큰 계산 가능 서수

집합론의 수학 분야에서는, 특정한 계산 가능한 서수를 기술하는 많은 방법이 있다.가장 작은 것들은 칸토어 정규 형태로 유용하고 비원형으로 표현될 수 있다.그 밖에도, 증명 이론과 관련된 많은 서수들은 여전히 계산 가능한 서수 표기를 가지고 있다(서수 분석 참조).그러나 주어진 추정 서수 표기법이 표기법인지 아닌지는 효과적으로 결정할 수 없다(정지 문제의 해결 불가능성과 다소 유사한 이유로). 확실히 표기가 있는 서수를 정의하는 다양한 보다 구체적인 방법을 사용할 수 있다.

표기가 셀 수 없을 정도로 많으므로 표기가 있는 모든 서수는 첫 번째 비산형 서수 θ보다₁ 훨씬 아래에 소진된다. 그 최상위는 아래에 설명된 바와 같이 처치-클레인 θ 또는₁ θ₁^CK(첫 번째 비산형 서수 θ와₁ 혼동하지 말 것)라고 한다).are₁^CK 아래의 서수는 재귀 서수입니다(아래 참조).이 값보다 큰 계산 가능한 서수는 계속 정의할 수 있지만 표기가 없습니다.

계산 가능한 서수에 중점을 두기 때문에 특별히 명시된 경우를 제외하고 서수 산술이 전체적으로 사용됩니다.여기에 기술된 서수는 큰 추기경에 기술된 서수만큼 크지는 않지만, 건설적인 표기(설명)가 있는 서수 중에서는 크다.점점 더 큰 서수를 정의할 수 있지만, 그것들을 묘사하는 것은 점점 더 어려워진다.

재귀 서수에 대한 일반론

서수 표기법

재귀적 서수(또는 계산 가능한 서수)는 계산 가능한 함수로 표현되는 계산 가능한 서수입니다.이것에 대한 몇 가지 동등한 정의가 있다: 가장 간단한 것은 계산 가능한 서수가 자연수의 어떤 재귀적 (즉, 계산 가능한) 잘 정렬된 순서 유형이라고 말하는 것이다; 그래서 본질적으로, 우리가 컴퓨터가 조작할 수 있는 방식으로 더 작은 서수의 집합을 제시할 수 있을 때, 서수는 재귀적이다.(그리고 본질적으로 그것들을 비교한다)

다른 정의는 클린의 서수 표기 체계를 사용한다.간단히 말해서, 서수 표기법은 이름 0(서수 0을 기술함) 또는 서수 표기법(서수 0을 기술함)의 후계자 또는 서수 표기법(서수 0을 기술함수)의 증가 시퀀스를 생성하는 튜링 기계(계산 가능 함수) 중 하나이다.ce) 그리고 순서 표기는 o의 후속자를 o보다 크게 만들고 수열의 어떤 항보다 더 크게 만들기 위해 (부분적으로) 순서 표기는 (이 순서는 계산 가능하다; 그러나, 주어진 튜링 기계가 실제로 다음을 생성하는 것이 불가능하기 때문에 순서 표기의 집합 O 자체는 매우 비재귀적이다.표기 순서). 재귀 서수는 서수 표기법에 의해 기술되는 서수입니다.

재귀적 서수보다 작은 서수는 그 자체로 재귀적이므로, 모든 재귀적 서수 집합은 특정한 (계수 가능한) 서수인 처치-클린 서수를 형성한다(아래 참조).

서수 표기법은 잊고 재귀 서수 자체에 대해서만 말하는 것은 유혹적이다.그리고 실제로 이러한 서수에 대한 표기법과 관련된 재귀 서수에 대한 진술도 있다.그러나, 가장 작은 무한 서수인 θ조차 많은 표기를 가지고 있고, 그 중 일부는 명백한 표기법(모든 자연수를 열거하는 가장 간단한 프로그램)과 동등하다는 것을 증명할 수 없기 때문에, 이것은 어려움으로 이어진다.

산술 체계와의 관계

계산 가능한 서수와 특정 형식 시스템(산술 포함, 즉 적어도 페아노 산술의 합리적인 조각) 사이에는 관계가 있습니다.

어떤 계산 가능한 서수는 너무 커서 어떤 서수 표기법 o로 주어질 수 있지만, 주어진 형식 시스템은 o가 실제로 서수 표기법임을 보여줄 만큼 강력하지 않을 수 있다: 시스템은 그러한 큰 서수에 대해 초한 유도를 보여주지 않는다.

예를 들어, 평소 1계 페아노 공리계에는 서수 ε0 쉽게 산술적으로.(그것은 가산)묘사될 수는 페아노 공리계 충분히 그것이 확실히 서수 있음을 보여 주기 강하지 않다;사실상, ε0에 초한 유도 페아노의 공리의 일관성에(정리를 증명하는 것(너머)ε0을 위해 초한 귀납 법 증명하지 않습니다.그그래서 괴델의 두 번째 불완전성 정리에 의해, 페아노의 공리들은 그 논리를 공식화할 수 없다. (이것은 굿스타인 수열에 대한 커비-파리 정리의 기초이다.)페아노 산술은 can보다₀ 작은 서수가 잘 정리되어 있음을 증명할 수 있기 때문에, 우리는 measures가₀ 페아노 공리의 증명 이론 강도를 측정한다고 말한다.

