칸사법

칸사법은 부분 미분 방정식을 푸는 데 사용되는 컴퓨터 방법이다.그것의 주된 장점은 컴퓨터로 이해하고 프로그래밍하는 것이 매우 쉽다는 것이다.유한요소법보다 훨씬 덜 복잡하다.또 다른 장점은 그것이 다중 변수 문제에서 잘 작동한다는 것이다.유한요소법은 3개 이상의 공간변수와 시간으로 작업할 때 복잡하다.

간사법은 천장에 많은 전구가 매달려 있는 농구장에 비유해 설명할 수 있다.각 전구 아래 농구장 바닥에서 원하는 빛의 세기가 바로 그 시점의 미분 방정식을 해결하도록 각 전구의 밝기를 해결한다.그래서 만약 농구 코트에 100개의 전구가 매달려 있다면; 농구 코트 바닥의 어느 지점에서든 빛의 세기는 농구 코트 바닥의 어느 위치에서든 미분 방정식을 대략적으로 해결하는 광도에 접근한다.간단한 컴퓨터 프로그램은 각 전구의 밝기를 반복하여 해결할 수 있어 이 방법을 프로그래밍하기 쉽다.이 방법에는 가중 잔차(갈레르킨), 통합 또는 고급 수학이 필요하지 않다.

E. J. Kansa는 1990년대 초 산재된 데이터 처리와 함수 근사치에서 상당히 인기 있었던 방사상 기본 함수(RBF)를 강한 형태 콜래이션 공식에서 부분 미분 방정식의 해법으로 확장하려고 처음으로 시도했다.그의 RBF 결합 접근법은 본질적으로 그물감이 없고 프로그램하기 쉬우며 수학적으로 학습이 매우 간단하다.머지않아 이 방법은 학계에서 간사법으로 알려져 있다.

RBF는 차원성에 관계없이 1차원 유클리드 거리 변수를 사용하기 때문에 간사 방법은 관심 문제의 차원성 및 기하학적 복잡성과 무관하다.이 방법은 경계 조건을 만족시키기 위해 경계면뿐만 아니라 지배 방정식을 만족시키기 위해 영역 내부에서도 문제를 구체화한다는 의미에서 도메인형 수치 기법이다.

이와는 대조적으로 경계형 RBF수치법이라 불리는 또 다른 형태의 RBF수치법이 있는데, 이를테면 근본해결법, 경계 매듭법, 단수경계법, 경계입자법, 그리고 커널함수라고도 하는 기준함수가 지배방정식을 a로 만족시키는 정규화된 메쉬리스법 등이 있다.nd는 종종 지배 방정식의 근본적인 해결책 또는 일반적인 해결책이다.따라서 경계 탈부착만 필요하다.

간사법의 RBF가 반드시 지배 방정식을 만족시키는 것은 아니기 때문에 RBF를 선택할 자유가 더 많다.간사법에서 가장 인기 있는 RBF는 다원형(MQ)으로, 적절한 형상변수를 선택하면 보통 스펙트럼 정확도를 나타낸다.

설명

수정된 MQ 체계 또는 MQ 연접법이라고도 하는 간사법은 잘 알려진 MQ 보간법에서 비롯되었다.이 방법의 효율성과 적용가능성은 광범위한 문제에서 검증되었다.경계형 RBF 연석방법과 비교했을 때, 간사법은 다양한 계수 및 비선형 문제 등 근본적 해결책과 일반적 해결책이 없는 문제에 보다 폭넓게 적용할 수 있다.

공식화

d-차원 물리적 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\d 디스플레이 $스타일 \Oomega \subseteq \mathb {R}$^{$d}}}$을(를) 두고 다음$$ 경계 값 문제(BVP)를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu(X)&=f(X),\quad X\in \Omega ,&&(1)\\[4pt]u(X)&=g(X),\quad X\in \partial \Omega _{D},&&(2)\\[4pt]{\frac {\partial u(X)}{\partial n}}&=h(X),\quad X\in \partial \Omega _{N},&&(3)\end{aligned}}}$

where L represents a differential operator and d is the dimensionality of the problem, ${\displaystyle \partial \Omega _{D},\,\partial \Omega _{N}}$ denote the Dirichlet and Neumann boundaries, respectively, and ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omeg$$a$ $\}.$ 칸사 방법은 RBF를 선형 조합하여 원하는 함수에 근사치를 적용한다.

${\displaystyle u(X)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\알파 _{i}\varphi(r_{i}),\qquad(4)}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 확인할 계수, $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \varphi (r_{i})$는 MQ와 같은 RBF를 나타낸다$$.

용액의 고유성을 보장하기 위하여 다항식 용어를 다음과 같이 추가할 수 있다.

