단수경계법

Singular boundary method
그림 1. MFS를 사용한 문제 스케치 및 노드 분포: (a) 내부 문제, (b) 외부 문제(큰 그림을 보려면 클릭하십시오)
그림 2. SBM을 사용한 문제 스케치 및 노드 분포: (c) 내부 문제, (d) 외부 문제(큰 그림을 보려면 클릭하십시오)

수치해석에서 단수경계법(SBM)은 기본해법([1][2][3]MFS), 경계 매듭법(BKM),[4] 정규화된 망사 없는 방법(RMM),[5] 경계입자법(BPM),[6] 변형된 MFS [7]등을 포함하는 망사경계결렬기법 계열에 속한다.이러한 강형식 연접 방법의 계열은 지배 방정식의 근본적인 해법이 명시적으로 알려진 경계 노드와의 경계 값 문제의 수치적 해법에서 전통적인 경계 요소 방법(BEM)에서 단수적 통합과 메쉬 생성을 피하기 위해 설계되었다.

SBM의 두드러진 특징은 후자의 모든 장점을 지키면서 근본적인 해결 방법에서 가공의 경계를 극복하는 것이다.이 방법은 고전적 영역 또는 경계 소멸 방법보다 몇 가지 이점을 제공하며, 그 중 다음과 같다.

  • 메쉬가 없는이 방법은 도메인이나 경계 매싱이 아니라 경계 전용 디크리트 포인트가 필요하다.
  • 무통합의단수 커널 또는 거의 단수 커널의 수치적 통합은 예를 들어 경계 요소 방법에서와 같이 번거롭고 비용이 많이 들며 복잡할 수 있다.
  • 균일한 문제에 대한 경계 전용 디스트리뷰트.SBM은 유한요소법이나 유한차이법과 같은 도메인 소멸 방법보다 BEM의 모든 장점을 공유한다.
  • 기본 해결 방법(그림 1과 2 참조)에서 복잡한 가상의 경계를 극복하는 것은 기본 해결책의 특이성을 분리하는 원점 강도 인자의 개념 도입 덕분이다.

SBM은 특히 무한 영역, 파동, 박벽 구조, 역문제의 경우 BEM과 MFS와 같은 대중적인 경계형 방법에 대해 중요하고 유망한 대안을 제공한다.

단수경계법의 이력

SBM의 방법론은 첸과 그의 협력자들에 의해 2009년에 처음 제안되었다.[8][9]근원점들이 실제 경계 위에 직접 배치될 수 있도록 근원 강도 인자의 개념을 도입해 근본 해결책의 특이점을 분리하는 것이 기본 생각이다.이에 비해 근본 해결 방법은 근본 해결의 특이성을 피하기 위해 근원 지점을 배치하기 위한 가공의 경계를 필요로 한다.SBM은 이후 잠재적 문제,[10][11] 무한 영역 문제,[12] 헬름홀츠 문제,[13] 평면탄성 문제 등 다양한 물리적 문제에 성공적으로 적용됐다.[14]

원점 강도 인자를 평가하는 두 가지 기법이 있다.첫 번째 접근방식은 샘플 노드 클러스터를 문제 영역 내부에 배치하고 대수 방정식을 계산하는 것이다.이 전략은 추가적인 계산 비용을 초래하고 MFS에 비해 방법이 기대만큼 효율적이지 않다.두 번째 접근법은[15][16] 기본 해결책과 그 파생상품의 특이점을 취소하기 위해 정규화 기법을 채택하는 것이다.따라서 원점 강도 계수는 샘플 노드를 사용하지 않고도 직접 결정할 수 있다.이 계획은 그 방법을 더 안정적이고, 정확하고, 효율적으로 만들고, 그 적용성을 확장시킨다.

최근 개발

경계층 효과 문제

다른 모든 경계형 수치 방법과 마찬가지로, SBM도 경계 인근 지역에서 용액 정확도가 현저히 떨어지는 것이 관찰된다.원점에서의 특이점과 달리 근경계 지역의 근본 해법은 유한하다.그러나 보간 기능은 평탄한 함수가 아니라 필드 지점이 경계에 가까워짐에 따라 뾰족한 봉우리(peak결과적으로, 낟알은 "거의 단수"가 되어 정확하게 계산할 수 없다.이는 BEM 기반 방법에서 접하는 이른바 경계층 효과와 유사하다.

sinh 함수에 기초한 비선형 변환을 사용하여 거의 단수에 가까운 커널의 빠른 변형을 제거하거나 감쇠시킬 수 있다.[17]그 결과 SBM의 골치 아픈 경계층 효과가 성공적으로 개선되었다.이러한 변환의 구현은 간단하며 기존의 SBM 프로그램에 쉽게 내장될 수 있다.연구된 시험 문제의 경우, 필드 포인트와 경계 사이의 거리가 1×10만큼−10 작을 때에도 매우 유망한 결과를 얻는다.