하지만 우리는 Peano의 공리를 훨씬 뛰어넘는 시스템에 대해 이것을 할 수 있다.예를 들어, 크립케-플레이트 집합론의 증명 이론 강도는 바흐만-하워드 서수이며, 사실 단순히 페아노의 공리에 더하는 것만으로 크립케-플레이트 집합론의 모든 산술적 결과를 얻기에 충분하다.

특정 재귀 서수

서술적 정의와 Veblen 계층

(칸토어 정상적인 형태를 보신)은 방정식을 만족하는 작은 것은 서수 ε0, ω α)({\displaystyle\omega ^{\alpha}=\alpha}, 시퀀스가 0,1에 있어서 가장 무한ω{\displaystyle \omega},ω ω{\displaystyle\omega ^{\omega}},ωω ω{\displaystyle\omega ^{\o 우리는 이미 언급했습니다.m $ega ^{\omega$ ...이 방정식을 만족시키는 다음 서수를 θ라고₁ 한다: 이것은 수열의 한계이다.

\displaystyle \varepsilon _{0}+1,\qquad \varepsilon _{0}+1}=\varepsilon _{0}\cdot \mega,\qquad \obe ^{0}+1}=(\varepsilon _0}^{0}^{\mega\q}) 등.}}}

보다 일반적으로 $,$ $\omega ^{\alpha }=\alpha$ $=$ $\omega ^{\alpha }=\alpha$ ${\$ $displaystyle$ $\iota$ \ $iota$ $\iota$ $}$ = \ $alpha }$ $\iota$ $\varepsilon _{\iota }$ $\varepsilon _{\iota }$ display $\omega ^{\alpha }=\alpha$ display $display$ display $（$ \ $displaystyle \zeta$ $}$ $\zeta _{0}$ $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ \ $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ } display $\zeta _{0}$ $\zeta _{0}$ display display $\zeta _{0}$ display display display display display display display display display display $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ display display display display display display display display display display $display$ display display display display display display display display display display $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ display display display $=\alpha$ 단, 그리스어 알파벳은 무한히 많은 문자를 $\varphi _{\gamma }(\beta )$ 있지 않으므로 보다 견고한 표기법을 사용하는 것이 $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ $:$ $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ β) = $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ ( $β$ $\varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }$ = β $(\displaystyle$ \ $varphi _0$ } $(\$ displaystyle \varphi $_0$ }) $및 =$ $^{\$ $dismega$ }. $\varphi _{\gamma +1}(\beta )$ + $\varphi _{\gamma +1}(\beta )$ ( $β$ ) { displaystyle \ $varphi _$ { \ $displaystyle$ $\beta$ \ $\beta$ varphi } ( $\varphi _{\gamma +1}(\beta )$ $β$ \ $displaystyle$ \ $\beta$ $varphi$ _ { \ $\varphi _{\gamma }$ displaystyle $\varphi _{\gamma }$ $\varphi _{\gamma }(\alpha )=\alpha$ )는 $\varphi _{\gamma +1}(\beta )$ $\beta$ $\beta$ $\varphi _{\gamma }(\alpha )=\alpha$ 의 $β$ ${\$ $displaystyle$ \ varphi $=$ \ $varphi$ 의 고정점입니다.)εβ{\displaystyle \varphi_{1}(\beta)=\varepsilon _{\beta}}), 그리고δ{\delta\displaystyle}가 모든γ<>은 α{\displaystyle \alpha}은φ γ{\displaystyle \varphi_{\gamma}의 -th 일반적인 고정 소수 점}}φδ(α){\displaystyle \varphi_{\delta}(\alpha)을 정의하 서수 있다.;δ{\displaystyle \gamma<>\delta}.φγ(α){\displaystyle \va의(그 정의에서 이렇게 하는 것으로 실체가 없는 변화, δ을{\displaystyle \delta}한계가 순서에φ δ( 있α){\displaystyle \varphi_{\delta}(\alpha)}이 제한 기능의 이 가족은 베블런 계층으로 알려져 있다.rph $\gamma <\delta$ _ ${\displaystyle$ \ $displays <\$ displaystyle \displays <\ $displays$ $\gamma <\delta$ 의 $\varphi _{\gamma }(\alpha )$ $경우$ (alpha $\varphi _{\gamma }(\alpha )$ ) : 기본적으로 인덱스를 1만 이동시켜도 무해합니다. $\varphi _{\gamma }$ is called the $\gamma ^{th}$ Veblen function (to the base $\omega$ ).

:φα(β)<>φγ(δ){\displaystyle \varphi_{\alpha}(\beta)<, \varphi _ᆯ(\delta)}만일 양쪽(α)γ{\displaystyle \alpha =\gamma}과β<>δ{\displaystyle \beta<>\delta})또는(α<>γ{\displaystyle \alpha<>\gamma}과β<>φ γ(δ){\displaystyl 주문했고요.e\beta<>\varphi_{\g $amma$ $displaystyle \alpha >\display)$ $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$ $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$ β $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$ $<(\displaystyle$ \ $varphi _{\alpha$ }(\ $displaystyle$ \varphi } <\display $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$

