클린의 O

집합 이론과 계산 가능성 이론에서 $클레네$의 O ${\$은 순서형 표기법으로 간주될 때 자연수의 표준적인 부분집합이다$$.It contains ordinal notations for every computable ordinal, that is, ordinals below Church–Kleene ordinal, ${\displaystyle \omega _{1}^{CK}}$. Since ${\displaystyle \omega _{1}^{CK}}$ is the first ordinal not representable in a computable system of ordinal notations the elements of ${\displaystyle$${\mathcal{O}}}$은(는) 표준 서수로 간주할 수 있다$$.

클레인(1938년)은 계산 가능한 모든 서수(Church-Kleene 서수보다 작은 서수)에 대한 표기법 체계를 설명했다.유한한 기호 문자열 대신 자연수의 부분집합을 사용한다.불행히도, 일반적으로 어떤 자연수가 서수를 나타내는 것인지, 또는 두 숫자가 같은 서수를 나타내는 것인지 구분할 효과적인 방법은 없다.그러나 클린의 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 주어진 두 개의 공지에 대한 서수 합, 제품 및 검정력을 나타내는 표기법(서수 산술 참조$)$을 효과적으로 찾을 수 있으며, 서수자에 대한 표기법에는 각 작은 서수마다 하나의 원소를 포함하는 계산적으로 열거된 표기법 집합이 있다.d를 효과적으로 명령한다.

정의

클레네의 서수 표기 체계의 기본이념은 효과적인 방법으로 서수를 쌓는 것이다.회원에게는}}O{\displaystyle{{O\mathcal}의{p\displaystyle}p는에 대한 p{p\displaystyle}은 표기법은 서수가 있p{p\displaystyle}.{\displaystyle{{O\mathcal}}}과<>O{\displaystyle<>_{{\mathcal O}}}(클레이니의 나는 부분 순서{\dis.pla$ystyle {\mathcal{O}}$)은 다음과 같은 가장 작은 집합이다.

• ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle O0}$ 0${\displaystyle }$=$$0 {\$displaystyle 0\in$ {\$mathcal {$O}\land 0$=0}$.
• ${\displaystyle i\in {\mathcal {O}\land i =\alpha \rightarrow 2^{i}\\\mathcal {O}\land 2^{i} =\alpha +1\land i<_\mathcal {O}2}}^{i}}}$
• $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{e\}}$이(가) $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$번째$$ 부분 계산 가능한 함수라고 가정하십시오.만약 e{\displaystyle e}과 범위가 전부일뿐이다({e})⊂ O∀ n({e}(n)<>∧ 간구{e}(n+1)){\displaystyle{\textrm{범위}}(){e\})\subset{{O\mathcal}}\land\forall n(){e\}(n)<, _{{O\mathcal}}\ᆴ(n+1))}, 세개 ⋅ 5e∈ O∧∀,{e}(n)<>O3⋅ 5e∧ 3⋅ 5e)li.mkm그리고 4.9초 만$displaystyle 3\cdot 5^{e}\in {\mathcal {O}\land \forall n,\{e}(n)\\\\mathcal {O}3\cdot 5^{e}\land 3\cdot$
• ${\displaystyle p<_{\mathcal {O}q\land q<_\mathcal {O}r\rightarrow p<_{\mathcal {O}r}$

이 정의는 계산할 수 있게 하여γ{\displaystyle \gamma}과α<>에 대한 표기법, γ{\displaystyle \alpha<>\g은 표기 아래쪽, 즉, 폐쇄된다 주어진 순서( 아니지만은<>에 간구{\displaystyle<>_{{O}}}\mathcal 주문)의 전임자들 열거할 수 있는 장점을 가지고 있다.amma}은n $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 표기법이 있다$.$

