마 분포는 일반적으로 척도 모수$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \theta)$ 또는$$ 그 역순으로 모수화된다.
• 척도 모수가 통일성과 동일한 분포의 특수한 경우를 특정 조건에서 "표준"이라고 할 수 있습니다.예를 들어, 위치 모수가 0이고 척도 모수가 1인 경우 정규 분포는 표준 정규 분포이고 코시 분포는 표준 코시 분포입니다.

견적

다음과 같은 경우에 통계량을 사용하여 척도 모수를 추정할 수 있습니다.

• 위치 불변,
• 척도 모수에 따라 선형으로 척도 조정,
• 샘플 사이즈가 커짐에 따라 수렴합니다.

통계적 분산의 다양한 척도가 이를 충족한다.통계량을 척도 모수에 대한 일관된 추정치로 만들려면 일반적으로 통계량에 일정한 척도 계수를 곱해야 합니다.이 척도 계수는 필요한 척도 매개변수를 통계량의 점근 값으로 나누어 얻은 값의 이론적 값으로 정의됩니다.척도 인자는 해당 분포에 따라 달라집니다.

예를 들어, 중위수 절대 편차(MAD)를 사용하여 정규 분포의 표준 편차를 추정하려면 이 값에 인자를 곱해야 합니다.

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\약 1.4826,}$

여기서 δ는⁻¹ 표준 정규 분포에 대한 (누적 분포 함수의 역) 분위수 함수이다.(자세한 것은, MAD 를 참조해 주세요).즉, MAD는 정규 분포의 표준 편차에 대한 일관된 추정치가 아니지만 1.4826...MAD는 일관된 추정치입니다.마찬가지로 평균 절대 편차에 약 1.2533을 곱해야 표준 편차에 대한 일관된 추정치가 됩니다.모집단이 정규 분포를 따르지 않으면 표준 편차를 추정하기 위해 다른 요인이 필요합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 중심 경향
• 불변 추정기
• Location 파라미터
• 로케이션 스케일 패밀리
• 평균 보존 스프레드
• 배합 배합
• 형상 매개 변수
• 통계적 분산

레퍼런스

추가 정보

• Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974). "VII.6.2 Scale invariance". Introduction to the theory of statistics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.