양자장 이론의 공통 통합

양자장 이론에서 공통적인 통합은 복잡한 평면과 다차원에 대한 가우스 통합의 모든 변형과 일반화다.^[1] 기타 통합은 가우스 적분 버전으로 근사치를 계산할 수 있다. 푸리에 통합도 고려된다.

단순 가우스 적분에서의 변화

가우스 적분

양자장 이론 이외의 광범위한 적용과 함께 첫 번째 적분은 가우스 적분이다.

${\displaystyle G\equiv \int _{-\\infit }^{\e^{1 \{1 \{{}x^{2}}\,dx}$

물리학에서 지수론에서의 1/2 인자는 일반적이다.

참고:

${\displaystyle G^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}y^{2}}\,dy\right)=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-{1 \over 2}r^{2}}\,dr=2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-w}\,dw=2\pi .}$

그래서 우리는 얻는다.

${\displaystyle \int_{-\infit }^{-{1 \over 2x^{2}}\,dx={\sqrt{2\pi }}}}.}$

가우스 적분 약간 일반화

${\displaystyle \int_{-\infit }^{-{1 \over 21ax^{2}}\,dx={\sqrt{2\pi \}}a}}}}$

우리가 규모를 늘린 곳

${\displaystyle x}$→ ${\displaystyle x\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{a\sqrt{}}{}}$ ${\$x$\over {\sqrt{a$

지수의 통합 및 x의 짝수 검정력

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{1 \over a}}$

그리고

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{4}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{3 \over a^{2}}}$

일반적으로

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots 5\cdot 3\cdot 1=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)!!}$

x의 변수와 홀수 검정력은 홀수 대칭으로 인해 0이라는 점에 유의하십시오.

지수의 인수에 선형 항이 있는 통합

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\ex \left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)dx}$

이 적분은 정사각형을 완성하여 수행할 수 있다.

${\displaystyle \left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)=-{1 \over 2}a\left(x^{2}-{2Jx \over a}+{J^{2} \over a^{2}}-{J^{2} \over a^{2}}\right)=-{1 \over 2}a\left(x-{J \over a}\right)^{2}+{J^{2} \over 2a}}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{-\infty}^{\infty}\exp \left(-1\over 2}ax^{2}+Jx\right)\,dx&, =\exp \left({J^{2}\over 2a}\right)\int _{-\infty}^{\infty}\exp \left[-1\over 2}a\left(X좌표{J\over}\right)^{2}\right]\,dx\\[8pt]&, =\exp \left({J^{2}\over 2a}\right)\int _{-\infty}^{\infty}\exp \left(-1\over 2}aw^{2}\right)\,dw\\는 경우에는 8pt.]&=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\ended}}}}$

지수의 인수에 가상의 선형 항이 있는 통합

적분

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit }\ex \left(-{1 \over 2ax^{2}+iJx\right)dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}$

J는 x의 결합 변수인 가우스파의 푸리에 변환에 비례한다.

다시 정사각형을 완성함으로써 우리는 가우스인의 푸리에 변환도 가우스인이지만, 결합 변수 안에 있음을 알 수 있다. a가 클수록 x에서는 가우스파가 좁고, J에서는 가우스파가 넓다. 이것은 불확실성 원리의 증명이다.

이 일체형은 필드 이론에 사용되는 허바드-스트라토노비치 변환이라고도 알려져 있다.

지수의 복잡한 인수를 사용한 통합

관심의 적분은 다음과 같다(응용 사례에서 슈뢰딩거 방정식과 양자역학의 경로 적분 공식 사이의 관계 참조).

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\ex \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)dx.}$

우리는 이제 a와 J가 복잡할 수도 있다고 가정한다.

정사각형 완성

${\displaystyle \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)={1 \over 2}ia\left(x^{2}+{2Jx \over a}+\left({J \over a}\right)^{2}-\left({J \over a}\right)^{2}\right)=-{1 \over 2}{a \over i}\left(x+{J \over a}\right)^{2}-{iJ^{2} \over 2a}.}$

이전 통합업체와 유사하게

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\ex \left({1 \over iJx\right)=\dx=\left({2\pi i \over a}\right)^{1 \over 2}\ex \ref.}$

이 결과는 a가 0이 아니고 반양성의 가상 부분을 갖는 한 복잡한 평면에서 통합으로 유효하다. 프레스넬 적분을 참조하십시오.