페퍼만-슈테 서수 및 그 이상

$\varphi _{\alpha }(0)=\alpha$ $\varphi _{\alpha }(0)=\alpha$ ) $=$ {\ $displaystyle \varphi$ _ ${\alpha }(0$ )=\ $alpha}$ 와 $\varphi _{\alpha }(0)=\alpha$ 같은 최소 서수는 Feferman-Schüte 서수로 알려져 있으며 일반적으로 $\Gamma _{0}$ 0 $(\$ _ ${0$ 으로 표기된다.이는 Veblen 계층 구조 및 덧셈만을 사용하여 0부터 시작하는 유한 표현식으로 쓸 수 있는 모든 서수의 집합으로 설명할 수 있습니다.페퍼만-슈테 서수가 중요한 이유는 정확히 말하자면, 더 작은 서수를 사용하여 설명할 수 없는 가장 작은(무한) 서수이기 때문이다.이는 "산술 초한재귀"와 같은 시스템의 강도를 측정합니다.

보다 일반적으로, δ는_α 덧셈과 베블렌 함수를 사용하여 작은 서수에서 얻을 수 없는 서수를 열거한다.

물론 Feferman-Schüte 서수를 넘어 서수를 기술하는 것은 가능하다.α $\alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }$ α \ $\alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }$ α \ $displaystyle \$ alpha \ map $sto$ \ $Gamma$ _ { \ $alpha }$ 의 $\alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }$ 을 열거하고, 그 고정점을 열거하는 등의 복잡한 방법으로 고정점을 계속 찾을 수 있으며, 이 과정의 α 단계에서 α가 얻어지는 첫 번째 순서수 α를 찾고 대각선을 계속한다.이 임시방편적인 방법으로이는 "작은" 베블렌 서수와 "큰" 베블렌 서수의 정의로 이어집니다.

추정 서수

페퍼만-슈테 서수를 훨씬 넘어서려면 새로운 방법을 도입해야 합니다.불행하게도 이것을 할 수 있는 표준적인 방법은 아직 없다: 그 주제에 있는 모든 작가들은 그들만의 표기법을 발명해낸 것 같다. 그리고 다른 체계들 사이에서 번역하는 것은 매우 어렵다.최초의 그러한 시스템은 1950년에 바흐만에 의해 도입되었고, 부크홀츠, 타케우티, 페퍼만, 악셀, 브릿지, 쉬테, 폴러스에 의해 다양한 확장과 변형이 설명되었다.그러나 대부분의 시스템은 특정 셀 수 없는 서수의 존재를 사용하여 새로운 셀 수 있는 서수를 구성하는 것과 같은 기본 개념을 사용합니다.이러한 정의의 예를 다음에 나타냅니다.서수 접기 함수에 관한 기사에서 보다 상세하게 설명되어 있습니다.

δ(α)는 0, 1, δ, δ로 시작하여 이전에 구성된 서수에 덧셈, 곱셈, δ를 반복 적용함으로써 구성할 수 없는 최소 서수로 정의된다(단, α는 α 미만의 인수에만 적용할 수 있으며, 확실하게 정의되어야 한다.

여기서 δ = is는₁ 첫 번째 셀 수 없는 서수이다.그렇지 않으면 함수 θ가 가장 작은 서수 θ에서 "θ_σ"가 되기 때문에 θα δα를 만족하는 임의의 서수 α에 대해 θ=θ: 특히 θ(α)=θ가 된다.단, allows를 포함시켰기 때문에 ((1+1)은 σ보다 크다.우리가 사용한 ω의 주요 성질은 ψ이 생산하는 어떤 서수보다 크다는 것이다.

더 큰 서수를 만들기 위해서는, 셀 수 없는 서수를 구성하는 더 많은 방법을 투입하여 by의 정의를 확장할 수 있다.순서수 접힘 함수에 관한 기사에서 어느 정도 설명한 바와 같이, 이를 위한 몇 가지 방법이 있습니다.

바흐만-하워드 서수(위 표기법으로는 하워드 서수, ,(()라고도₀_Ω+1 함)는 크립케-플라텍 집합론의 증명 이론적인 강도를 설명하기 때문에 중요한 것이다.실제로, 이러한 큰 서수의 주요 중요성과 그것들을 기술하는 이유는 위에서 설명한 바와 같이 특정한 형식 체계와의 관계이다.그러나 체르멜로-프랭켈 집합론은 말할 것도 없고 완전한 2차 산술과 같은 강력한 형식 체계는 현재로서는 도달할 수 없는 것으로 보인다.

바흐만-하워드 서수를 넘어서

이 밖에도 이전 수만큼 잘 알려지지 않은 여러 재귀 서수가 있습니다.첫 번째는 0( $\psi _{0}(\Omega _{\omega })$ $\psi _{0}(\Omega _{\omega })$ $)(\displaystyle \psi$ _ ${0}(\Omega$ 으로 정의되는 Buchholz의 서수입니다.앞의 표기법을 $\psi (\Omega _{\omega })$ 하면, $))」(\displaystyle \psi(\Omega$ })로 생략됩니다.Π 11−의proof-theoretic가 서수 C0{\displaystyle \Pi_{1}^{1}-CA_{0}},[1] first-order 이론의 산술을 허용하는 수량화에 대한 자연 번호뿐만 아니라 세트의 자연수, 그리고 저는 D<, ω{\displaystyle ID_{<>\omega}},``공식적인 이론의 유한하게를 귀납적 정의다.s".[2]

