비구구체 서수

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수학, 특히 정해진 이론에서 비반복 서수는 모든 재귀 서수보다 더 큰 카운트 가능한 큰 서수이므로 서수 붕괴 함수를 사용하여 표현할 수 없다.

교회-클레인 서수형 및 변형

가장 작은 비복귀 서수형은 교회 클리네 서수형, Ω 1 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$CK$}}}$이며$,$ 그 순서 유형은 모든 재복귀 서수식의 집합이다.재귀 서수의 후속은 재귀적이므로, 교회-클레인 서수는 한계 서수형이다.또한 초산술적이지 않은 가장 작은 서수형이며, Ω 이후 가장 작은 허용 서수형이다.$\Omega {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}^{}}$ K ${\$ 표기법은 모든 카운트 가능한 서수의 집합인 첫 번째 언카운트할 수 없는 서수인 Ω을
₁ 참조한다$$.$\Omega {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}^{}}$ K ${\$ Ω의 -recursive$$ 하위 집합은 정확히 Δ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\$}:{1$}:{$1} 하위 집합이다$$.

서수 α는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}\mathsf{\alpha }}$ K ${\displaystyle P\mathsf{}}$ ${\$일 경우 허용된다$.$

상대화된 Church-Kleene 서수 $\Omega {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ {\$displaystyle \omega _{$1}^{x}}는$$ x-computable 서수들의 우월성이다.

${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{K}}_{}^{}}$ ${\$는 스티븐 G. 심슨에 의해 처음 정의되고 "위대한 교회-클레인 서수"로 명명된 교회-클레인 서수식의 확장이다$.$이것은 허용 가능한 서수의 가장 작은 한계지만, 이 서수는 인정되지 않는다.${\displaystyle {또는\mathrm{}}_{}^{}}$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ P (${\displaystyle \Omega }$ $displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf{P}(\omega )}}\$cap {\mathsf {$}}}}(\$ - compension의 모델일$$ 정도로 그의 α가 가장 작다.

재귀서수

재귀적 서수와 혼동하지 않는 재귀적 x 서수는 비귀속 서수의 일종이다.

서수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$이(${\displaystyle }$) 허용되고 자격증 한도가 허용되는 경우(α ${\displaystyle \alpha }$이(가) 허용 가능한 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$} th$$ acceptable인 경우 재귀적으로 접근할 수 없다고 한다$$.Alternatively, it is recursively inaccessible if ${\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KPi}}}$, an extension of Kripke–Platek set theory based on an inaccessible cardinal; or, lastly, on the arithmetical side, such that ${\displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}$ is a model$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$} $-$ 이해.$$

순서형 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}은(는) 재귀적으로 액세스할 수 없고 재귀적으로 액세스할 수 없는 한계인 경우 재귀적으로 하이퍼 액세스 가능한 항목이라고 하며$$, 여기서 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha}$은(는) 재귀적으로 액세스할 수 없는 $\alpha {\displaystyle }${\$displaysty \alpha }$이다."하이퍼 액세스 불가 추기경"처럼, 다른 작가들은 이 용어에 대해 상충한다.

만약 그것이 허용돼 있는 서수 α{\displaystyle \alpha}귀납적 Mahlo고α{\displaystyle \alpha}-recursive 기능을 위해 f:α → α{\displaystyle f:\alpha \rightarrow \alpha}이 허용 β<>, α 그런{\displaystyle \beta<>\alpha}이{f(γ)∣ γ ∈ β}⊆ β{\displayst라고 불린다.yle \l$eft\{f(\f$)\mid $\in \in \right\}\displayeq \displaystyle$ \property$$}}($,$ β {\$displaystyle$ $\pair$ })는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyf}$에 따라 닫힌다$$.$$

서수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ -반사되거나$$ 동등하게^[1] 2-적용이 가능한 경우 반복적으로 약하게 콤팩트하다고 한다$$.

안정적 서수의 약화

안정적인 서수들은 가장 큰 비구수 서수들 중 하나이다.마구간에는 여러 가지 약화가 있다.