더 높은 차원의 가우스 통합

1차원적 통합은 다차원적 차원으로 일반화할 수 있다.^[2]

${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$

여기서 A는 진짜 양의 명확한 대칭 행렬이다.

이 적분은 직교 변환으로 A의 대각선으로 수행된다.

${\displaystyle D=O^{-1}AO=O^{T}AO}$

여기서 D는 대각 행렬이고 O는 직교 행렬이다. 이렇게 하면 변수를 분리하고 통합이 n개의 1차원 통합으로 수행될 수 있다.

이것은 2차원적인 예시로 가장 잘 묘사되어 있다.

예: 2차원의 단순 가우스 통합

2차원의 가우스 적분은

${\displaystyle \int \exp \왼쪽{\frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}\right)d^{2}x={\sqrt{\frac{(2\pi )^{2}}{\det A}}}}}$

여기서 A는 2차원 대칭 행렬로, 성분은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\c\b\end{bmatrix}}$

그리고 우리는 아인슈타인 종합 규칙을 사용했다.

행렬 대각선화

첫 번째 단계는 행렬을 대각선으로 만드는 것이다.^[3] 참고:

${\displaystyle A_{ij}x^{i}x^{j}\equiv x^{T}Ax=x^{}}T}\왼쪽(OO^{T}\오른쪽)A\왼쪽(OO^{T}\오른쪽)x=\왼쪽(x^{T}O\right)\왼쪽(O^{T}AO\오른쪽)\왼쪽(O^{T}x\오른쪽)}$

여기서, A는 실제 대칭 행렬이므로 O를 직교 행렬로 선택할 수 있으며, 따라서 단일 행렬로 선택할 수도 있다. O는 A의 고유 벡터로부터 얻을 수 있다. 우리는 O를 선택한다: D ≡ OAO는^T 대각선이다.

A의 고유값

A의 고유 벡터를 찾으려면 먼저 A의 고유값 λ이

${\displaystyle {\bmatrix}a&c\c&b\end{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}{\bmatrix}}=\bmatrix}=\nd{bmatrix}}.}$

고유값은 특성 다항식의 해법이다.

${\displaystyle (a-\data )(b-\cfda )-c^{2}=0}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda (a+b)+ab-c^{2}=0}$

2차 방정식을 사용하여 발견되는:

${\displaystyle \pm _{\pm }={1 \over 2}(a+b)\pm {1 \over 2}{\sqrt {(a+b)^{2}-4(ab-c^{2})}}.}$

${\displaystyle \pm _{\pm }={1 \over 2}(a+b)\pm {1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+2ab+b^{2}-4ab+4c^{2}}.}$

${\displaystyle \pm _{\pm }={1 \over 2}(a+b)\pm {1 \over 2}{\sqrt {(a-b)^{2}+4c^{2}}.}$

A의 고유 벡터

고유값을 고유 벡터 방정식으로 다시 대체

${\displaystyle v=-{\pm _{\pm }\right)u \over c},\qquad v=-{cu \over \left(b-\pm _{\pm }\right)}.}$

우리가 알고 있는 특성 방정식에서

$\displaystyle {a-\ba _{\pm _} \over c}={c \over b-\ba _{\pm }}.}$

참고 사항

${\displaystyle {a-\boda _{\pm _} \over c}=-{b-\bda _{\mp } \over c}.}$

고유 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}\\-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}-{\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta }}\\{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}}$

두 개의 고유 벡터를 위해 여기서 η은 다음과 같은 정규화 요인이다.

${\displaystyle \eta ={\sqrt{1+\leftda_{-}}{-}}\{-}}}^{2}}={\sqrt{1+\leftda_{+}}}{c}\ripta}^{2}}.}$

두 개의 고유 벡터가 서로 직교하고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

직교행렬의 구성

직교 행렬은 정규화된 고유 벡터를 직교 행렬의 열로 지정하여 생성된다.

${\displaystyle O={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta}-{b-\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta _}}}\frac {a-}{c\eta}}{bmatrix}}$

det(O) = 1에 유의하십시오.

우리가 정의한다면

${\displaystyle \sin(\theta )=-{\frac {a-\probda _{-}{c\eta }}}$

직교 행렬이 기록될 수 있다.

${\displaystyle O={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}}}}$

이는 단순히 고유 벡터를 역방향으로 회전시키는 것이다.

${\displaystyle O^{-1}=O^{T}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\\sin(\theta )\\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

대각 행렬

대각 행렬은 다음과 같이 된다.