다음은 $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ - $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ + $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ (\ $displaystyle \Pi$ _ ${1$ }^{ $1}-CA+$ 의 증명 이론 서수인 Takeuti-Feferman-Buchholz 서수이다. $BI$ ^[3] 및 2차 산술의 또 다른 서브시스템인 $\Pi _{1}^{1}$ 1 {\ $displaystyle \Pi$ _ ${1}^{1$ } $\Pi _{1}^{1}$ - 이해 + 반한 유도, $ID_{\omega }$ $ID_{\omega }$ ${\$ {\ $displaystyle ID_{\obega$ $ID_{\omega }$ 의 형식 이론인 $"{display$ style $\ope }$ - 반복 유도 $\omega$ 정의"^[4] $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ 표기법에서는 $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ 0 ( $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ + $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ $){$ $displaystyle \psi _{\Omega$ _ ${\Omega }+1$ }로 정의됩니다 $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ 이것은 Buckholz의 psi ^[5]함수 범위의 최상입니다.그것은 David Madore에 ^{[citation needed]}의해 처음 이름이 붙여졌다.

다음 서수는 큰 숫자 서수와 숫자를 Agda로 기술하는 코드 조각에서 언급되며, "AndrasKovacs"에 의해 $\psi _{0}(\Omega _{\omega +1}\cdot \varepsilon _{0})$ 0 ( $\psi _{0}(\Omega _{\omega +1}\cdot \varepsilon _{0})$ + 1 $\psi _{0}(\Omega _{\omega +1}\cdot \varepsilon _{0})$ 0 $)\displaystyle \psi _{\Omega +1}\cdot \varepsilon$ _{ $0$ 으로 정의됩니다.

다음 서수는 앞서 말한 것과 같은 코드 조각으로 $\psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})$ 0 $displaystyle$ }})으로 정의됩니다 $\psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})$ $ID_{<\omega ^{\omega }}$ D $ID_{<\omega ^{\omega }}$ < $ID_{<\omega ^{\omega }}$ （ \ $displaystyle ID$ _ { \ $메가$ ^ { \ $메가 }$ $ID_{<\omega ^{\omega }}$ 의 증명 이론 순서입니다.

다음 서수가 다시 한번, 코드를 이 동일한 조각,ψ 0(Ω 0ε){\displaystyle \psi_{0}(\Omega_{\varepsilon_{0}})로}에서 정의한, 1세 D의proof-theoretic가 서수 <, ε 0{\displaystyle ID_{<>\varepsilon_{0}}}. 일반적으로, 1세 D의proof-theoretic가 서수 <, ν{\displa게 거론되고 있다.IDystyle $_{<\nu$ }}은 $ID_{<\nu }$ (는 $)$ 0(\ $displaystyle \psi _{0}(\nu })$ 과 같습니다.이 예에서는 0 $(\$ _ ${0})$ 이 $\Omega _{0}$ 제로가 아닌 첫 번째 서수인 1 $displaystyle$ 1)을 $나타냅니다$ .

지금까지의 대부분의 서수는 Buckholz 히드라 게임(예: $\psi (\Omega _{\omega })=+(0(\omega ))$ ( $\psi (\Omega _{\omega })=+(0(\omega ))$ ) $\psi (\Omega _{\omega })=+(0(\omega ))$ + ( $\psi (\Omega _{\omega })=+(0(\omega ))$ ( $)$ ) \ $displaystyle$ \ $psi$ ( \ $Omega _$ { \ } ) = + ( $0$ ( \ 메가 $)$ ）。

다음은 David Madore에 의해 § $\varepsilon _{I+1}$ + $\varepsilon _{I+1}$ 의 "카운터블" 붕괴라고 $언급되는 이름 없는$ ^[6]서수입니다. $I$ 서 I{\ $displaystyle$ $\varepsilon _{I+1}$ I $}$ 는 $I$ 접근할 수 없는 첫 번째 추기경입니다(= § $\Pi _{0}^{1}$ \ $displaystyle \Pi$ _ ${0}^1}}$ - 설명 $\Pi _{0}^{1}$ 불가).이는 순서수 클래스(KPi)의 재귀적 접근 불능에 의해 증강된 크립케-플레이텍 집합론의 증명 이론 순서수이다. 산술적으로는 $\Delta _{2}^{1}$ 1 $\Delta _{2}^{1}$ \ $displaystyle \Delta$ _ ${2}^1$ } $-$ 이해 $\Delta _{2}^{1}$ + 초한 유도이다.값은 알 수 없는 함수를 사용하는 $\psi (\varepsilon _{I+1})$ $\psi (\varepsilon _{I+1})$ ( $\psi (\varepsilon _{I+1})$ + $\psi (\varepsilon _{I+1})$ 1 $\psi (\varepsilon _{I+1})$ ) { $displaystyle$ \ $psi$ ( \ $varepsilon$ _ { $I$ + $1$ } ) } 입니다 $\psi (\varepsilon _{I+1})$ .