대규모 문제

MFS와 BEM과 마찬가지로, SBM은 밀도계수 매트릭스를 생산할 것이며, 매트릭스 방정식 축적을 위한 운용 카운트와 메모리 요구사항은 O(N2)의 순서로 계산적으로 너무 비싸 대규모 문제를 시뮬레이션할 수 없다.

FMM(fast multipole method)은 CPU 시간과 메모리 요구량을 O(N2)에서 O(N) 또는 O(NlogN)로 줄일 수 있다.FMM의 도움으로, SBM은 데스크톱에서 수백만 개의 알려지지 않은 대규모 문제를 완벽하게 해결할 수 있다.이 빠른 알고리즘은 SBM의 적용 영역을 이전에 가능했던 것보다 훨씬 더 큰 문제로 극적으로 확장한다.

참고 항목

참조

  1. ^ 기본 해결 방법(MFS)
  2. ^ Golberg MA, Chen CS, Ganesh M, "집약적으로 지원되는 방사상 기반 함수를 사용하는 3D Helmholtz형 방정식의 일부 솔루션", Eng Anton Bound Elem 2000;24(7–8): 539–47.
  3. ^ Fairweather G, Karageorghis A, "타원 경계 값 문제에 대한 근본적인 해결 방법", Adv Compute Math 1998;9(1): 69–95.
  4. ^ Chen W, Tanaka M, "2016-03-04 Wayback Machine에 보관된 2016-03-04", "Math Appl 2002;43(3–5): 379–91.
  5. ^ D.L. Young, K.H. Chen, C.W. Lee, "임의 도메인으로 잠재적 문제를 해결하는 노벨 메시리스 방식", J Compute Phys 2005;209(1) : 290–321.
  6. ^ 경계 입자법(BPM)
  7. ^ Sarler B, "기본적 해결 방법의 변형 방법에 의한 잠재적 흐름 문제 해결:단일 레이어와 이중 레이어 기본 솔루션을 사용한 제형," Eng Anton Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
  8. ^ Chen W, "Singular Boundation method: 소설, 단순, 망사 없는, 경계 연선 수치법", Jin J 솔리드 메흐 2009;30(6): 592–9.
  9. ^ Chen W, Wang FZ, "2015-06-06을 웨이백 머신에 보관", Eng Anton Bound Elem 2010;34(5): 530–32.
  10. ^ Wei X, Chen W, Fu ZJ, "단수 경계 방법에 의한 이종 문제 해결", J Mar SCI Tech 2012; 20(5).
  11. ^ Chen W, Fu ZJ, Wei X, "단수 경계 방법에 의한 잠재적 문제 만족 모멘트 조건 충족", Compute Model Eng Sci 2009;54(1): 65–85.
  12. ^ Chen W, Fu Z, "무한 영역 잠재적 문제에 대한 새로운 숫자 방법", Chin Sci Bull 2010;55(16): 1598–603.
  13. ^ Fu ZJ, Chen W, "방사선과 산란 문제에 대한 새로운 경계 망사 없는 방법", 경계 요소 기법의 진보 XI, 제11차 국제 회의의 진행, 2010년 7월 12일–14일, 83–90년, 영국 EC Ltd에 의해 출판됨 (190) ISBN978-0-9547783-7-8)
  14. ^ Gu Y, Chen W, Zhang CZ, "평면 변형 탄성계 문제 해결을 위한 노래 경계법", Int J Solid Structure 2011;48(18): 2549–56.
  15. ^ Chen W, Gu Y, "최근 단일한 경계법에 대한 진전", Trefftz Method VI 및 Method of Basic Solution II, 2011년 대만 공동 국제 워크숍.
  16. ^ Gu Y, Chen, W, "3차원 잠재적 문제에 대한 단수 경계 방법 개선", 중국 학술지 이론 및 응용 역학, 2012, 44(2): 351-360(중국어)
  17. ^ Gu Y, Chen W, Zhang J, "단수 경계법에 의한 근경계 해법 조사", Eng Anton Bound Elem 2012;36(8): 117–82.

외부 링크