$[\displaystyle D=O^{T}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\\lambda _{+}\end{bmatrix}}}}$

고유 벡터로

${\displaystyle {\bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad {\bmatrix}0\1\end{bmatrix}}}}$

숫자 예제

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}$

고유값은

${\displaystyle \pm _{\pm }={3 \over 2}pm {{\sqrt{5}}}\{\sqrt{5}}}}}}$

고유 벡터는

${\displaystyle {1 \over \eta }{\begin{bmatrix}1\\-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}},\qquad {1 \over \eta }{\begin{bmatrix}{1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\\1\end{bmatrix}}}$

어디에

${\displaystyle \eta ={\sqrt {{5}+{{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}}}{\sqr}$

그러면

${\displaystyle {\reasoned}O&, ={\begin{bmatrix}{\frac{1}{\eta}}&{\frac{1}{\eta}}\left({1\over 2}+{{\sqrt{5}}\over 2}\right)\\{\frac{1}{\eta}}\left(-1\over 2}-{{\sqrt{5}}\over 2}\right)&,{1\over \eta}\end{bmatrix}}\\O^{)}&, ={\begin{bmatrix}{\frac{1}{\eta}}&{\frac{1}{\eta}}\left(-1\over 2}-{{\sqrt{5}}\over 2}\right)\\{\frac{1}{\eta}}년.남은({1\over 2}+{{)sqrt {5} \over 2}\right)&{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}\end{aigned}}}$

대각 행렬은 다음과 같이 된다.

$[\displaystyle D=O^{T}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\0&\lambda _{+}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{3 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}&0\\0&{3 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}}}$

고유 벡터로

${\displaystyle {\bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad {\bmatrix}0\1\end{bmatrix}}}}$

변수 크기 조정 및 통합

대각화로 적분을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \int \ex \left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)d^{2}x=\int \exp \left(-{\frac {1}{1}2}}\sum _{j=1}{j=1}^{j}}}}\rig}}},d^{n2}$

어디에

${\displaystyle y=O^{T}x.}$

좌표 변환은 단순히 좌표의 회전이기 때문에, 변환의 Jacobian 결정요인은 하나의 산출물이다.

${\displaystyle dy^{2}=dx^{2}}$

이제 통합을 수행할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int \exp \left(-{\frac{1}{2}}x^{T}Ax\right)d^{2}x&,=\int \exp \left(-{\frac{1}{2}}\sum_{j=1}^{2}\lambda_{j}y_{j}^{2}\right)d^{2}y\\&, =\prod _ᆰ^ᆱ\left({2\pi \over \lambda_{j}}\right)^{1\over 2}\\&, =\left({(2\pi)^{2}\over \prod _{j=1}^{2}\lambda _{j}}\right)^{1\over 2}\\&, =\left({(2\pi)^{2}.\over \det{\left(O^{-1}AO\right)}}^{1 \over 2}\&=\왼쪽({(\pi )^{2} \det(A\right)}}^{1 \over 2}\ended{aigned}}}}}}}$

광고에 나온 해결책이지

다차원에서 복잡하고 선형적인 항을 갖는 통합

2차원적인 예를 들어, 이제 복잡한 평면과 다차원까지 일반화를 쉽게 볼 수 있게 되었다.

인수에 선형 항이 있는 통합

${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$

가상 선형 항을 사용한 통합

${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$

복잡한 2차 항을 사용하는 통합

${\displaystyle \int \exp \left({\frac {i}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi i)^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{i \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$

인수의 차등 연산자와 통합

예를 들어 적분을^[4] 고려하십시오.

${\displaystyle \int \ex \ex \ex[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{1}}\varphi {\A}\hat{A}\varphi +J\right)\right]D\varphi }$

$여기$서 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) {$${\$displaystyle \varphi$}과$$(와$)$ etime {\displaystyle $D\varphi }$은(는) 가능한 모든 경로에 걸쳐 통합을 나타내는$$ 차등 $연산자$임. 이 통합의 매트릭스 버전과 유사하게 해결책은

${\displaystyle \int \ex \ex \ex[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{1}}\varphi {\A}\hat{A}\varphi +J\right)\right]D\\varphi \;\propto \;\exp \left({1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x-y)J(y)\right)}}$

어디에

${\displaystyle {\hat{A}D(x-y)=\delta ^{4}(x-y)}$

및 전파자로 불리는 D(x - y)는 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 역행이며$,$ $\Delta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}x}$- ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \delta ^{4}(x-y)}$는 디락 델타 함수다.

