쿠슈너 방정식

여과 이론에서 쿠슈너 방정식(해롤드 쿠슈너 이후)은 국가의 시끄러운 측정이 주어지는 확률론적 비선형 동적 시스템 상태의 조건부 확률밀도에 대한 방정식이다.^[1]따라서 추정 이론에서 비선형 필터링 문제의 해결책을 제공한다.이 방정식을 스트라토노비치-쿠슈너^[2][3][4][5](또는 쿠슈너-스트라토노비치) 방정식이라고도 한다.그러나 이토 미적분학에 관한 올바른 방정식은 50년 후반에 이미 스트라토노비치의 작품에서 더 휴리스틱한 스트라토노비치 버전이 나왔지만 쿠슈너에 의해 처음 도출되었다. 그러나 이토 미적분학이라는 측면에서 파생된 것은 리처드 뷰시 덕분이다.^{[6][clarification needed]}

개요

시스템 상태가 다음과 같이 진화한다고 가정한다.

$dx=f(x,t)\,dt+\dvma dw}$

시스템 상태를 소란스럽게 측정할 수 있다.

$dz=h(x,t)\,dt+\eta dv}$

여기서 w, v는 독립적인 Wiener 프로세스다.그 후, 시간 t에서 상태의 조건부 확률밀도 p(x, t)는 쿠슈너 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t)[h(x,t)-E_{t}h(x,t)]^{\top ^{-\top }\eta ^{-1}[dz-E_{t,t)dt.}$

where ${\displaystyle Lp=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ is the Kolmogorov Forward operator and ${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$+ d ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle dp(x,t)=p(x,t+dt)-p(x,t)}$은 조건부 확률의 변동이다.

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle dz-E_{t}h(x,t)dt}$라는 용어는 혁신이다. 즉, 측정치와 기대값의 차이.

칼만-부시 필터

Kushner 방정식을 사용해서 Kalman-을 도출할 수 있다.선형 확산 프로세스를 위한 Bucy 필터.${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle f(x,t)=ax}$ 및$$ $h{\displaystyle (x,}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h(x,t)=cx}$이(가) 있다고 가정합시다$.$쿠슈너 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t)[cx-c\mu(t)]^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}[dz-c\mu(t)dt],}$

여기서 $\mu {\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mu(t)}$은 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 조건부 확률의 평균이다$.$ $x{\displaystyle }${\$displaysty x}$을 곱하고$$ 그 위에 통합하면 평균의 변동을 얻는다.

${\displaystyle d\mu(t)=a\mu(t)dt+\Sigma(t)c^{\top }\eta ^{-\\top }{-1}\eta ^{-1}\좌측(dz-c\mu(t)dt\우측).}$

마찬가지로, 분산 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle \Sigma (t)}$의 변동은 다음에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\frac {d\Sigma (t)}{dt}}=a\Sigma (t)+\Sigma (t)a^{\top }+\sigma ^{\top }\sigma -\Sigma (t)c^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}c\Sigma (t).}$

조건부 확률은 정규 분포 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle \mu }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle {\mathcal$ {$N}(\mu (t),\Sigma (t)}$에 의해 매 순간 주어진다$.$

참고 항목

• 자카이 방정식

참조