다음은 데이비드 메이도어에 의해 § $\varepsilon _{M+1}$ + $\varepsilon _{M+1}$ 의 "계수 가능한" 붕괴로 언급되는 또 다른 이름 없는 서수입니다. $M$ 서M {\ $display style$ \ $varepsilon$ $M$ _ ${M+1$ ^[6]은 최초의 마흘로 추기경입니다.이것은 KPM의 증명 이론 서수이며, 마흘로 ^[7]기수에 기초한 크립케-플라텍 집합론의 확장입니다.이 값은 Buckholz의 다양한 psi ^[8]함수 중 하나를 $\psi (\varepsilon _{M+1})$ 하여 $($ ( $\psi (\varepsilon _{M+1})$ M + $\psi (\varepsilon _{M+1})$ 1 ) { $displaystyle$ \psi ( \ $varepsilon _$ { M + $1$ } )와 $\psi (\varepsilon _{M+1})$ 같습니다.

다음은 David Madore에 의해 § $\varepsilon _{K+1}$ + $\varepsilon _{K+1}$ 의 "계수 가능한" 붕괴라고 언급되는 또 다른 이름 없는 서수입니다. $K$ 서K {\ $displaystyle$ K $}$ 는 $K$ $\Pi _{1}^{1}$ 의 약소형 $(=$ 1 \ $displaystyle \Pi$ _ ${1}}$ $\varepsilon _{K+1}$ ^[6] 묘사할 $\Pi _{1}^{1}$ 수 없는 추기경입니다.이것은 Kripke-Platek 집합 이론 + δ3 - Ref의 증명 이론 순서수이다.이 값은 Rathjen의 Psi ^[9]함수를 사용하여 $\Psi (\varepsilon _{K+1})$ ( $\Psi (\varepsilon _{K+1})$ K + $\Psi (\varepsilon _{K+1})$ ) { $displaystyle$ \Psi ( \ $varepsilon _$ { K + 1) } 와 $\Psi (\varepsilon _{K+1})$ 같습니다.

다음으로 David Madore에 의해 $\varepsilon _{\Xi +1}$ $\varepsilon _{\Xi +1}$ $(\$ _ ${\Xi$ $\Xi$ + $1$ ^[6]의 "카운터블" 붕괴라고 하는 이름 없는 서수가 있습니다.여기서 $(\displaystyle$ \ $Pi$ _ ${0}^2$ })는 $\Xi$ 첫 번째 $\Pi _{0}^{2}$ (\ $displaystyle$ \Pi _{0}^2 $})$ 입니다 $\Pi _{0}^{2}$ .이것은 Kripke-Platek 집합 이론 + δ-Ref의 증명 이론 순서수이다.이 값은 Stegert의 Psi 함수를 $\Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}$ 하여 δ X $\Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}$ + $\Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}$ ${\$ +1}과 $\Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}$ $같습니다.$ $X$ 서X {\ $displaystyle$ X} = $X$ ( $\omega ^{+}$ + \ $displaystyle$ \ $\omega ^{+}$ ; $P_{0}$ 0 $displaystyle$ $P_{0}$ $\epsilon$ ）。

다음은 데이비드 메이도어가 ^[6]안정성의 증명 이론 서수라고 지칭한 이름 없는 마지막 서수입니다.이것은 Kripke-Platek 집합론의 확장인 안정성의 증명 이론 순서수이다.이 값은 스테거트의 Psi 함수를 사용하는 $\Psi _{X}^{\varepsilon _{Y+1}}$ $\Psi _{X}^{\varepsilon _{Y+1}}$ $\Psi _{X}^{\varepsilon _{Y+1}}$ $\Psi _{X}^{\varepsilon _{Y+1}}$ + 1 {\ $displaystyle$ \ $Psi$ _ ${X}^{Y+1$ }과 $\Psi _{X}^{\varepsilon _{Y+1}}$ 같습니다 $.$ $\omega ^{+}$ 서 X{\ $displaystyle$ $\omega ^{+}$ ; $P_{0}$ 0 \ $display P_0}$ style ）。 $X$

다음은 많이 알려져 있지는 않지만 여전히 상당히 유의한 서수 그룹입니다(오름차순).

2차 산술의 증명 이론 순서수.
Taranovsky의 C 서수 표기법의 가능한 한계(표기체계의 충분한 근거가 있다고 가정할 경우)
ZFC의 증명 이론 순서.

"재귀 불가" 재귀 서수

구체적인 기술을 가질 필요가 없어짐으로써, 보다 큰 재귀적 계산 가능한 서수를 다양한 강력한 이론의 강도를 측정하는 서수로서 얻을 수 있다; 대략적으로 말하면, 이러한 서수는 이론이 잘 정리되어 있지 않은 가장 작은 서수이다.2차 산술, 체르멜로 집합론, 체르멜로-프렝켈 집합론 또는 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 보다 강하고 강력한 이론을 여러 가지 큰 기수 공리와 함께 취함으로써, 사람들은 매우 큰 재귀적 서수를 얻을 수 있다. (엄밀히 말하자면, 이 모든 것이 실제로 구성, 강도에 의한 서수라는 것은 알려져 있지 않다.이론의 gth는 오직 더 강한 이론의 서수라는 것을 증명할 수 있다.따라서 큰 기본 공리에 대해서는 이것이 매우 불명확해집니다.)