유사한 논거가 산출된다.

${\displaystyle \int \ex \ex \ex[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{1}}\varphi {\A}\hat {\A}\varphi +iJ\ripi \right)\right]D\\varphi \;\propto \;\exp \left(-{1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x-y)J(y)\right),}$

그리고

${\displaystyle \int \ex \왼쪽[i\int d^{4}x\왼쪽({\frac {1}{1}:{2}}:\varphi {\A}\hat{A}\varphi +J\right)\right]D\\varphi \;\propto \;\exp \left(-{i \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x-y)J(y)\right)}$

이 통합형의 적용은 가상 입자 교환의 경로 통합형식을 참조하십시오.

가장 가파른 내리막길에서 근사치를 얻을 수 있는 통합

양자장 이론에서 형태의 n차원 통합

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }\exp \left }{1 \over \hbar }f(q)\right)d^{n}q}$

자주 나타나다 여기서 ${\displaystyle \hbar }$는 Planck의 감소된 상수이고 $f$는${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle q=q_{$0}}에서 양의 최소값을 갖는 함수다$.$ 이러한 통합은 가장 가파른 내리막길의 방법에 의해 대략적으로 추정할 수 있다.

Planck 상수의 작은 값에 대해 f는 최소값으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)+{1 \over 2}\left(q-q_{0}\right)^{2}f^{\prime \prime }\left(q-q_{0}\right)+\cdots \right)\right]d^{n}q}$.

여기서 $′{\$ \premium$}}$은 함수의 최소값으로 평가한 두 번째 파생상품의 n by n matrix이다.

만약 우리가 더 높은 순서의 조건을 무시한다면, 이 통합은 명백하게 통합될 수 있다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }(f(q))\right]d^{n}q\approx \exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)\right)\right]{\sqrt {(2\pi \hbar )^{n} \over \det f^{\prime \prime }}}.}$

정지 위상의 방법으로 근사치를 구할 수 있는 통합

공통 적분(common integrated)은 양식의 경로 적분이다.

${\displaystyle \int \exp \left({i \over \hbar }S\left(q, {\\dot {q}\오른쪽)\오른쪽)Dq}$

여기서 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle q\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$) ${\$는 고전적인 작용이며, 적분은 입자가 취할 수 있는 모든 경로에 걸쳐 있다. 소형 ${\displaystyle \hbar }$의 한계에서 적분은$$ 정지 위상 근사치로 평가할 수 있다. 이 근사치에서 적분은 작용이 최소인 경로 위에 있다. 따라서 이 근사치는 역학의 고전적 한계를 회복한다.

푸리에 통합

디라크 델타 분포

Spacetime의 Dirac 델타 분포는 Fourier 변환으로^[5] 기록할 수 있다.

${\디스플레이 스타일 \int{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}\exp(ik(x-y))=\cHB ^{4}(x-y)}$

일반적으로 모든 $차원{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$에 대해

${\dyplaystyle\int {\frac {d^{N}k}{{(2\pi )^{N}\exp(ik(x-y)))=\delta ^{N}(x-y).}$

쿨롱 전위 형태의 푸리에 통합

1/r의 라플라시안

일체형은 아니지만, 3차원 유클리드 공간에서의 정체성은

${\displaystyle -{1 \over 4\pi }\pila ^{2}\left1 \over r}\right)=\red(\mathbf {r}\right)}$

어디에

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }$

가우스의 정리의 결과물이며, 일체적 정체성을 도출하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 세로 및 가로 벡터 필드를 참조하십시오.

이 정체성은 1/r의 푸리에 적분 표현을 의미한다.

${\dfrac \int{d^{3}k}{{3\pi )^{3}{\exp \좌측(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}}={1 \over 4\pi r}}}$

유카와 포텐셜: 질량이 있는 쿨롱 전위

3차원의 유카와 전위는 푸리에 변환을^[6] 통한 일체형으로 표현될 수 있다.

${\dfrac \int{d^{3}k}{{3\pi )^{3}{\exp \left(i\mathbf {k}\cdot \mathbf {r}\right) \over k^{2}+m^{2}}}}={e^{-mr} \over 4\pi r}}}$

어디에

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r},\qquad k^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} .}$

이 통합형 애플리케이션에 대한 자세한 내용은 정적 힘 및 가상 입자 교환을 참조하십시오.