<_O의 기본 속성

• ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$i$=\alpha },$ ${\displaystyle j}$ = ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$j$=\beta },$ < ,{\$displaystyle$ i$<_{\mathcal{O}j\}}}},$ <$β$ {\displaystylepha $\alpha \bepa$}}}}}}}}}}}}}>이 유지되지 않을 수 있다.
• ${\$은(는) $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${$$O}}$에 트리 구조를 유도하므로 O$$${\$ {$O}}}$은(는) 근거가 충분하다$$.
• ${\displaystyle \mathcal{O}}$ ${\$만 한계 서수에서 분기하고, $각{\displaystyle \mathcal{}}$ 한계 서수 표기법에서 O ${\$은(는) 무한히 분기된다$$.
• 모든 계산 가능한 함수는 셀 수 없이 많은 지수를 가지기 때문에, 각 무한 서수에는 카운트다운할 수 있는 많은 지표를 받기 때문에, 유한 서수에는 고유 지표가 $있고{\displaystyle }$, n ${\displaystyle n}$은 ${\displaystyle {대개\mathcal{}}_{}}$ n O ${\\$를 나타낸다$.$
• 표기법을 받지 않는 최초의 서수를 Church-Kleene 서수(Church-Kleene ordinal)라고 하며 $\Omega {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ K$${\$displaystyle$\omega$_{$1}^{$CK}$로 표기한다.$$계산 가능한 함수만 많으므로 서수 ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ $1{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$\$1}^{CK}}}}}}$은 분명히$$ 셀 수 있다.
• 클린의 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 표기법이 있는 서수들은 정확히 계산 가능한 서수들이다$$. (모든 계산 가능한 서수들이 표기법을 가지고 있다는 사실은 후속 및 유효 제한에 따라 이 서수 표기 체계를 닫은 데서 비롯된다.)
• ${\$은(는) 계산적으로 열거할 수는 없지만 정확하게 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle <_$${\mathcal{O$의 멤버에 동의하는 으로열거할 수 있는 관계가 $있다$.
• 모든$$ $표기법{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $p}$에 $대해${q <O p } {\$displaystyle \lbrace q\mid q<_\\mathcal{O}p}p$\rbrace}}$$집합은 계산적으로 $열거$된다.그러나 클린의 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$를$$취하면 when 1 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}1}:{1}:{1$}($분석 계층 참조)이며, 다음과 같은 이유로 산술적인 것은 아니다.
• In fact, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ is ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-complete and every ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ subset of ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ is effectively bounded in ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ (a result of Spector).
• ${\displaystyle \mathcal{O}}$ ${\$은(는) 모든 특정 서수적 표기 집합을 간단한 방법으로 그것에 매핑할 수 있다는 의미에서 서수적 표기법의 보편적 체계다$$.좀 더 정밀하게, 계산할 수 있는 함수 f{\displaystyle f}은 만약 e{\displaystyle e} 있는 인덱스에 대한 계산할 수 있는 well-ordering, 그때 f(e){\displaystyle f(e)}은 멤버의 O{\displaystyle{{O\mathcal}}}과<>e{\displaystyle<>_{e}}은order-isomorphic에 대한 초기 segmen.의 t세트{ < ( e) ${\displaystyle$\{$p\mid$ p$<_{\mathcal{O}f(e$
• There is a computable function ${\displaystyle +_{\mathcal {O}}}$, which, for members of ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, mimics ordinal addition and has the property that ${\displaystyle \max\{p,q\}\leq p+_{\mathcal {O}}q}$. (Jockusch)

<_O의 경로 속성

O의 경로{\displaystyle{{O\mathcal}}}하위 집합 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}의 O{\displaystyle{{O\mathcal}}}은 완전히<>에 따라 순서가 정해지간구{\displaystyle<>_{{\mathcal O}}}과 전임자들에 따라서 닫힌 경로 P{의 만약 p{p\displaystyle}일원이다.\displP{\displaystyle{{P\mathcal}의Aystyle{{P\mathcal}}}과q<>Op{\displaystyle q<._{{\mathcal O}}p}그때q{\displaystyle q}회원이기도 하}}. 작은 길이 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 최대가 있다면 O의(위에 있는 요소가 없{\displaystyle{{O\mathcal}}}의 s발음하는 oensef< ${\$ )의 모든 P 멤버 ${\$ $그렇지{\displaystyle \mathcal{}}$ 않으면 P ${\$은 최대값이 아니다$$.