• 카운트 가능한 서수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}을$$(를$){\displaystyle }$ (${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (+1)$-stable$$ $L{\displaystyle {}_{}{}_{}{\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}{\alpha }_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}라고 한다$.$${\displaystyle \mathrm{가장}}$ 작은${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (+1)}$ 안정형$$ 서수는 가장 작은 반복적으로 약한 소형 서수보다 크다.
  • 일반적으로 계수 가능한 서수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) ${\displaystyle (+}$ ${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle (+\beta )}$ -안정적인$$ L ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ α${\displaystyle {}_{}{}_{}{\alpha }_{}}$+ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$1}$L{\alpha +\$alpha +\$beta$ +\beta$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$
• A가산 서수 α{\displaystyle \alpha}(+){\displaystyle(^{+})}-stableiff Lα ⪯ 1Lα+{\displaystyle L_{\alpha}\preceq _{1}L_{\alpha ^{+}}},β+{\displaystyle\beta ^{+}}은 가장 작은 허용 서수>β{\displaystyle>\beta}가 있다. 가장 작은라고 불린다. (+${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle (^{+}}$ -modular$$ ordinal은 가장 작은${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (+1)$-message보다$$ 크다.
• A가산 서수 α{\displaystyle \alpha}(++){\displaystyle(^{++})}-stableiff Lα ⪯ 1Lα++{\displaystyle L_{\alpha}\preceq _{1}L_{\alpha ^{++}}},β+{\displaystyle\beta ^{+}}과 β++{\displaystyle\beta ^{++}}두개의 작은 허용 ord라고 불린다.inals> ${\displaystyle >\beta$ 가장 작은${\displaystyle {}^{(+}}$+${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle (^{+})$ -안정적인$$ 서수는 가장 작은 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ -반사하는$$ 것보다 크다.
• A가산 서수 α{\displaystyle \alpha}inaccessibly-stable iff 나는 어디β{\beta\displaystyle}가장 작은 재귀적으로 접근할 수 없는 서수>α ⪯ 1Lβ{\displaystyle L_{\alpha}\preceq _{1}L_{\beta}},;α{\displaystyle>\alpha}가 있다. 가장 작은inaccessibly-stable가 서수lar이라고 불린다.ger보다가장 작은${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$+ ) ${\displaystyle (^{+})$ -tempts$$.
• A가산 서수 α{\displaystyle \alpha}라고 불린다 Mahlo-stable iff Lα ⪯ 1Lβ{\displaystyle L_{\alpha}\preceq _{1}L_{\beta}},β{\beta\displaystyle}가장 작은 재귀적으로 Mahlo 순서>α{\displaystyle>\alpha}가 있다. 가장 작은Mahlo-stable 서수가 큰보다 가장 작은.inaccess이삭이삭이삭이삭이삭바삭한
• A countable ordinal ${\displaystyle \alpha }$ is called doubly ${\displaystyle (+1)}$-stable iff ${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }\preceq _{1}L_{\beta +1}}$.가장 작은${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (+1)}$ 안정$$ 서수는 가장 작은 Mahlo stable보다 크다.

큰 재귀 서수

• $최소$ ${\displaystyle {순서형}_{}}$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha },$ L${\displaystyle {}_{}{}_{}}$α α ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1 L$$ {\$displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}}}},$ 여기서$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \beta }$은 돌출되지 않는 순서형이다.
• 한 서수 α{\displaystyle \alpha}α{\displaystyle \alpha}-stable ordinals의 α{\displaystyle \alpha}은 제한 또는, 집합 X){β<>α∣ Lβ ≺ Σ 1Lα}{\displaystyle X=\left\{\beta<>\alpha\mid L_{\beta}\prec _{\Sigma_{1}}L_{\alpha}\right\}}에 끌려가는 사람들이nonprojectible 있다.에서${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha$ $\}.$
• ramified 분석의 순서, 종종 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 기록된다$.$This is the smallest ${\displaystyle \beta }$ such that ${\displaystyle L_{\beta }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}$ is a model of second-order comprehension, or ${\displaystyle L_{\beta }\models {\mathsf {ZFC^{-}}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {Z$파워셋 공리가 없는$$ $FC}.$
• $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α${\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle p{}^{}\mathsf{K}}$ ${\displaystyle P{}_{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ 1과 같은 최소 $서수{\displaystyle }$$α$ {\$displaystyle$ $L_${\$alpha }\model {\mathsf {KP}+'\omega _{1}{\textrm {exist}'}}$이${\displaystyle {(}^{}}$가) ${\displaystyle {\text{있다}}^{}}.$이 서수는 아라이 도시야스(아라이 도시야스)의 특징을 가지고 있다.^[2]
• 최소 ${\displaystyle {서수}_{}}$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}displaystyle{}_{}}$ $\alpha$ \alpha ${\displaystyle {\backslash \mathsf{}}^{}}c$ - +${\displaystyle {}^{}\Omega \mathsf{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$이 ${\displaystyle {\text{존재}}^{}}$하며$,$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ {\$displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf$ {$ZFC^{-}}+}\omega _{1}{\textrm {exist$
• 안정성이 가장 낮은 서수.계수 가능한 서수를 안정 L ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1{\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ 1 L ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}L$

참조