작은 m제한에서 적분 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .s .mw-parser-output를 감소시킨다.Frac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/4πr.

이 결과 정보를 얻으려면:

${\displaystyle {\mathbf {r}\frac {d^}k}{3}{3}}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \r}\right)}{k^{2}+m^{2}}}}&=\int _{0}^{0}^{\inflac {k^{2}dk}{{2}}:}\int _{-1}^{1}{e^{ikru}{{1}{{ikru}} \over k^{2}+m^{2}}}}\\&={2 \over r}\int _{0}^{\inflac {kdk}{(2\pi )^{2}}:{\sin(kr) \over k^{2}+m^{2}}}}\\&={1 \over ir}\int _{-\inflt }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}:{e^{ikr} \over k^{2}+m^{2}}}\\&={1 \over ir}\int _{-\inflt }^{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}:{e^{ikr} \over (k+im)(k-im)}\\&={1 \over ir}{\frac {2\pi i}{{2}}:{\frac {im}{2im}e^{-mr}\&={\frac {1}{1}{4\pi r}e^{-mr}\ined}}}}}}}}}}}}}$

질량이 있는 수정된 쿨롱 전위

${\d^{3}k}{{d^}k}{{3}}}{{3}}}{3}}}왼쪽(\mathbf {\hat{k}) \cdot \mathbf {\r}^{2}{\frac {\exput \i(i\mathbf {k} \r} \r} \cdot \r} \r} \r}오른쪽)}{k^{2}+m^{2}}}}}={\frac {e^{-mr}{4\pi r}\{1+{1+{{2}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\왼쪽(e^{mr}-1\오른쪽)\오른쪽\}}}}}}}}$

여기서 모자는 3차원 공간의 단위 벡터를 나타낸다. 이 결과의 도출은 다음과 같다.

${\displaystyle {\d^{3}k}{3}{{d^{3}}{{3}}}}{3}}}}}{3}}\cdot \mathbf {\hat {r}\right)^{2}{\frac {\exp \i(i\mathbf {r}{r} \rig} \r} \r} \r} \cd) \cd}오른쪽)}{k^{2}+m^{2}}}}&=\int _{0}^{0}^{\inflac {k^{2}dk}{{{{1}^{1}{1}^{1}{{1}^{1}{{1}^{{e^{ikru}}}{k^{2}+m^{2}}}}}}}\\&=2\int _{0}^{0}{0}^{\inflt }{k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}:{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}}\left\{{\frac {1}{kr}}\sin(kr)+{\frac {2}{(kr)^{2}}}\cos(kr)-{\frac {2}{(kr)^{3}}}\sin(kr)\right\}\\&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\end{aligned}}}$

작은 m 한계에서 적분은 대괄호 안의 항이 1이 되기 때문에 쿨롱 전위의 결과로 간다는 점에 유의한다.

질량이 있는 종방향 전위

${\d^{3}k}{{d^}k}{{3}}^{3}}}\mathbf {\k}}\mathbf {\hat{k}}} \mathbf {k}}{\frac {\exp \flock(i\mathbf {k} \cdot \r}\r} \r}\r}\r} \r}\mathbf} \r} \r} \r) \rig) \rig)}{k^{2}+m^{2}}}}={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)}$

여기서 모자는 3차원 공간의 단위 벡터를 나타낸다. 이 결과의 도출은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathbf{databf}{3}k}{{3}}}\mathbf {\hat{k}}\mathbf {k}{\frac}}{\frcdot \mathbf {r}\r}\cdot \mathbf {r}\r}\r}\r}\r}\r}\r}\r}\r} \r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}}&=\int{\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}}\left-LSB- \left(\mathbf{\hat{k}}\cdot \mathbf{\hat{r}}\right)^{2}\mathbf{\hat{r}}\mathbf{\hat{r}}+\left(\mathbf{\hat{k}}\cdot \mathbf{\hat{\theta}}\right)^{2}\mathbf{\hat{\theta}}\mathbf{\hat{\theta}}+\left(\mathbf{\hat{k}}\cdot \mathbf{\hat{\phi}}\right)^{2}\mathbf{\hat{\ph.나는}} \mathbf {\hat {\phi } \right]{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}}\\&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\{\mathbf {1} -{1 \over 2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right\}+\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du{\frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}{1}{{1}{{{1}\mathbf {1} -\mathbf {\r} \mathbf {\mat{r}} \mathbf {\hat}\right]\\\&, ={1\over 2}{\frac{e^{-mr}}{4\pi r}}\left[\mathbf{1}-\mathbf{\hat{r}}\mathbf{\hat{r}}\right]+{e^{-mr}\over 4\pi r}\left\{1+{\frac{2}{mr}}-{2\over(mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\ᆳ\left[\mathbf{1}+\mathbf{\hat{r}}\mathbf{\hat{r}}\right]\right\}\\&, ={1\over 2}{\frac{e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\m.athbf{1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)\end{aligned}}}$

