러플린 파동 기능

응집 물질 물리학에서, 러플린은 wavefunction[1][2]은 ansatz, 로버트 러플린에 의해 2차원 전자 가스의 기저 상태를 균일 자장을 jellium 배경 때 가장 낮은 랜도 수준의 충수 인자(양자 홀 효과)ν은=1/n{\di의 존재에 표시되고 제안했다.splays$tyle \nu =1/n}$ 여기서$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 홀수 양의 정수다.$\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle \nu =1/3}$ 분수$$ 양자 홀 효과의 관측을 설명하기 위해 구성되었으며, $\nu {\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaysty \nu =1/n}$ 상태와$$ 더불어 qu = 1 / ${\displaystyle n}$ ${\displaystye e/n$}이 두 가지 모두 분율 전기요금 e$}$을 사용한 quasipicate의 추가의 존재도 예측하였다$.$나중에 실험적으로 관찰한러플린은 이 발견으로 1998년 노벨 물리학상의 3분의 1을 받았다.시험파동 기능인 만큼 정확하지는 않지만 질적으로 정확한 용액의 많은 특징을 재현하고 정량적으로 소형 시스템의 정확한 지상 상태와 중복성이 매우 높다.null

만약 우리가 제로스 오더 근사치로서 전자들 사이의 젤리움과 상호 쿨롬 역전을 무시한다면, 우리는 무한히 퇴보하는 최저 란다우 레벨(LLL)을 가지고 있고, 충만계수가 1/n인 상태에서 모든 전자가 LLL에 놓여 있을 것이라고 예상할 수 있을 것이다.상호작용을 켜면 모든 전자가 LLL에 있다는 근사치를 만들 수 있다.$\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 가장$$ 낮은 궤도 각도 모멘트를 가진 LLL 상태의 단일 입자파 함수라면, 다중문자파 함수에 대한 Lauglin ansatz는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

지위가 표시된 곳

${\displaystyle z={1\over 2{\mathit{l}_{B}\왼쪽(x+iy\오른쪽)}$

(가우스 단위)

${\displaystyle {\mathit{l}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}$

및 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$은(는) xy 평면의 좌표다.여기서 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) Plank의 감소된 상수, $e{\displaystyle }${\$displaystyle e$}은$$(는) 전자 전하, N ${\displaystyle N$}은 총 입자 수, $B{\displaystyle }${\$displaysty$B}은 xy 평면에 수직인 자기장이다.z의 첨자는 입자를 식별한다.파동 기능이 페르미온을 설명하려면 n은 홀수 정수여야 한다.이것은 파동 기능이 입자 교환 하에서 대칭성이 되도록 강제한다.이 상태의 각도 운동량은 n ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\hbar }$이다$.$

두 입자에 대한 상호작용 에너지

러플린 파동 기능은 퀘이파르티클에 대한 다중문자 파동 기능이다.quasiparticle 쌍에 대한 상호작용 에너지의 기대값은 다음과 같다.

$\displaystyle \langle V\angle =\langle n, N\mid V\mid n, N\angle ,\;\;;;;N=2}$

선별된 전위가 있는 경우(자기장에 내장된 두 개의 전류 루프 사이의 쿨롬 전위 참조)

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\왼쪽({2e^{2} \over L_{B}\right)\int_{0}{0}^{0}{0}{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^2}};;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;M\left({\mathit{l}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit{l}}^{\premium }+1,-{k^{2} \over 4}\오른쪽)\;{\mathcal {J}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}\right)}}}$

$여기$서 M ${\displaystyle M}$은 결합초기하함수이고, J ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\${\$mathcal{J}_{0}}$은 제1종류의 베셀함수다.Here, ${\displaystyle r_{12}}$ is the distance between the centers of two current loops, ${\displaystyle e}$ is the magnitude of the electron charge, ${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$ is the quantum version of the Larmor radius, and ${\displaystyle L_{B}}$ is자기장 방향의 전자 기체의 두께두 개의 개별 전류 루프의 각도 모멘텀a는 $l{\displaystyle \mathit{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$$${\$displaystyle${\$mathit {l}\$$hbar$$$$}$과 l${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$${\displaystyle {}^{}}$$${\$mathit {l}^{\l}^{\$$mathit {\l}+{l$}}{$l^{l$역 스크리닝 길이는 (가우스 단위)에 의해 주어진다.

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega_{c}AL_{B}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 사이클로트론 주파수이며, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 xy 평면에 있는 전자 가스의 영역이다.null

상호작용 에너지는 다음을 평가한다.

${\displaystyle E=\왼쪽({2e^{2} \over L_{B}\오른쪽)\int_{0}^{0}^{0}{0}^{{k\;dk\;}} \over k^{2}+k_{B}^{B}^{2}}\;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;M\left({\mathit{l}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit{l}^{\premium }+1,1,-{k^{2} \over 4}\오른쪽)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\오른쪽)}$

이 결과를 얻기 위해 우리는 통합 변수를 변경했다.

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \\sqrt{2}}:$

그리고

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \\sqrt{2}}:$

(양자장 이론의 공통 통합 참조)

${\displaystyle {1 \over \좌측(2\pi \우측)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\\mid ^{2n}\;\exp \eft[-2\folt][-\mid z_{1}\ft(\mid z_{2}+\mid z_{2}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig)\rig)\rig)\rig)\right]\rig;{\mathcal{J}_{0}\좌측({\sqrt{2}}\\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\우측)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\\mid \ft[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{12}\rig)\right]];{\mathcal{J}_{0}\왼쪽({2}k\mid u_{12}\mid \오른쪽)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \2}이상 오른쪽).}$

상호작용 에너지의 최소값은 (그림 1)이다.

${\displaystyle {{\mathit{l}}\over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc,}}}$

그리고

${\displaystyle {{\mathit{l}}\over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

이러한 각도 모멘트 비율 값에 대해 에너지는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 함수로 그림 2에 표시된다$.$

참조

참고 항목

• 란다우급
• 분수 양자 홀 효과
• 자기장에 내장된 두 개의 전류 루프 사이의 쿨롱 전위