재귀 서수를 넘다

교회-클린 서수

재귀적 서수 집합의 최상위는 재귀적으로 설명할 수 없는 가장 작은 서수이다. (정수의 재귀적 순서의 순서는 아니다.)이 서수는 Church-Kleen 서수라고 불리는 계산 가능한 서수이다. $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ K $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ \ $display$ style \ $obega$ _ { $1}^{\mathrm {CK} }$ 。 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ § 1 C $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ \ $displaystyle$ \ $obega$ _ { $1}^{\mathrm$ {CK $}}$ 는 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 최소 비재귀 서수이며, 이 시점부터 서수를 정확하게 기술할 수 있는 것은 아닙니다.정의할 수 있는 것은 그뿐입니다.그러나 이 함수는 첫 번째 비수치인 $\omega _{1}$ ({ $displaystyle\obega_$ 1 $})$ 보다는 훨씬 적지만 기호대로 $({$ 과 같이 여러 가지 방식으로 동작합니다.예를 들어 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 1 $({$ 를 사용하여 순서 붕괴 함수를 정의할 수 있습니다 $.$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ § $(\$ _ ${1$ 대신.

허용 서수

처치-클레인 서수는 크립케-플라텍 집합론과 다시 관련이 있지만, 지금은 다른 방식으로: 바흐만-하워드 서수는 KP가 초무한 유도를 증명하지 않는 가장 작은 서수인 반면, 처치-클레인 서수는 괴델 우주의 건설이 알파 단계, 즉 위 단계인 알파를 산출하는 가장 작은 서수이다. $L_{\alpha }$ 의 $L_{\alpha }$ 모델 $L_{\alpha }$ (\ $displaystyle L_{\alpha$ 이러한 서수를 허용수라고 하며, 따라서 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 1 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ {\ $displaystyle \obega$ _ ${1}^{\mathrm {CK}}}$ 이 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 최소 허용서수이다(KP에 무한의 공리가 포함되지 않은 경우 in를 초과함).

색스의 정리에 따르면, 계산 가능한 서수는 정확히 교회-클린 서수와 유사한 방식으로 구성되지만 신탁이 있는 튜링 기계를 위한 것이다.허용 가능한 $\alpha$ α {\ $displaystyle \alpha }$ -번째 $\alpha$ 서수에 $\alpha$ $\omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }$ K $\omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }$ {\ $displaystyle \alpha }^{\mathrm {CK} }$ 라고 $\omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }$ 적는 경우가 있다.

허용 서수 초과

$\omega _{\omega }^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{\omega }^{\mathrm {CK} }$ { $displaystyle$ \ $omega$ }^{\ $mathrm$ {CK $}$ }}는 $\omega _{\omega }^{\mathrm {CK} }$ 허용 서수의 최소 한계(후술)이지만, 서수 자체는 허용되지 않는다. $L_{\alpha }\cap P(\omega )$ L α $L_{\alpha }\cap P(\omega )$ P ( $L_{\alpha }\cap P(\omega )$ ) \ $display style$ L _ { \ $alpha }$ \ $cap$ P ( \ $omega )$ 가 $\alpha$ $L_{\alpha }\cap P(\omega )$ $\Pi _{1}^{1}$ 1 { $display$ style \ $Pi$ _ { $1 }^{1$ } - ^[4]^[11]이해의 $\Pi _{1}^{1}$ 모델로서 $L_{\alpha }\cap P(\omega )$ $.$

α가 α\ $displaystyle\alpha$ $}$ $\alpha$ $\alpha$ 인 허용서수와 허용한계 또는 이와 동등하게 α\ $displaystyle\alpha$ 인 서수를 재귀적 접근불능이라고 한다.재귀적으로 액세스할 수 없는 서수와 재귀적으로 액세스할 수 없는 한계를 모두 재귀적으로 하이퍼 ^[4]액세스 불가능이라고 합니다.이러한 방식으로 대형 서수설은 대형 추기경설과 매우 유사하다.예를 들어, 재귀적으로 Mahlo 서수를 정의할 수 있습니다.이것은 $\alpha$ α의 $\alpha$ $α(\displaystyle$ \alpha $)$ - 재귀적으로 $\alpha$ 닫힌 무한 서브셋(\ $displaystyle \alpha)$ 이 $\alpha$ 허용 가능한 서수(Mahlo 기수 정의의 재귀적 유사)를 포함하도록 하는 $\alpha$ α(\ $displaystyle$ \ $alpha ）$ 입니다 $\alpha$ .그러나 여기서 우리는 여전히 계산 가능한 서수에 대해 이야기하고 있다는 것에 주목한다. (체르멜로-프랭켈 집합 이론에서는 접근 불가능한 또는 마흘로 추기경의 존재를 증명할 수 없지만, 재귀적으로 접근 불가능한 또는 재귀적인 마흘로 서수의 정리는 ZFC의 정리이다: 사실 정규 추기경은 재귀적으로 마흘로 그리고 더 많은 것을 제한하더라도.ZFC는 계수 가능한 서수에 대해 재귀적으로 Mahlo 서수의 존재를 증명한다.그러나 이들은 크립케-플라텍 집합 이론의 범위를 벗어납니다.) $(\$ 이 $\Pi _{3}$ 반사되는 서수를 ^[12]재귀 약소형이라고 한다.