작은 m 한계에서 적분은

${\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\왼쪽[\mathbf {1} -\mathbf {\r}\mathbf {\r}\mathbf {\hat {r}\r}\ri}\ri}\right].}$

질량이 있는 가로 전위

${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}}={1} \{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{2 \{2 \over (mr)^{2}}\왼쪽(e^{mr}-1\오른쪽)-{2 \overmr}\\{{mathbf {1}+\r}}\mathbf {hatbf {\}}}}}}}}}}}\}\}\{hathathatbf {}$

작은 mr 한계에서 적분은

${\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\왼쪽[\mathbf {1} +\mathbf {\r}\mathbf {\r}\mathbf {\hat {r}\ri}\ri}\right].}$

큰 거리의 경우 적분은 r의 역 입방체로 떨어져 나간다.

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi m^{2}r^{3}}\왼쪽[\mathbf {1} +\mathbf {\r}\mathbf {\r}\mathbf {\r}\mat{r}}}\right]}$

이 통합형 용도에 대해서는 진공 상태에서 다윈 라그랑지안과 다윈의 상호작용을 참조한다.

원통형 좌표에서의 각도 통합

두 가지 중요한 통합이 있다. 원통형 좌표에서 지수형의 각도 통합은 제1종류의^[7][8] 베셀함수로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi \exp \left(ip\cos(\varphi )\right)==J_{0}(p)}$

그리고

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi \cos(\varphi )\ex \left(ip\cos(\varphi )\right)=iJ_{1}(p).}$

이러한 통합의 적용은 단순한 플라즈마 또는 전자 가스의 전류 루프 사이의 자기 상호작용을 참조한다.

베셀 함수

원통형 전파기와 질량 통합

베셀 함수의 첫 번째 힘

${\displaystyle \int _{0}^{\infit }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}}}J_{0}\왼쪽(kr\오른쪽)=K_{0}(mr.}$

아브라모위츠와 스테건을 보라.^[9]

${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ll }$ 1 ${\displaystyle mr\ll 1}$의 경우^[10]$,$

${\displaystyle K_{0}(mr)\to -\ln \left({mr \over 2}\right)+0.5772.}$

이 적분을 적용하려면 플라즈마 또는 전자 가스에 내장된 두 개의 라인 전하를 참조하십시오.

베셀 함수의 제곱

원통형 좌표에서의 전파기의 통합은^[7]

${\displaystyle \int _{0}^{\infit }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}}}J_{1}^{2}(kr)=I_{1}(mr)K_{1}(mr).}$

소형 Mr의 경우 적자가 된다.

${\displaystyle \int _{o}^{\infit }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \{1 \over 2}\왼쪽[1-{1 \over 8}(mr)^{2}\오른쪽].}$

라지 Mr의 경우 적분은

${\displaystyle \int _{o}^{\infit }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\왼쪽({1 \over mr}\오른쪽).}$

이 적분을 적용하려면 간단한 플라즈마 또는 전자 가스의 전류 루프 간 자기 상호작용을 참조하십시오.

일반적으로

${\displaystyle \int _{0}^{\infit }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}}}J_{\nu }^{2}(kr)=I_{\nu }(mr)K_{\nu }}(mr)\qquad \re(\nu )>-1.}$

자기파 함수에 대한 통합

자기파^[11] 함수의 2차원 적분은

${\displaystyle {2a^{2n+2} \overn!}\int _{0}^{0}^{{dr}\;r^{2n+1}\exp \left \refta^{2}r^{2}\오른쪽)J_{0}(kr)=M\left(n+1,-{k^{2} \over 4a^{2}}\오른쪽).}$

여기서 M은 결합초기하함수다. 이 적분 함수의 적용은 파장 함수에 대한 충전 밀도 스프레드를 참조하십시오.

참고 항목

• 슈뢰딩거 방정식과 양자역학의 경로적분제형성과의 관계

참조