크레츠만 스칼라

로렌츠 다지관 이론에서 특히 일반 상대성 이론에 적용되는 맥락에서 크레츠만 스칼라는 이차성 스칼라 불변성 물질이다.에리히 크레츠만이 소개했다.^[1]

정의

크레츠만 불변제는^[1][2]

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ b ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$은 리만 곡률 텐서(이 방정식에서는 아인슈타인 합계 규약이 사용되었으며, 기사 전반에 걸쳐 사용될 것이다)이다$$.이것은 텐서 성분의 제곱합이기 때문에 2차 불변성분이다.

컴퓨터 대수 시스템의 사용에 있어 보다 상세한 쓰기는 다음과 같은 의미가 있다.

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}}}\sum _{d=0}^{3}}}}}}}^{3.}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

예

질량 $M{\displaystyle }${\$displaystyle M}$의 슈바르츠실트 블랙홀에 대해$$크레츠만^[1] 스칼라는

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}:{c^{4}r^{6}}}\,}$

여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수다.

메트릭이 있는 일반 FRW 스페이스타임의 경우

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

크레츠만 스칼라는

${\displaystyle K={\frac {12\left(a(t)^{2}a"{2}++\left(k+a'(t)^{2}\오른쪽)^{a(t)^{4}}}}.}$

다른 불변제와의 관계

또 다른 가능한 불변성(예를 들어 어떤 고차 중력 이론을 위해 라그랑지아의 중력 용어를 쓰는 데 사용)은 다음과 같다.

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ b ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$은(는) Weyl 텐서로서, 리만 텐서의 완전 미량 부분이기도 하다.$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 치수에서$$ 이 값은 다음과 같은 방법으로^[3] Kretschmann 불변성과 관련이 있다.

${\dplaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{d-1){{\frac{2}{d-1(d-2)}{2}}:R^{2}}$

여기서 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$ R$^{ab}$는 Ricci 곡률 텐서, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 Ricci 스칼라 곡률(Ricci 스칼라 곡률)이다$$(Riemann tensor의 연속적인 흔적을 포착하여 관찰함).리치 텐서는 진공 스페이스타임(예: 위에서 언급한 슈바르츠실트 해법)에 사라지며, 따라서 리만 텐서와 웨일 텐서는 불변제처럼 일치한다.

크레츠만 스칼라와 체르 폰트랴긴 스칼라

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\\star }\!R}^{abcd}}}$

여기서 ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ b ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$는 리만 텐서의 왼쪽 이중으로 전자기장 텐서의 익숙한 불변성과 수학적으로 유사함(어느 정도는 물리적으로 유사함)이다.

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;;;;F_{ab}\,{{}^{\\star }\!F}^{ab}}}}$

참고 항목

• 카르미나티-맥레나한 불변제, 불변제 세트용.
• 전자파장 텐서의 불변성에 대한 자세한 내용은 전자파장 분류.
• 일반적으로 리만 및 유사 리만 기하학의 곡률 불변성에 대한 곡률 불변성.
• 곡률 불변성(일반 상대성)
• 리치 분해, 리만과 웨일 텐서에 대해 더 자세히 말하자면.

참조

추가 읽기

• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• B. F. Schutz (2009), A First Course in General Relativity (Second Edition), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0