반사 및 비투영성

만약 L({\displaystyle L_{\alpha}}각 Γ의 특정한 반사 속성을 충족하는 지위가 .[13]-formula ϕ{\displaystyle \phi}{\displaystyle \Gamma}식 Γ{\displaystyle \Gamma}의 집합을 들어, 제한 서수 α{\displaystyle \alpha}Γ{\displaystyle \Gamma}-reflecting라고 불린다.e또는다이널은 Kripke-Platek 집합 이론을 $\Pi _{3}$ 3 \ $Displaystyle \Pi$ _ ${3}}$ - 반사 $\Pi _{3}$ 스키마에 의해 증강하는 이론인 KP+δ-ref와₃ 같은 이론의 순서형 분석에 나타난다.그들은 또한 약하게 콤팩트한 추기경이나 형언할 ^[14]수 없는 추기경들과 같은 셀 수 없는 추기경들의 "재귀적 유사체"로 여겨질 수 있다.

$\alpha$ 는 $\alpha$ 총 $\alpha$ (\ $displaystyle\alpha)-$ 재귀주사함수 $\alpha$ $\alpha$ α(\ $displaystyle$ \alpha $)$ 를 $\alpha$ 더 작은 서수에 $\alpha$ 않는 경우 비투사적 서수α(\ $displaystyle$ $\alpha$ $)$ 라고 $\alpha$ 한다.(이것은 일반 추기경의 경우 대부분 사실이지만, 우리는 주로 계수 가능한 서수에 관심이 있습니다.)투사 불가능은 허용 가능한 상태, 재귀적으로 접근할 수 없는 상태 또는 재귀적으로 ^[11]Mahlo보다 훨씬 강력한 상태입니다.이는 괴델 우주 L이 단계α까지 KP + $\Sigma _{1}$ 1의 $L_{\alpha }$ $(\$ $display$ $style$ \ $Sigma$ _ ${1})$ 를 $L_{\alpha }$ $\Sigma _{1}$ 생성한다는 진술과 같다.단, $\Sigma _{1}$ ({ $displaystyle \Sigma$ _ ${1}}$ - separation $\Sigma _{1}$ $V=L$ (V $V=L$ $V=L$ {\ $displaystyle$ V $=L$ 이 존재하지 않는 경우)은 투사 불가능을 암시할 만큼 강한 공리 스키마가 아니며, 실제로는 $KP$ $(\displaystyle$ KP $)$ + $\Sigma _{1}$ - $sigma$ _1 $}$ 의 전이 $\Sigma _{1}$ 모델이 존재한다. $>\omega$ > \ $displaystyle$ > \ $omega$ $>\omega$ ^[15] $>\omega$ 。

"증명할 수 없는" 서수

우리는 여전히 셀 수 있는 더 큰 서수를 상상할 수 있다.예를 들어, ZFC가 전이 모델(단순한 일관성 가설보다 강하고 접근할 수 없는 기수의 존재에 의해 암시되는 가설)을 갖는 경우, L $L_{\alpha }$ {\ $displaystyle L_{\alpha }}$ 이 $L_{\alpha }$ ZFC의 모델인 셈 $L_{\alpha }$ 한 α $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha$ }가 $\alpha$ 존재한다.그러한 서수는 (구조에 의해) 그 존재를 증명할 수 없다는 점에서 ZFC의 힘을 벗어난다.

클수록 가산 ordinals, 안정적인 ordinals, 형언할 수 없음 조건이나 그 α{\displaystyle \alpha}정의될 수 있는 것처럼 L({\displaystyle L_{\alpha}}은1-elementary submodel L, 존재의 이 ordinals이 될 수 있다는 것을 증명에 ZFC,[16]과 질문들은 긴밀히 연관되nonprojectible나.dina모델 이론의 ^[6]관점에서요.정확히 말하면, 카운트 가능한 $({displaystyle \alpha})$ 를 $\alpha$ 안정 iff $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L$ $({displaystyle L_{\alpha}}\prec$ _ ${\Sigma$ _ ${1$ }} $L$ ^[17]^[18]이라고 합니다.

안정된 서수의 변형

이것들은 안정된 서수의 약화된 변형이다.

계수 가능한 $\alpha$ $(+)$ { $(+\beta )$ $\alpha}$ 는 (+) {displaystyle $(+\$ $beta$ $)}$ - stable $(+\beta )$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ ≺ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ $α$ + $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }$ {\ $displaystyle L_{\$ alpha } \ $prec$ _{\ $Sigma$ $(+\beta )$ 라고 불립니다.
계수 $\alpha$ 가능한 $\alpha$ 는 $\alpha$ $(^{+})$ { $displaystyle$ $\alpha$ $(^{+})$ - stable $(^{+})$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ α $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ display $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ _ ${\$ $alpha$ } \ $prec$ _ {\ $Sigma$ _ ${1$ } L _ {\ $beta$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ 라고 $(^{+})$ 불리며, $\beta$ 서 $\beta$ β ${\displaystyle$ \beta $\alpha$ $}$ 는 $\beta$ 서수보다 $\alpha$ 크기입니다.
계수 $\alpha$ 가능한 $(+)$ 는 $(^{++})$ { $displaystyle$ $(^{+})$ - stable $(^{++})$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ α $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ 1 $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ β ${\$ _ _ _ _ _ _ _ {\ $Sigma$ _ ${1$ } L _ ${\beta$ 라고 $(^{++})$ 불리며, $\beta$ 서 $\beta$ β ${\style$ \ $beta }$ 는 $\beta$ 서수보다 작은 서수이다.style $\alpha$ $\alpha$ ^[19] 입니다.
countable $(\displaystyle$ \ $alpha$ $)$ 는 $\alpha$ 접근 불능 $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ α $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ (\ $displaystyle L_{\alpha}\prec$ _ ${\Sigma$ 라고 불리며, $\beta$ 서 $β(\$ displaystyle \ $beta$ $\alpha$ $})$ 는 $\beta$ 순서형 $α$ 보다 덜 재귀적으로 큽니다.
계수 가능한 $(\displaystyle$ \ $alpha$ $)$ 는 $\alpha$ Mahlo-stable $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ α $\alpha$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ 1 $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ β {\ $Sigma _{1$ } $L_{\beta$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ 라고 $\beta$ 불리며, $\beta$ 서 $\beta$ β(\ $displaystyle \beta$ $})$ 는 Mahlo-stylephanalα보다 $\alpha$ 작은 $크기$ 입니다.
$L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $display$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ $L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }$ β { \ $display style$ L $_$ \ $alpha }$ _ $recision l$ a a a a a a a a a a a a a a \ \ $(+1)$ + $1 ）$ \ $displaystyle$ ( + 1 ) - style ( + $1$ ) - stable $(+1)$ Ordisplay $(+1)$ $\beta >\alpha$ > $\beta >\alpha$ \ alphanal > \ $alpha }$ 가 $\beta >\alpha$ 있는 경우 카운터블 $\alpha$ $(+1)$ a $\alpha$ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

