코이넥스 함수

수학에서 Koenigs 함수는 복잡한 분석과 역동적인 시스템에서 발생하는 함수다.1884년 프랑스의 수학자 가브리엘 코에니그스에 의해 소개된, 복잡한 숫자의 단위 디스크의 단발적인 홀로모픽 매핑, 즉 매핑의 세미그룹을 그 자체로 확장한 것으로서 표준적인 표현을 하고 있다.

Koenigs 함수의 존재와 고유성

D를 복잡한 숫자의 단위 디스크가 되게 하라.f는 그 자체로 D를 매핑하는 홀로모르픽 함수가 되어, 점 0을 고정시키고, 점 0은 동일하게 0이 아니며 D의 자동형성(즉, SU(1,1)의 매트릭스에 의해 정의된 뫼비우스 변환이 아니다.

Denjoy-Wolff 정리에 의해 f leafs는 각 디스크 z < r과 f의 반복은 콤팩타에서 0으로 균일하게 수렴된다: 사실 0 < r < 1,

$\displaystyle f(z) \leq M(r) z }$

m(r )이 있는 z ≤ r의 경우 < 1. 더욱이 f '(0) = 0 < λ < 1이 있는 경우.

Koenigs (1884)는 H(0) = 0, h '(0) = 1, 슈뢰더의 방정식이 만족되는 등 Koenigs 함수라고 불리는 D에 정의된 고유한 홀로모르픽 함수 h가 있음을 증명했다.

${\displaystyle h(f(z)=f^{\premium }(0)h(z)~.}$

함수 h는 정규화된 반복측정물의 콤팩트(compacta)에 ${\displaystyle {대한}_{}}$ 균일한 한계로${\displaystyle ,}$ g n${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle f^{}z}$ )${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{$}{$n}(z)}$.

더구나 f가 단발성이라면 h도 마찬가지다.^[1][2]

그 결과, f(및 h)가 단일한 경우, D는 오픈 도메인 U = h(D)로 식별할 수 있다.이 등정식별에 따르면, 지도화 f는 U에 대한 확장인 by에 의해 곱셈이 된다.

증명

• 독특함.만약 k가 또 다른 해결책이라면, 분석을 통해 k = h가 0에 가깝다는 것을 보여주면 충분하다.내버려두다

${\displaystyle H=k\circle h^{-11}(z)}$

거의 0. 따라서 H(0) =0, H'(0)=1 및 z small의 경우

${\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1})(z)=h(k^{-1}(z)=h(k^{-1})(\lambda z)=H(\lambda z)~.}$

H의 파워 시리즈로 대체하면 H(z) = z가 0에 가깝다는 것을 따른다.따라서 h = k는 0에 가깝다.

• 존재.$F{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle F(z)=f(z)/\lambda z,}$인 경우, 슈바르츠 보조정리함.

${\displaystyle F(z)-1 \leq(1+ \lambda ^{-1} z ~.}$

다른 한편으로는

${\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j})(z)~.}$

따라서 g는_n 이후 Weierstrass M-test에 의해 z ≤ r에 대해 균일하게 수렴된다.

$\displaystyle \sum \sup _{z \leq r} 1-F\circ f^{j}(z) \leq(1+ \lambda ^{-1})\sum M(r)^{j}}$

• 단결력.Hurwitz의 정리로는, 각각의 g는ⁿ 단발적이고 정상화되기 때문에, 즉, 0을 수정하고 거기에서 파생상품 1을 가지고 있기 때문에, 그들의 한계 h도 또한 단발적이다.

세미그룹의 코이넥스 함수

f_t (z)가 다음과 같이 t ∈ [0, ∞)에 대해 정의된 0을 고정하는 자체로 D의 홀로모르프 단발성 매핑의 세미그룹이 되게 한다.

• ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) s > 0에 대한 자동형이 아니다$$.
• ${\displaystyle f_{s}(f_{t}(z)=f_{t+s}(z)}$
• ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$
• ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f_{t}(z)}$은(는) t와 z에서 공동으로 연속됨$$

s > 0을 가진 각 f는_s 동일한 Koenigs 함수, cf. 반복 기능을 가지고 있다.실제로 h가 f = f의₁ Koenigs 함수라면 h(f_s(z))는 슈뢰더의 방정식을 만족시켜 h에 비례한다.

파생상품을 가져가는 것은 도움이 된다.

${\displaystyle h(f_{s}(z)=f_{s}^{\premium }0)h(z)}$

그러므로 h는 f의_s Koenigs 함수다.

단일세미그룹 구조

도메인 U = h(D)에서, 지도_s f는 연속적인 sem그룹인$$$\lambda {\displaystyle }$(${\displaystyle s}$) = ${\displaystyle f_{}^{}}$ s${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle \lambda (s)=f_{s}^{\prime$}($0)}$에 의해 곱셈이 된다.그래서 $\lambda {\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu s}}^{}}$ ${\$ 여기서$$ μ는 reμ < 0으로 e = λ의 고유 결정 용액이다.그 다음으로는 세미그룹이 0으로 차별화된다.내버려두다

${\displaystyle v(z)=\properties _{t}f_{t}(z) _{t=0}}$

v(0) = 0, v'(0) = μ를 갖는 D의 홀로모르픽 함수

그러면

${\displaystyle \property_{t}(z) _{t}h^{\premy }(f_{t})(z)=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t})(z),}$

하도록

${\displaystyle v=v^{\premy }(0){h \over h^{\premy }}}$

그리고

${\displaystyle \f_{t}(z)=v(f_{t})(z),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}$

벡터장 유량 방정식

0 < λ < 1의 경우로 제한하여 h(D)는 별처럼 되어야 한다.

${\displaystyle \re {zh^{\premy }(z) \over h(z)\geq 0~.}$

같은 결과가 상호간에 지속되기 때문에,

${\displaystyle \re {v(z) \over z}\leq 0,}$

v(z)가 Berkson & Porta의 조건을 만족하도록(1978년)

$[\displaystyle v(z)=zp(z),\,\,\,\p(z)\re p(z)\leq 0,\,\,p^{p^}(0)<0.}$

반대로, 위의 단계를 반대로, 이러한 조건을 만족하는 모든 홀로모픽 벡터 필드 v(z)는 다음과 같은 세미그룹 f와_t 연관된다.

${\displaystyle h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\premy }(0) \over v(w)-{1 \over w}\,properties.}$

메모들

참조

• Berkson, E.; Porta, H. (1978), "Semigroups of analytic functions and composition operators", Michigan Math. J., 25: 101–115, doi:10.1307/mmj/1029002009
• Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993), Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 208, Springer, ISBN 978-3034605083
• Koenigs, G.P.X. (1884), "Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles", Ann. Sci. École Norm. Sup., 1: 2–41
• Kuczma, Marek (1968). Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, J. H. (1993), Composition operators and classical function theory, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Semigroups in geometrical function theory, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9