길이함수

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기하학적 집단 이론의 수학 분야에서 길이 함수는 그룹의 각 원소에 숫자를 할당하는 함수다.

정의

그룹 G의 길이함수 L : G → R은⁺ 다음을 만족하는 기능이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

메트릭 및 필터링된 대수 공리와 비교하십시오.

워드 메트릭

길이에 대한 중요한 예는 단어 미터법이다: 생성자와 관계에 의한 집단의 표시를 볼 때, 원소의 길이는 그것을 표현하는 가장 짧은 단어의 길이다.

Coxeter 그룹(대칭 그룹 포함)은 단순 반사를 생성자로 사용하여 결합 중요한 길이 함수를 가지고 있다(각 단순 반사는 길이 1이 있음).Weyl 그룹 요소의 길이도 참조하십시오.

Coxeter 그룹의 가장 긴 요소는 중요하면서도 조합에 이르기까지 독특하다(단순 반사의 다른 선택까지).

특성.

길이 함수를 가진 그룹은 필터링된 그룹을 형성하지 않으며, 이는 ${\displaystyle {subbel}_{}}$이${\displaystyle }$S${\displaystyle i}$ := { g${\displaystyle g}$L ( g )${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i}$} {\$displaystyle$ S_${i}:$$=\{g\mid L(g)\leq$ i$\}}$ 일반적으로 하위 그룹을 형성하지 않는다$$.

단, 길이 함수를 가진 집단의 집단 대수학은 여과 ${\displaystyle \mathrm{대수학}}$을 형성한다: 공리 $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \le }$ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$+ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$은 여과 공리에 해당한다$$.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Length 함수의 자료가 통합되어 있다.