반복 로그의 법칙

확률론에서 반복된 로그의 법칙은 무작위 보행의 변동의 크기를 설명한다. 반복된 로그의 법칙의 원문은 A에 기인한다. 응. 킨친(1924년)^[1] 또 다른 진술은 A씨가 했다. N. Kolmogorov 1929년.^[2]

성명서

{Y_n}을(를) 평균이 0이고 단위 분산이 0인 동일한 분산 랜덤 변수가 되도록 하십시오. S_n = Y₁ + ... + Y로_n 하자. 그러면

${\displaystyle \limsup _{n\to \flat }{\frac {\pm S_{n}{\sqrt {2n\log n}}=1\quad {\text{a.s.}},}$

여기서 "log"는 자연 로그이고, "lim sup"는 한계 상위를 나타내며, "a.s"는 "fully"를 의미한다.^[3][4]

토론

반복된 로그의 법칙은 대수의 법칙과 중앙 한계 정리 사이에서 "사이에" 작동한다. 대수의 법칙에는 두 가지 버전이 있는데, 즉 약자와 강자가 있는데, 그들은 모두 n으로⁻¹ 축척된 S의_n 합계가 각각 확률적으로 0으로 수렴한다고 말하고 있다.

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}{n}}\\\x오른쪽 화살표 {p}\0,\qquad {\frac {S_{n}}}\\x오른쪽 화살표 {a.s.}}}}} }},\qquad {\text{as}\\\n\to \inflt .}$

한편, 중심 한계 정리에서는 인자에^−½ 의해 축척된 S의_n 합계가 표준 정규 분포로 수렴된다고 기술하고 있다. Kolmogorov의 제로원 법칙에 따르면, 고정된 ${\displaystyle M}$에 대해 사건 임 ${\displaystyle \underset{}{}\frac{{}_{}}{}}$ n ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\sqrt{}}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ M$${\$displaystyle \limsup _{n}{\$frac {$S_${n$}}{\sqrt{n}}}}\geq M}$이 발생할$$ 확률은 0 또는 1이다. 그러면

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0}$

그렇게

${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}}{\sqrt{n}}=\polty \qquad {\text{확률 1 포함)}}}$

동일한 인수는 다음과 같은 것을 보여준다.

${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt{n}=-\infully \qquad{\text{확률 1 포함)}}}$

이것은 이 양들이 거의 확실하게 수렴할 수 없다는 것을 암시한다. 사실, 그들은 심지어 확률로 수렴할 수도 없는데, 이것은 평등에서 비롯된다.

${\displaystyle {\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

그리고 무작위 변수가

${\displaystyle {\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}}\quad {\text{and}}\cext{n}}\frac {S_{n}-S_{n}}{\sqrt{n}}}}}}}}}}{\sqrt{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

독립적이며 둘 다 $N{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$)에 분포하여 수렴한다$.$ ${\displaystyle {\mathcal{N}}(0,1$)$}$

반복된 로그의 법칙은 두 한계가 다르게 되는 스케일링 계수를 제공한다.

${\displaystyle {\frac{S_{n}{\sqrt {2n\log\n}\\\xrightarrow {p}\0}\\\xwritearrow {p}\p}\frqrd {S_{n}}{\n}\s}\stackrela.}}{\nrightarrow }}\0,\qquad {\text{as}\\\n\to \infit .}$

그러므로, 절대 값의 양 Sn/2n로그 ⁡ 로그⁡ n{\displaystyle S_{n}{\sqrt{2n\log\log n}}}은 어떠한 미리 정의된 ε<>를 사용하여 0으로 확률이 다가오는 사람도 자유당 거의 확실히 이상이 되ε 무한 경우가 많다;에 사실의 양이 될 것이다 방문 지역 모든 점이다. 에서 간격(-1,1)은 거의 확실하다.

일반화 및 변형

평균이 0이고 한계 증가가 있는 독립적이고 동일한 분포의 (i.i.d.) 랜덤 변수의 합에 대한 반복 로그(LIL)의 법칙은 1920년대에 킨친과 콜모고로프까지 거슬러 올라간다.

그 이후로, 다양한 종류의 의존적 구조와 확률적 공정에 대한 LIL에 대한 엄청난 양의 작업이 있었다. 다음은 주목할 만한 발전의 작은 표본이다.

하트만-윈트너(1940년)는 평균이 0이고 분산이 유한한 증분으로 무작위 보행에 대한 LIL을 일반화했다. De Acosta(1983)는 LIL의 하트만-윈트너 버전에 대한 간단한 증거를 제시했다.^[5]

스트라센(1964)은 불침투 원리의 관점에서 LIL을 연구했다.^[6]

스타우트(1970)는 고정된 에르고딕 마팅칼레스에 대한 LIL을 일반화했다.^[7]

비트만(1985)은 가벼운 조건을 만족하는 무작위 보행에 대해 하트만-윈트너 버전의 LIL을 일반화했다.^[8]

Vovk(1987)는 단일 혼란 시퀀스(Kolmogorov 랜덤 시퀀스)에 유효한 LIL 버전을 파생했다.^[9] 이는 고전적 확률론의 영역 밖이기 때문에 주목할 만하다.

용게 왕(1996)은 다항 시간 유사문 순서에 대한 반복 로그의 법칙도 있음을 보여주었다.^[10][11] 자바 기반 소프트웨어 테스트 도구는 유사andom 생성기가 LIL을 만족시키는 시퀀스를 출력하는지 여부를 테스트한다.

발수브라마니(2014년)는 유한 시간 마팅게일 샘플 경로를 유지하는 비아세트산 LIL을 입증했다.^[12] 이것은 마팅게일 LIL을 유한샘플 농도와 반농도 한계와 일치하는 유한샘플 농도를 제공하고 순차적인 시험과^[13] 다른 용도가 가능하기 때문에 감소시킨다.^[14]

참고 항목

• 반복 로그
• 브라운 운동

메모들