리치 분해

리만과 사이비-리만 기하학의 수학적 분야에서 리치 분해는 리만 또는 사이비-리만 다지관의 리만 곡률 텐서르를 특별한 대수적 특성으로 산산조각 내는 방식이다.이 분해는 리만과 사이비-리만 기하학에서 근본적으로 중요하다.

분해 정의

(M,g) 리만족 또는 사이비 리만족 n-메니폴드가 되게 하라.리만 곡면성을 a(0,4)-텐서(tensor) 필드로 간주한다.이 기사는 사인 규약에 따를 것이다.

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

여러 줄로 쓰여진, 이것이 관례다.

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

이 규약에서 리치 텐서는 R_jk=gR에^il_ijkl 의해 정의된 (0,2)-텐서 필드이며 스칼라 곡면성은 R=gR에^jk_jk 의해 정의된다.추적 불가능한 Ricci 텐서 정의

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}Rg_{jk}}}$

그리고 다음을 기준으로 세 개의 (0,4)-텐서 필드 S, E 및 W를 정의하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n-1)}{{n-1)}{\big(}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}:{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{jl}g_{ik}-Z_{jl}g_+Z_{jk}g_{jk}g}{jk}g}{\}\}\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{정렬}}}$

"Ricci 분해"는 그 진술이다.

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

언급했듯이 이것은 단지 W의 정의의 재구성에 불과하기 때문에 공허하다.분해의 중요성은 세 개의 새로운 텐서 S, E, W의 특성에 있다.

종말론적 주어.Tensor W는 Weyl tensor라고 불린다.수학 문학에서는 W라는 표기법이 표준이고, 물리학 문학에서는 C라는 표현이 더 일반적이다.S, Z, E에 대한 표준화된 표기법은 없는 반면, R 표기법은 둘 다에 표준화된 것이다.

기본 속성

조각의 속성

각 텐서 S, E, W는 리만 텐서와 동일한 대수 대칭을 가진다.즉,

${\displaystyle {\reasoned}S_{ijkl}&=-S_{jl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jl}=-E_{jlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jl}=-W_{jlk}=W_{klij}\end{aigned}}}$

와 함께

${\displaystyle {\reasoned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{정렬}}}$

Weyl 텐서는 완전히 미량이라는 추가적인 대칭을 가지고 있다.

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

헤르만 베일은 W가 리만이나 사이비-리만 다지관의 국부적 순응 평탄도에서 편차를 측정하는 주목할 만한 속성을 가지고 있다는 것을 보여주었다; 만약 그것이 0이라면, M은 차트에 의해 정의된 일부 함수 f에 대해_ij g=eΔ의^f_ij 형태를 갖는 상대적인 차트로 다루어질 수 있다.

분해 특성

Ricci 분해는 다음과 같은 의미에서 직교하는 것을 확인할 수 있다.

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

일반 정의 ${\displaystyle {Ti}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle l^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ i ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle l^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ . ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{jq}g^{kr}g^{ls}$$T_{pqrs}.$$}$ 이것은$$ 직접 증명할 수 있는 결과를 가지고 있다.

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}.W^{ijkl}.}$

종말론적 주어.이 직교성을 말하는 것처럼 표현하는 것은 상징적으로 깨끗할 것이다.

${\displaystyle \langle S,E\rangele _{g}=\langle S,W\rangele _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

와 함께

${\displaystyle \operatorname {Rm} _{g}^{2}=S _{g}^{2}+ E _{g}^{2}+ W _{g}^{2}.}$

However, there is an unavoidable ambiguity with such notation depending on whether one views ${\displaystyle \operatorname {Rm} ,S,E,W}$ as multilinear maps ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ or as linear maps ${\displaystyle {\wedge }^2{T}_{}}$${\displaystyle \wedge ^{$$2$$T_{p}M\to \wedge ^{2}$$T_{p}M,$ 이 경우$$ 해당 규범과 내부 제품은 상수 인자에 의해 달라진다.비록 이것이 위의 방정식에서 어떠한 불일치도 가져오지는 않을 것이지만, 모든 용어들은 동일한 요인에 의해 변경될 것이기 때문에, 그것은 더 관련 있는 맥락에서 혼란을 초래할 수 있다.이러한 이유로 지수 표기법은 종종 이해하기 더 쉬울 수 있다.

관련 공식

"일반 공식"을 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}:{n(n-1)}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{n-2}}-{4R^{n-2}}:{n(n-2)}\\W_{ijkl}.W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac{2R^{n(n-1){n(n-1)}}}{{n(n-1)}}}\end{aigned}}}}}}}}$

그리고 "공식"은

${\displaystyle {\regated}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}Rg_{jk}\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{정렬}}}$

분해에 대한 수학적 설명

수학적으로 Ricci 분해는 리만 텐서의 대칭이 있는 모든 텐서의 공간을 직교 그룹의 작용을 위한 불가해한 표현으로 분해하는 것이다(Bese 1987, 1장 §G).V를 미터법 텐서(혼합 서명일 가능성이 있는)가 장착된 n차원 벡터 공간이 되도록 한다.여기서 V는 한 지점의 등골격 공간을 모델로 하여 곡률 텐서 R(모든 지수를 낮춘 상태)이 텐서 제품 V⊗V⊗V⊗V의 요소가 되도록 한다.곡률 텐서는 첫 번째 항목과 마지막 항목 두 항목에서 대칭으로 치우친다.