${\displaystyle u(X)^{*}=\sum _{i=1}{N}\알파_{i}\varphi(r_{i})+\sum _{k=1}^{M}\알파_{k+N}\gamma _{k}(X),\qquad(5)}$

여기서 ${\displaystyle {\gamma k}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$은 다항식이다.RBF 보간(4)과 (5) 모두 실무에서 자주 사용된다.수학자들은 엄격하고 견고한 이론적 기초 때문에 후자를 선호하지만, 공학 사용자들은 전자가 더 쉽고 간단하며 대부분의 경우에 건전한 결과를 내기 때문에 전자를 채택하는 경우가 많다.Eq. (4) 또는 (5)를 Eq. (1–3)로 대체하면 다음과 같은 대수 방정식 시스템이 발생한다.

${\displaystyle \mathbf {A} \alpha =b,\qquad(6)}$

어디에

${\displaystyle \mathbf{A}=\left({\begin{매트릭스}나는(\varphi)&, Lᆬ\\[5pt]\varphi&\gamma \\[8pt]{\dfrac{\partial \varphi}{n\partial}}&{\dfrac{\partial \gamma}{n\partial}}\\[8pt]\gamma&0\end{매트릭스}}\right),\quad\mathbf{b}=\left({\begin{매트릭스}f\\g\\h\\0\end{매트릭스}}\right),\quad \varphi =\varphi(x_{나는},x_{j}),\quad \g.amma =\gamma_{k}}(X_{i}).\qquad (7)}$

확장 계수 α ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 평가한$$ 후 Eq. (4) 또는 (5)에서 원하는 함수를 계산할 수 있다.

역사와 최근의 발전

PDE의 수치해결은 보통 유한차분법(FDM), 유한요소법(FEM) 또는 경계요소법(BEM)을 통해 얻는다.FDM은 주로 직사각형 그리드 시스템이 필요하다는 이유로 불규칙한 도메인을 모델링하기 어려운 것으로 알려져 있다.비록 FEM이 더 유연한 프레임워크를 수용할 수 있지만, 메싱과 리메싱은 사소한 것이 아니다.BEM은 역, 무한 영역, 박벽 구조 문제와 같은 일부 엔지니어링 문제에서 대안적인 방법이다.그러나, 그것의 적용은 지배 방정식의 근본적인 해결책의 가용성에 의해 크게 제한된다.

최근 수십 년 동안 '메쉬리스(meshless)'나 '원소리스(element-free)' 방식이 큰 관심을 끌고 있다.표준 FEM과 BEM과 같은 메쉬 기반의 방법은 고차원, 이동성, 복잡한 형태의 경계 문제를 다루는데 엄청나게 많은 계산적 노력이 필요하다는 것이 이 장면의 원동력이다.칸사 방법은 메쉬나 요소의 필요 없이 노드에서 RBF, 특히 MQ를 직접 결합하므로 본질적으로 메쉬가 없는 방법이다.

많은 노력에도 불구하고 칸사법의 해결 가능성에 대한 엄격한 수학적 증거는 여전히 빠져 있다.^[3]또한, 혼합 경계 조건은 보간 행렬의 대칭성도 파괴한다.참고문헌은 용해성에 대한 수학적 분석을 통해 대칭 Hermite RBF 정렬 방식을 제안한다.^[4][5]그러나 칸사 방법과 대칭 헤르미테 방법에서 공통적인 문제 중 하나는 경계와 인접한 노드의 수치 해법이 중앙 지역에 비해 1~2배 정도 크기 저하된다는 것이다.경계에서의 PDE 결합(PDECB)은 이러한 단점을 효과적으로 제거한다.그러나 이 전략에는 경계에 인접한 도메인 내부 또는 외부 노드의 추가 집합이 필요하다.이러한 추가 노드의 임의 배치는 복잡하고 다중 연결 도메인 문제의 시뮬레이션에서 골치 아픈 문제를 야기한다.PDECB는 또한 명시적인 이론적 지지도 결여되어 있다.실제로, 동일한 경계 노드에서 지배 방정식과 경계 방정식을 모두 결합하는 유사한 전략도 제안되었다.^[7]그러나 이 방법은 비대칭적이며 아직 명시적인 이론적 토대가 부족하다.그린 세컨드 아이덴티티를 이용하여 앞에서 언급한 모든 약점을 보완하기 위해 변형된 칸사 방법을 고안한다.MQ의 경우 형상 모수가 보간 오류를 크게 결정한다.다방면 방사상 기준 함수의 계열에 관한 많은 수학 이론이 존재하고 형상 모수의 선택에 관한 몇 가지 제안을 제공한다.^{[10][11][12][13]}

칸사법은 계산과학에 폭넓게 적용되고 있다.에서는 포물선, 쌍곡선, 타원형 부분 미분 방정식을 다루기 위해 간사 방법을 사용한다.^[1]칸사 법 최근 각종 일반에 PDEs 조직 공학의 3상성의bi-phasic 혼합물 모델 problems,[14][15]을 포함한 연장되었다 1D충격 파와 같이 버거 equation[16], 얕은 물 방정식 밀물과 현재 시뮬레이션에, 열 전달 자유 경계 problems,[19]과 분수 dif problems,[18][17]비선형.융합한 방정식이다.[20]

참고 항목

• 반지름 기준 함수
• 근본적 해결 방법
• 경계 매듭법
• 경계 입자법
• 단수경계법

외부 링크

• 수정간사법

참조