유사 웰 오더

클린의 표기 체계에서 일부는 서수를 나타내고 일부는 그렇지 않다.Kleene 표기법의 서브셋이며 순서 유형 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 1 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ K $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ K { $displaystyle$ \ $obega$ _ { $1}^{\mathrm {CK} }$ . . 1 . one one which which which which whicherableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerableerable which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which which1 CKKKKKKKKKK\ $displaystystystystystystyleen\$ 그래서 어떤 면에서는 질서정연하다.예를 들어, 그 위에 산술 연산을 정의할 수 있습니다.그러나 초기 순서가 잘 된 부분이 어디에서 끝나며 최소 요소가 없는 부분이 어디에서 시작되는지를 효과적으로 판단할 수는 없습니다.

재귀 의사 웰오더의 예로서 S를 ATR₀ 또는 초산술 δ모델을 가지지만 초산술 δ모델이 없는 다른 재귀 공리화 가능 이론으로 하고 (필요에 따라) S를 스콜렘 함수로 보수적으로 확장한다.T를 (본질적으로) 유한 부분 모델 S의 트리라고 하자: $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ , $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 2, $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ({ $style x_{1$ }, $x_{2},$ ..., $x_{n})$ 의 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 시퀀스는 T if S + m m ( ( m ) m with with with with with with_⌈φ⌉ ) （ n ）。다음으로 T의 클라이네-브라우어 순서는 재귀 의사 배열입니다.

레퍼런스

큰 숫자 서수를 기술하는 대부분의 책들은 증명 이론으로 되어 있고, 불행하게도 절판되는 경향이 있다.

재귀 서수

울프람 폴러스, 증명 이론, 스프링거 1989 ISBN0-387-51842-8(베블렌 계층 및 일부 중요 서수의 경우).이것은 아마도 큰 숫자 서열에 관한 가장 읽기 쉬운 책일 것이다.
가이시 다케우티, 증명 이론, 1987년 제2판 ISBN 0-444-10492-5(서수도용)
Kurt Schüte, 증명 이론, Springer 1977 ISBN 0-387-07911-4(베블렌 계층 및 일부 중요 서수용)
Craig Smorynski, 다양한 수상 체험 수학.Intelligence 4(1982) No. 4, 182–189는 베블렌 계층에 대한 비공식적인 설명을 포함하고 있다.
Hartley Rogers Jr., McGraw-Hill 이론(1967) ISBN 0-262-68052-1 (재귀 서수와 교회-클린 서수를 기술함)
Larry W. Miller, Normal Functions and Constructive Ordinal Notations, The Journal of Symbolic Logic, 제41, 제2권, 1976년 6월, 439~459쪽, JSTOR 2272243,
Hilbert Levitz, 초무한 서수 및 주석: 미개시의 경우 설명 기사(8페이지, PostScript)
허먼 루게 저벨, 진실과 입증 가능성, 원고 진행 중

재귀 서수를 넘다

Barwise, Jon (1976). Admissible Sets and Structures: an Approach to Definability Theory. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag. ISBN 3-540-07451-1.
Hinman, Peter G. (1978). Recursion-theoretic hierarchies. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag.

재귀 및 비재귀 서수 모두

마이클 래스젠, "서수 분석의 영역" S. B. 쿠퍼와 J.의트러스 (ed.) : 집합과 증명 (Cambridge University Press, 1999) 219~279.Postscript 파일에서.

인라인 참조

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목차

재귀 서수에 대한 일반론

서수 표기법

산술 체계와의 관계

특정 재귀 서수

서술적 정의와 Veblen 계층

페퍼만-슈테 서수 및 그 이상

추정 서수

바흐만-하워드 서수를 넘어서

"재귀 불가" 재귀 서수

재귀 서수를 넘다

교회-클린 서수

허용 서수

허용 서수 초과

반사 및 비투영성

"증명할 수 없는" 서수

안정된 서수의 변형

유사 웰 오더

레퍼런스

재귀 서수

재귀 서수를 넘다

재귀 및 비재귀 서수 모두

인라인 참조