• $경로{\displaystyle \mathcal{}}$ P$$${\${\$mathcal {P}$은(는) P {\$displaystyle {\mathcal {P}$을(를) 계산적으로 열거할 수 있는 경우에만 최대값이 아니다$$.$위$의 언급에 따르면 O ${\$의 모든 요소 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 최대값이 아닌 $경로{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\$을$($를) 결정하고$$, 최대값이 아닌 모든 경로가 그렇게 결정된다.
• $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${^{\displaystyle$ ${\mathcal{O}}}$을(를) 통과하는 최대$$ 경로가 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $ℵ {\$displaystyle {\mathcal{$0}$ 있다$.$ 최대 경로이므로 비 c.e가 된다.
• $실제로$$$ $길이{\displaystyle \mathcal{}}$ $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $2^{\displaystyle$ ${\mathcal{O}}}$ 내에 최대 경로$$ $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ (크로스리, 슈트)
• For every non-zero ordinal ${\displaystyle \lambda <\omega _{1}^{CK}}$, there are ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ maximal paths within ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ of length ${\displaystyle \omega ^{2}\cdot \lambda }$. (Aczel)
• 또한 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $길이$가 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \omega$^{2}}의$$배수가 아닌$$ 경로라면 P ${\$ {P$}}은($는) 최대값이 아니다$$.(아셀)
• 이러한 P){p∣<>Oed}{\displaystyle{{P\mathcal}}=\lbracep\mid p< 길;_{{O\mathcal}}e_{d}\rbrace}다many-one 정도 d{\displaystyle d}각c.e. 정도 d{\displaystyle d}에게 있어, O{\displaystyle{{O\mathcal}의 멤버 ed{\displaystyle e_{d}}}}.에는.사실,계산 가능한 각 서수 $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}에 대해$$e ${\displaystyle d_{}{}_{}}$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$ e_{$d}$=\$alpha$ } .$$(Jockusch)와 함께 표기 e $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 존재한다$$.
• $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$${\$$}$ O ${\$$displaystyle {\$0}} 경로가 존재하며$,$ 이러한 경로는$$ 반복적인 균일반사를 기반으로 계산적으로 열거할 수 있는 이론의 진행을 감안할 때, 각 경로는 $TRUE{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 $0$의 집합에 대해 불완전하다$.$$isplaystyle \Pi _{1}^{0}$문장$$. (Feferman & Spector)
• $\pi {\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1} O ${\$을(를) 통과하는$$ 경로가 존재하며, 각$$ 초기 세그먼트는 단순히 계산 가능한 것이 아니다.(조쿠슈)
• $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 다양한 다른 경로가 존재하는 것으로 확인되었으며$$, 각 경로는 특정한 종류의 환원성 특성을 가지고 있다.(아래 참조 참조)

참고 항목

• 계산 가능한 서수
• 큰 카운트 가능 서수
• 순서 표기법

참조

• Church, Alonzo (1938), "The constructive second number class", Bull. Amer. Math. Soc., 44 (4): 224–232, doi:10.1090/S0002-9904-1938-06720-1
• Kleene, S. C. (1938), "On Notation for Ordinal Numbers", The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 3 (4): 150–155, doi:10.2307/2267778, JSTOR 2267778
• Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, First MIT press paperback edition, ISBN 978-0-262-68052-3
• Feferman, Solomon; Spector, Clifford (1962), "Incompleteness along paths in progressions of theories", Journal of Symbolic Logic, 27 (4): 383–390, doi:10.2307/2964544, JSTOR 2964544