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

그리고 교환 대칭을 준수한다.

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y)\,}$

모든 x,y,z,w ∈ V에^∗ 대하여. 그 결과 R은 V의 두 번째 외부 전력의 두 번째 대칭$$전력인 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$S^{$2}\Lambda ^{2}V}$의 한 요소가 된다.곡률 텐서는 또한 Bianchi 아이덴티티를 만족시켜야 하며, 이는 선형 지도 $b{\displaystyle }$: S ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle b:$다음에$$ $제공된 S^{$2}\$Lambda ^{2}$V\to $\Lambda ^{$4}$V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w)\,}$

S²² rV에서 공간 RV = ker b는 대수 곡률 텐서 공간이다.Ricci 분해는 이 공간을 돌이킬 수 없는 인자로 분해하는 것이다.Ricci 수축 매핑

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr}R(x,\cdot,y,\cdot )}$

이것은 대칭 2-형식을 대수적 곡률 텐서(tensor)에 연관시킨다.반대로 대칭 2형식 h와 k의 쌍을 주어 h와 k의 Kulkarni-Nomizu 제품.

$(h{~\displaystyle (h{~\laugh \!\!)\!\!\!\!\bigcircle ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(x,w)k(x,z)-h(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

대수적 곡률 텐서(tensor)를 생성한다.

n > 4일 경우 직교 분해가 발생하여 (유일하게) 수정 불가능한 서브스페이스가 된다.

RV = SV ⊕ EV ⊕ CV

어디에

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathb {R}g{~\wedge \!\!$$\!\!\!\!$$\bigcircle ~}g$ $여기$서 R ${\$은$($는) 실제 스칼라의 공간이다.

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!$$\!\!\!\!$$\bigcircle ~}S_{0}^{2$$}V$ 여기서 SV는²
₀ 트레이스가 없는 대칭 2-폼의 공간이다.

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

주어진 리만 텐서 R의 Ricci 분해의 부분 S, E, C는 이러한 불변 인자에 대한 R의 직교 투영이다.특히.

${\displaystyle R=S+E+C}$

직교 분해는 다음과 같은 의미로

${\displaystyle R ^{2}= S ^{2}+ E ^{2}+ C ^{2}.}$

이 분해는 각각 스칼라 서브모듈, Ricci 서브모듈, Weyl 서브모듈의 직접적인 합으로 리만 대칭으로 텐서 공간을 표현한다.이러한 각 모듈은 직교 그룹에 대한 수정 불가능한 표현이다(Singer & Thorpe 1968). 대상 없음: CITREFSingerThorpe1968 (도움말), 따라서 Ricci 분해는 반이행 Lie 그룹을 위한 모듈을 그 회복 불가능한 요소로 분할하는 특별한 경우다.치수 4에서, Weyl 모듈은 특수 직교 그룹에 대한 한 쌍의 회복 불가능한 요소, 즉 자기 이중 및 항복 이중 부품 W와⁺ W로⁻ 분해된다.

물리적 해석

리치 분해는 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 물리적으로 해석될 수 있는데, 이 이론은 때때로 게니우-데베버 분해라고 불린다.이 이론에서 아인슈타인 장 방정식은

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 모든 물질의 양과 운동, 모든 비래비테이셔널 장 에너지 및 운동량을 설명하는 스트레스-에너지 텐서이며, Ricci 텐서(또는 동등하게 아인슈타인 텐서)는 비래비테이셔널 에네이션이 즉시 존재하기 때문에 중력장의 일부를 표현한다고 명시한다.탄력과 추진력Weyl 텐서(Weyl tensor)는 중력장의 일부를 나타내며, 중력파로 물질이나 비레이비테이셔널 장을 포함하는 영역을 통해 전파될 수 있다.Weyl 텐서가 소멸되는 스페이스 시간 영역은 중력 방사선을 포함하지 않으며 또한 일정하게 평평하다.

참고 항목

• 리만 텐서 벨 분해
• 등각 기하학
• 페트로프 분류
• 플레반스키 텐서
• 리치 미적분학
• 쇼텐 텐서
• 트레이스 프리 리치 텐서

참조

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8.
• 섹션 6.1에서는 분해에 대해 논의한다Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.분해 버전은 또한 7장과 8장에서 일치 및 투영 기하학에 대한 논의에 들어간다.
• Singer, I.M.; Thorpe, J.A. (1969), "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, pp. 355–365.